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多元函数微分法习题课多元函数微分法习题课多元函数微分法习题课多元函数微分法习题课一、内容小结二、题型练习多元函数微分法习题课多元函数微分法习题课多元函数微分法习题课多元函数微分法习题课一、内容小结二、题型练习一、内容小结一、内容小结一、内容小结一、内容小结（一）多元复合函数求导法则（二）隐函数求导法则一、内容小结一、内容小结一、内容小结一、内容小结（一）多元复合函数求导法则（二）隐函数求导法则多元复合函数的五种基本类型多元复合函数的五种基本类型类型类型举例举例复合关系图复合关系图 求导法则求导法则注注一中间变量，多自变量一中间变量，多自变量外层一元，内层多元外层一元，内层多元多中间变量，一自变量多中间变量，一自变量外层多元，内层一元外层多元，内层一元多中间变量，多自变量多中间变量，多自变量外层多元，内层多元外层多元，内层多元一个变量既是中间变量一个变量既是中间变量又是自变量又是自变量多个变量既是中间变量多个变量既是中间变量又是自变量又是自变量注注一个关键：一个关键：画出复合关系图画出复合关系图.三点注意：三点注意：勿漏中间变量勿漏中间变量分清层次关系分清层次关系搞清对谁求偏导，把谁看成常数搞清对谁求偏导，把谁看成常数多元复合函数的高阶偏导数多元复合函数的高阶偏导数高阶偏导数与原来函数具有相同的复合关系高阶偏导数与原来函数具有相同的复合关系依次求导依次求导先四则先四则,后复合后复合注意符号的含义注意符号的含义一、内容小结一、内容小结一、内容小结一、内容小结（一）多元复合函数求导法则（二）隐函数求导法则一、内容小结一、内容小结一、内容小结一、内容小结（一）多元复合函数求导法则（二）隐函数求导法则F(x,y)=0)=0F(x,y,z)=0)=0Fx表示表示F对对x求偏导求偏导分子和分母不要颠倒分子和分母不要颠倒不要丢掉负号不要丢掉负号一个方程确定的隐函数一个方程确定的隐函数两个方程确定的隐函数组两个方程确定的隐函数组确定因变量个数与自变量个数确定因变量个数与自变量个数.明确变量个数与方程个数明确变量个数与方程个数确定因变量个数确定因变量个数方程个数方程个数确定自变量个数确定自变量个数变量个数变量个数方程个数方程个数(1)(2)明确因变量与自变量明确因变量与自变量.题目要求题目要求(3)方程两边求偏导方程两边求偏导.多元函数微分法习题课多元函数微分法习题课多元函数微分法习题课多元函数微分法习题课一、内容小结二、题型练习多元函数微分法习题课多元函数微分法习题课多元函数微分法习题课多元函数微分法习题课一、内容小结二、题型练习二、题型练习二、题型练习二、题型练习二、题型练习（一）多元复合函数求导法（二）隐函数求导法（三）隐函数组求导法（四）微分形式不变性（五）杂题二、题型练习二、题型练习二、题型练习二、题型练习（一）多元复合函数求导法（二）隐函数求导法（三）隐函数组求导法（四）微分形式不变性（五）杂题u例例1 1设设求求1 1简单、具体函数简单、具体函数2 2复合函数：外层具体、内层具体复合函数：外层具体、内层具体u例例2 2 设设求求u例例3 3 设设求求u例例4 4 设设求求u例例5 5 设设求求u例例6 6 设设求求u例例7 7 设设求求u例例8 8 设设求求3 3复合函数：外层抽象、内层具体复合函数：外层抽象、内层具体4 4简单函数与复合函数的运算简单函数与复合函数的运算u例例9 9 设设求求u例例1010设设求求u例例1111设设求求u例例1212设设求求u例例1313设设求求u例例1414设设求求5 5复合函数：外层抽象、内层抽象复合函数：外层抽象、内层抽象多层复合多层复合二、题型练习二、题型练习二、题型练习二、题型练习（一）多元复合函数求导法（二）隐函数求导法（三）隐函数组求导法（四）微分形式不变性（五）杂题二、题型练习二、题型练习二、题型练习二、题型练习（一）多元复合函数求导法（二）隐函数求导法（三）隐函数组求导法（四）微分形式不变性（五）杂题（二）隐函数求导法（二）隐函数求导法（二）隐函数求导法（二）隐函数求导法1一个方程确定2两个方程确定（二）隐函数求导法（二）隐函数求导法（二）隐函数求导法（二）隐函数求导法1一个方程确定2两个方程确定u例例1515设设求求u例例1616设设求求方程由具体函数构成方程由具体函数构成方程由抽象的简单函数构成方程由抽象的简单函数构成u例例1717设设由方程由方程F(x,y,z)=0)=0确定确定,证明证明方程由抽象的复合函数构成方程由抽象的复合函数构成例例1818 