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圆的对称性圆的对称性(1)(1)轴对称图形轴对称图形复习回顾复习回顾圆的对称性圆的对称性1.1.圆是轴对称图形吗？圆是轴对称图形吗？2.2.如果是如果是,它的对称轴是什么它的对称轴是什么?你能找到多少条对称轴？你能找到多少条对称轴？是是.圆的对称轴是任意一条经过圆圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线心的直线,它有无数条对称轴它有无数条对称轴.O圆是轴对称图形圆是轴对称图形,其对称轴是任意一条过圆其对称轴是任意一条过圆心的直线心的直线.2.2.连接圆上任意两点间的线段叫做连接圆上任意两点间的线段叫做弦弦(例如：弦例如：弦AB).AB).3.3.经过圆心的经过圆心的弦弦叫做叫做直径直径(例如：直径例如：直径AC).AC).A AB BC CO O.圆的相关概念圆的相关概念1.1.圆上任意两点间的部分叫做圆上任意两点间的部分叫做圆弧圆弧,简称简称弧弧.以以A,B两点为端点的两点为端点的弧。弧。记作记作 ,读作读作“弧弧AB”.ABABOA AB B4.4.圆的任意一条直径的两个端点把圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆半圆.OD DB B5.5.小于半圆的弧叫做小于半圆的弧叫做劣弧劣弧,如图记作：如图记作：(用两个字母表示用两个字母表示).).ABAB6.6.大于半圆的弧叫做大于半圆的弧叫做优弧优弧,如图记作：如图记作：(用三个字母表示用三个字母表示).).ADBADBA A做一做做一做如图，如图，ABAB是是O O的一条弦的一条弦.（2 2）你能发现图中有哪些等量关系）你能发现图中有哪些等量关系?说一说你的理由说一说你的理由.作直径作直径CD,CD,使使CDAB,CDAB,垂足为垂足为M.M.（1 1）右图是轴对称图形吗）右图是轴对称图形吗?如果是如果是,其对称轴是什么其对称轴是什么?A AB BO OC CD DM MAM=BM，AC=BC，AD=BD.垂直于弦的直径平分这条弦垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧并且平分弦所对的弧.CDAB,CDAB,CDCD是直径是直径,AM=BM,AM=BM,条件条件一条直径一条直径垂直于弦垂直于弦 直径平分弦直径平分弦平分弦所对的弧平分弦所对的弧结论结论 AC=BC,AC=BC,AD=BD.AD=BD.A AB BO OC CD DM M符号语言：符号语言：垂径定理垂径定理垂径定理垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧并且平分弦所对的弧.老师提示老师提示:垂径定理是圆中一个重要的结论垂径定理是圆中一个重要的结论,三种语言三种语言 要相互转化要相互转化,形成整体形成整体,才能运用自如才能运用自如.CDCD是直径是直径,CDAB,CDAB,AM=BM,AM=BM,AC=BC,AC=BC,AD=BD.AD=BD.符号语言：符号语言：A AB BO OC CD DM M 如图，如图，ABAB是是O O的弦的弦,作一条平分作一条平分ABAB的直径的直径CDCD，交，交ABAB于于M M点点.想一想想一想（2 2）你能发现图中有哪些等量关系？）你能发现图中有哪些等量关系？说说你的理由说说你的理由.（1 1）右图是轴对称图形吗）右图是轴对称图形吗?如果是如果是,其对称轴是什么其对称轴是什么?A AB BO OC CD DM M AD=BD.AD=BD.AC=BC,AC=BC,M M AC=BC,理由如下理由如下:连接OA、OB,则OA=OB.OA=OB，OM=OM，OAMOBM.AM=BM.AD=BD.在OAM和OBM中,OA AB BC CD DCDAB,又由垂径定理,想一想想一想 如图，如图，ABAB是是O O的弦的弦 ,作一条作一条平分平分ABAB的直径的直径CDCD，交，交ABAB于于M M点点.等量关系：等量关系：A AB BO OC CD D AD=BD.AD=BD.AC=BC,AC=BC,（不是直径）（不是直径）M M思考：如果思考：如果ABAB也是直径，上述也是直径，上述结论是否成立？结论是否成立？不一定不一定.O O平分弦（平分弦（不是直径不是直径）的直径垂直于弦）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧并且平分弦所对的弧.垂径定理的推论垂径定理的推论CDCD是直径是直径,AB,AB是弦（不是直径），是弦（不是直径），AM=BM,AM=BM,CDAB,CDAB,AC=BC,AC=BC,AD=BD.AD=BD.符号语言：符号语言：A AB BC CD DM M垂径定理和垂径定理的推论垂径定理和垂径定理的推论如图如图,下列五个条件中下列五个条件中:CDCD是直径是直径,AM=BM,AM=BM,CDAB,CDAB,AC=BC,AC=BC,AD=BD.AD=BD.A AB BO OC CD DM M5 5个条件中，任满足个条件中，任满足2 2个，剩下个，剩下3 3个结论都成立个结论都成立.由由 (2)(2)、(3)(3)，得，得(1)(1)、(4)(4)、(5).(5).OABCDM条件条件条件条件结论结论结论结论定理及推理定理及推理定理及推理定理及推理垂直于弦的直径平分弦垂直于弦的直径平分弦垂直于弦的直径平分弦垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧并且平分弦所的两条弧并且平分弦所的两条弧并且平分弦所的两条弧.平分弦平分弦平分弦平分弦(不是直径不是直径不是直径不是直径)的直径垂直于弦的直径垂直于弦的直径垂直于弦的直径垂直于弦,并且平并且平并且平并且平 分弦所对的两条弧分弦所对的两条弧分弦所对的两条弧分弦所对的两条弧.平分弦所对的一条弧的直径平分弦所对的一条弧的直径平分弦所对的一条弧的直径平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦垂直平分弦垂直平分弦垂直平分弦,并且平分弦所对的并且平分弦所对的并且平分弦所对的并且平分弦所对的另一条弧另一条弧另一条弧另一条弧.