222命题的真假和定理

2.2.2命题的真假和定理议一议议一议 下列命题中，哪些正确，哪些错误下列命题中，哪些正确，哪些错误？并说一并说一说你的理由说你的理由.（1）每一个月都有每一个月都有31天；天；（2）如果如果a是有理数，那么是有理数，那么a是整数是整数.（3）同位角相等；同位角相等；（4）同角的补角相等同角的补角相等.错误错误错误错误错误错误正确正确 上面四个命题中，命题上面四个命题中，命题（4）是正确的，是正确的，命题命题（1），（2），（3）都是错误的都是错误的.我们把正确的命题称为我们把正确的命题称为真命题真命题，把错误的命把错误的命题称为题称为假命题假命题.（1）每一个月都有每一个月都有31天；天；（2）如果如果a是有理数，那么是有理数，那么a是整数是整数.（3）同位角相等；同位角相等；（4）同角的补角相等同角的补角相等.要判断一个命题是真命题，常常要从命题的条要判断一个命题是真命题，常常要从命题的条件出发，通过讲道理件出发，通过讲道理（推理推理），得出其结论成立，得出其结论成立，从而判断这个命题为真命题，这个过程叫从而判断这个命题为真命题，这个过程叫证明证明.例如，命题例如，命题“同角的补角相等同角的补角相等”通过推理可以判通过推理可以判断出它是真命题断出它是真命题.由于由于1+2=180，1+3=180，所以所以2=180-1，3=180-1.因此因此2=3（等量代换等量代换）.于是，我们得出：于是，我们得出：同角同角（或等角或等角）的补角相等的补角相等.要判断一个命题是假命题，只需举出一个例子要判断一个命题是假命题，只需举出一个例子（反例反例），），它符合命题的条件，但不满足命题的结它符合命题的条件，但不满足命题的结论，从而就可判断这个命题为假命题论，从而就可判断这个命题为假命题.例如，要判断命题例如，要判断命题“如果如果a是有理数，那么是有理数，那么a是是整数整数”是一个假命题，我们举出是一个假命题，我们举出“0.1是有理数，但是有理数，但是是0.1不是整数不是整数”这一例子即可判断该命题是假命题这一例子即可判断该命题是假命题.我们通常把这种方法称为我们通常把这种方法称为“举反例举反例”.判断下列命题为真命题的依据是什么判断下列命题为真命题的依据是什么？说一说说一说（1）如果如果a是整数，那么是整数，那么a是有理数；是有理数；（2）如果如果ABC是等边三角形，那么是等边三角形，那么ABC是是 等腰三角形等腰三角形.分别是根据有理数、等腰分别是根据有理数、等腰（等边等边）三角形的定义作出的三角形的定义作出的判断判断.从上可以看到，在判断一个命题是否为真从上可以看到，在判断一个命题是否为真命题时常常要利用一些概念的定义，但是光用命题时常常要利用一些概念的定义，但是光用定义只能判断一些很简单的命题是否为真定义只能判断一些很简单的命题是否为真.事实上，对于绝大多数命题的真假的判断，事实上，对于绝大多数命题的真假的判断，光用定义是远远不够的光用定义是远远不够的.古希腊数学家欧几里得古希腊数学家欧几里得（Euclid，约公元，约公元前前330前前275年）对他那个时代的数学知识作年）对他那个时代的数学知识作了系统的总结，他挑选了一些人们在长期实践了系统的总结，他挑选了一些人们在长期实践中总结出来的公认的真命题作为证明的原始依中总结出来的公认的真命题作为证明的原始依据，称这些真命题为公理据，称这些真命题为公理.本书中，我们把少数真命题作为本书中，我们把少数真命题作为基本事实基本事实.例如，两点确定一条直线；两点之间线段最短等例如，两点确定一条直线；两点之间线段最短等.人们可以用定义和基本事实作为推理的出发点，人们可以用定义和基本事实作为推理的出发点，去判断其他命题的真假去判断其他命题的真假.例如在七年级下册，我们从基本事实出发证明例如在七年级下册，我们从基本事实出发证明了一些有关平行线的结论了一些有关平行线的结论.基本事实基本事实同位角相等，两直线平行同位角相等，两直线平行.内错角相等，两直线平行内错角相等，两直线平行.同旁内角互补，两直线平行同旁内角互补，两直线平行.我们把经过证明为真的命题叫作我们把经过证明为真的命题叫作定理定理.例如，例如，“三角形的内角和等于三角形的内角和等于180”称称为为“三角形内角和定理三角形内角和定理”.定理也可以作为判断其他命题真假的依据，定理也可以作为判断其他命题真假的依据，由某定理直接得出的真命题叫作这个定理的由某定理直接得出的真命题叫作这个定理的推论推论.例如例如，“三角形的一个外角等于与它不相邻三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的两个内角的和”称为称为“三角形内角和定理的推三角形内角和定理的推论论”，也可称为也可称为“三角形外角定理三角形外角定理”.当一个命题是真命题时，它的逆命题不一定是当一个命题是真命题时，它的逆命题不一定是真命题真命题.例如例如，“如果如果1和和2是对顶角是对顶角，那么那么1=2”是真命题是真命题，但它的逆命题但它的逆命题“如果如果1=2，那么那么1和和2是对顶角是对顶角”就是假命题就是假命题.如果一个定理的逆命题能被证明是真命题，那如果一个定理的逆命题能被证明是真命题，那么就叫它是原定理的么就叫它是原定理的逆定理逆定理，这两个定理叫作这两个定理叫作互逆互逆定理定理.我们前面学过的定理中就有互逆的定理我们前面学过的定理中就有互逆的定理.例如，例如，“内错角相等，两直线平行内错角相等，两直线平行”和和“两直两直线平行，内错角相等线平行，内错角相等”是互逆的定理是互逆的定理.练习练习1.下列命题中，哪些是真命题，哪些是假命题下列命题中，哪些是真命题，哪些是假命题？请说说你的理由请说说你的理由.（1）绝对值最小的数是绝对值最小的数是0；答：真命题答：真命题（2）相等的角是对顶角；相等的角是对顶角；（3）一个角的补角大于这个角；一个角的补角大于这个角；（4）在同一平面内，如果直线在同一平面内，如果直线al，bl，那么那么ab.答：假命题答：假命题答：假命题答：假命题答：真命题答：真命题2.举反例说明下列命题是假命题：举反例说明下列命题是假命题：（1）两个锐角的和是钝角；两个锐角的和是钝角；（2）如果数如果数a，b的积的积ab0，那么，那么a，b都是正数；都是正数；（3）两条直线被第三条直线所截同位角相等两条直线被第三条直线所截同位角相等.答：直角三角形的两个锐角和不是钝角答：直角三角形的两个锐角和不是钝角答：答：-1和和-3的积是的积是(-1)()(-3)0，-1和和-3不是正数不是正数.答：两条相交的直线答：两条相交的直线a、b被第三条直线被第三条直线l所截，所截，它们的同位角不相等它们的同位角不相等3.试写出两个命题，要求它们不仅是互逆命题，试写出两个命题，要求它们不仅是互逆命题，而且都是真命题而且都是真命题.答：两直线平行，内错角相等。答：两直线平行，内错角相等。内错角相等，两直线平行。内错角相等，两直线平行。课堂小结课堂小结 同学们通过本节课的学习，你们有什么收获？同学们通过本节课的学习，你们有什么收获？还知道了哪些概念？还知道了哪些概念？教材教材P55P55练习第练习第1 1、2 2题题课时作业课时作业