设设由方程由方程确定确定,证明证明例例1919 设设由方程由方程确定确定,计算计算（二）隐函数求导法（二）隐函数求导法（二）隐函数求导法（二）隐函数求导法1一个方程确定2两个方程确定（二）隐函数求导法（二）隐函数求导法（二）隐函数求导法（二）隐函数求导法1一个方程确定2两个方程确定u例例2020u例例2121两个方程均由具体函数构成两个方程均由具体函数构成一个具体、一个抽象一个具体、一个抽象设设（1 1）若）若是上述方程确定的隐函数，求是上述方程确定的隐函数，求（2 2）若）若是上述方程确定的隐函数，求是上述方程确定的隐函数，求设设z=z(x,y)由方程由方程确定，求确定，求u例例2222u例例2323两个抽象两个抽象设设确定，确定，z=z(x,y)由方程由方程求证求证求求设设z=z(x,y)由方程由方程确定，确定，二、题型练习二、题型练习二、题型练习二、题型练习（一）多元复合函数求导法（二）隐函数求导法（三）隐函数组求导法（四）微分形式不变性（五）杂题二、题型练习二、题型练习二、题型练习二、题型练习（一）多元复合函数求导法（二）隐函数求导法（三）隐函数组求导法（四）微分形式不变性（五）杂题u例例2424u例例2525设设求求设设确定，确定，t由方程由方程求证求证u例例2626 设设确定，确定，由方程组由方程组求求二、题型练习二、题型练习二、题型练习二、题型练习（一）多元复合函数求导法（二）隐函数求导法（三）隐函数组求导法（四）微分形式不变性（五）杂题二、题型练习二、题型练习二、题型练习二、题型练习（一）多元复合函数求导法（二）隐函数求导法（三）隐函数组求导法（四）微分形式不变性（五）杂题原理原理设设z可微可微u、v为自变量为自变量u、v为中间变量为中间变量u=u(x,y)、v=v(x,y)无论无论u、v为自变量还是中间变量，为自变量还是中间变量，z的全微分形式是一样的的全微分形式是一样的全微分形式不变性全微分形式不变性应用应用无论无论u、v为自变量为自变量,还是任意多元函数还是任意多元函数均成立均成立全微分公式全微分公式u例例2727u例例2828u例例2929u例例3030求求设设求求设设求求设设求求设设u例例3131设设确定，确定，t由方程由方程求证求证二、题型练习二、题型练习二、题型练习二、题型练习（一）多元复合函数求导法（二）隐函数求导法（三）隐函数组求导法（四）微分形式不变性（五）杂题二、题型练习二、题型练习二、题型练习二、题型练习（一）多元复合函数求导法（二）隐函数求导法（三）隐函数组求导法（四）微分形式不变性（五）杂题(五五)杂题杂题1变量代换2变上限函数(五五)杂题杂题1变量代换2变上限函数u例例3232设设化为化为将将极坐标极坐标r和和表示的式子表示的式子.u例例3333 设设u=f(x,y)是可微函数是可微函数（1 1）如果）如果u=f(x,y)满足满足证明证明u=f(x,y)在极坐标系中只与在极坐标系中只与有关有关.（2 2）如果）如果u=f(x,y)满足满足证明证明u=f(x,y)在极坐标系中只是在极坐标系中只是r 的函数的函数.u例例3434 以以u,v作为新的变量，变换作为新的变量，变换其中：其中：(五五)杂题杂题1变量代换2变上限函数(五五)杂题杂题1变量代换2变上限函数u例例3535 设设其中其中f(t)在在0,10,1上连续上连续求求u例例3636 设设求求u例例3737 设设f(x,y)具有连续偏导数具有连续偏导数令令求求u例例3838 设设f(x,y)具有连续二阶偏导数，具有连续二阶偏导数，求求END
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