弦的垂直平分线经过圆心弦的垂直平分线经过圆心弦的垂直平分线经过圆心弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧并且平分这条弦所对的两条弧并且平分这条弦所对的两条弧并且平分这条弦所对的两条弧.垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且平并且平并且平并且平分弦和所对的另一条弧分弦和所对的另一条弧分弦和所对的另一条弧分弦和所对的另一条弧.平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于弦垂直于弦垂直于弦垂直于弦,并且平分弦所对的另一条弧并且平分弦所对的另一条弧并且平分弦所对的另一条弧并且平分弦所对的另一条弧.平分弦所对的两条弧的直线经过圆心平分弦所对的两条弧的直线经过圆心平分弦所对的两条弧的直线经过圆心平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦并且垂直平分弦并且垂直平分弦并且垂直平分弦.垂径定理及垂径定理及推论推论由由OECDOECD，利用垂径定理得利用垂径定理得 CF=DF=300m,CF=DF=300m,例例1 1 如图，一条公路的转弯处是一段圆弧如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图即图中弧中弧CD,CD,点点O O是弧是弧CDCD的圆心的圆心),),其中其中CD=600m,ECD=600m,E为为弧弧CDCD上的一点上的一点,且且OECD,OECD,垂足为垂足为F,EF=90m.F,EF=90m.求求这段弯路的半径这段弯路的半径.OCDEF30090分析分析:连接连接OC.设半径为设半径为R,利用勾股定理求出半径利用勾股定理求出半径.R-90 OC=OE=R,EF=90，则则OF=R-90.解解:连接连接OC.OC.OD DE EF F 本题是垂径定理的本题是垂径定理的应用，解题过程中使应用，解题过程中使用了列方程的方法，用了列方程的方法，用代数方法解决了几用代数方法解决了几何问题何问题.C C这段弯路的半径为这段弯路的半径为545m.545m.d+h=r r2=d2+()2a22.连接半径连接半径,构造构造直角三角形直角三角形，利用，利用垂径定理垂径定理和和勾股定理勾股定理，求半径、弦、弦心距、弓形高中的任，求半径、弦、弦心距、弓形高中的任意一个未知量意一个未知量.d drh3.3.数学思想数学思想:方程思想方程思想,用代数方法解决几何问题用代数方法解决几何问题.P P101101:习题习题3.2 23.2 2、3 3题题作作 业业判断判断1.1.垂直于弦的直线平分这条弦垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两并且平分弦所对的两条弧条弧.2.2.平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另一条弧的另一条弧.3.经过弦的中点的直径一定垂直于弦经过弦的中点的直径一定垂直于弦.4.圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行.5.弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧.1.1.在在O O中，若中，若CDABCDAB于于M M，ABAB为直径，为直径，则下列结论不正确的是（则下列结论不正确的是（）2.2.已知已知O O的直径的直径AB=10AB=10，弦，弦CDABCDAB，垂，垂足为足为M M，OM=3OM=3，则，则CD=CD=.3.3.在在O O中，中，CDABCDAB于于M M，ABAB为直径，若为直径，若CD=10CD=10，AM=1AM=1，则，则O O的半径是的半径是 .OCDABMC C A、AC=AD B、BC=BD C、AM=OM D、CM=DM8 81313练一练练一练4.4.在半径为在半径为5050的圆的圆O O中，有长中，有长5050的弦的弦CDCD，则，则点点O O与与CDCD的距离为的距离为 .OCDABM解决有关弦的问题时，半径是解决有关弦的问题时，半径是常用的辅助线的添法常结合常用的辅助线的添法常结合勾股定理计算勾股定理计算.rd r2=d2+()22a 2a5.13005.1300多年前多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图如图)的的桥拱是圆弧形桥拱是圆弧形,它的跨度它的跨度(即弧所对的弦长即弧所对的弦长)为为 37.4 m,37.4 m,拱高拱高(弧的中点到弦的距离弧的中点到弦的距离,也叫弓形高也叫弓形高)为为7.2m,7.2m,求桥拱的半径求桥拱的半径(精确到精确到0.1m).0.1m).求赵州桥桥拱半径的问题求赵州桥桥拱半径的问题AOAB=37.4mDCCD=7.2mBD在在RtOADRtOAD中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得ABOCAB=37.4AB=37.4，CD=7.2CD=7.2，OD=OC OD=OCCD=rCD=r7.27.2半径半径OCOC弦弦AB,AB,r r解得：解得：r r27279 9（m m）即即:r:r2 2=18.7=18.72 2+（r r7.27.2）2 2答：赵州桥的主桥拱半径约为答：赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.27.9m.OA2=AD2+OD2d r2=d2+()22ah+dh+d=r=r解解:如图用弧如图用弧ABAB表示主桥拱，设表示主桥拱，设ABAB所在圆的圆心为所在圆的圆心为O O，半径为，半径为r r过圆心过圆心O O作弦作弦ABAB的垂线的垂线OCOC，D D为垂足，为垂足，OCOC与弧与弧ABAB相交于点相交于点C C，7.27.2h h37.437.4D D 2a
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