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专题限时集训(十四)导数1(2019全国卷)已知函数f(x)2sin xxcos xx，f(x)为f(x)的导数(1)证明：f(x)在区间(0，)存在唯一零点；(2)若x0，时，f(x)ax，求a的取值范围解(1)证明：设g(x)f(x)，则g(x)cos xxsin x1，g(x)xcos x.当x时，g(x)0；当x时，g(x)0，所以g(x)在上单调递增，在上单调递减又g(0)0，g0，g()2，故g(x)在(0，)存在唯一零点所以f(x)在(0，)存在唯一零点(2)由题设知f()a，f()0，可得a0.由(1)知，f(x)在(0，)只有一个零点，设为x0，且当x(0，x0)时，f(x)0；当x(x0，)时，f(x)0，所以f(x)在(0，x0)上单调递增，在(x0，)上单调递减又f(0)0，f()0，所以当x0，时，f(x)0.又当a0，x0，时，ax0，故f(x)ax.因此，a的取值范围是(，02(2019全国卷)已知函数f(x)2x3ax22.(1)讨论f(x)的单调性；(2)当0a3时，记f(x)在区间0,1的最大值为M，最小值为m，求Mm的取值范围解(1)f(x)6x22ax2x(3xa)令f(x)0，得x0或x.若a0，则当x(，0)时，f(x)0，当x时，f(x)0，故f(x)在(，0)，单调递增，在单调递减；若a0，f(x)在(，)单调递增；若a0，则当x(0，)时，f(x)0，当x时，f(x)0，故f(x)在，(0，)单调递增，在单调递减(2)当0a3时，由(1)知，f(x)在单调递减，在单调递增，所以f(x)在0,1的最小值为f2，最大值为f(0)2或f(1)4a.于是m2，M所以Mm当0a2时，可知2a单调递减，所以Mm的取值范围是.当2a3时，单调递增，所以Mm的取值范围是.综上，Mm的取值范围是.3(2018全国卷)已知函数f(x)aexln x1.(1)设x2是f(x)的极值点，求a，并求f(x)的单调区间；(2)证明：当a时，f(x)0.解(1)f(x)的定义域为(0，)，f(x)aex.由题设知，f(2)0，所以a.从而f(x)exln x1，f(x)ex.当0x2时，f(x)2时，f(x)0.所以f(x)在(0,2)单调递减，在(2，)单调递增(2)证明：当a时，f(x)ln x1.设g(x)ln x1，则g(x).当0x1时，g(x)1时，g(x)0.所以x1是g(x)的最小值点故当x0时，g(x)g(1)0.因此，当a时，f(x)0.4(2020全国卷)已知函数f(x)x3kxk2.(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)有三个零点，求k的取值范围解(1)f(x)3x2k.当k0时，f(x)x3，故f(x)在(，)单调递增当k0时，f(x)3x2k0，故f(x)在(，)单调递增当k0时，令f(x)0，得x.当x时，f(x)0；当x时，f(x)0；当x时，f(x)0.故f(x)在，单调递增，在单调递减(2)由(1)知，当k0时，f(x)在(，)单调递增，f(x)不可能有三个零点当k0时，x为f(x)的极大值点，x为f(x)的极小值点此时，k1k1且f(k1)0，f(k1)0，f0.根据f(x)的单调性，当且仅当f0，即k20时，f(x)有三个零点，解得k.因此k的取值范围为.1(2020长沙模拟)已知函数f(x)x4ln x.(1)求f(x)的单调区间；(2)判断f(x)在(0,10上的零点的个数，并说明理由(提示：ln 102.303)解(1)函数f(x)的定义域x|x0，f(x)1.在区间(1,3)上，f(x)0，f(x)单调递增，所以f(x)单调递增区间(0,1)，(3，)；f(x)单调递减区间(1,3)(2)由(1)知，f(1)134020，f(3)314ln 324ln 30，所以函数f(x)在(0,10上的零点有一个2(2020芜湖模拟)已知函数f(x)aex2x，aR.(1)求函数f(x)的极值；(2)当a1时，证明：f(x)ln x2x2.解(1)f(x)aex2，当a0时f(x)0时，令f(x)0得xln，f(x)0得xln，f(x)0得x0时，f(x)的极小值为f22ln ，无极大值(2)当a1时，f(x)ln x2xexln x，令g(x)exln x2，g(x)ex(x0)，令g(x)0得xx0，因为g(x)在(0，)为增函数，所以函数g(x)在(0，x0)上单调递减函数，在(x0，)上单调递增函数，所以g(x)g(x0)ex0ln x02x02(x01)0.即得证3(2020郑州一中适应性检测)已知函数f(x)x2(a1)xaln x.(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)对任意的a3,5，x1，x21,3(x1x2)，恒有|f(x1)f(x2)|，求实数的取值范围解(1)由题意知，函数f(x)的定义域为x|x0，对f(x)求导，得f(x)x(a1)(x0)当a0时，函数f(x)的单调递增区间为(1，)，单调递减区间为(0,1)；当0a1时，函数f(x)的单调递增区间为(0，a)，(1，)，单调递减区间为(a,1)；当a1时，函数f(x)的单调递增区间为(0,1)，(a，)，单调递减区间为(1，a)；当a1时，函数f(x)的单调递增区间为(0，)，没有单调递减区间(2)不妨设1x1x23，则0.又3a5，由(1)知，函数f(x)在1,3上单调递减，则f(x1)f(x2)0.所以f(x1)f(x2)，即f(x1)f(x2).令g(x)f(x)(1x3)，可知函数g(x)在1,3上单调递增，则g(x)f(x)0，即x3(a1)x2ax(x2x)ax3x2对任意的a3,5，x1,3成立记h(a)(x2x)ax3x2，则x1,3时，h(a)x2x0，函数h(a)在3,5上单调递增，所以h(a)h(5)x36x25x.记(x)x36x25x，则(x)3x212x5，注意到(1)40，(3)40，由二次函数性质知在x1,3时，(x)0，即函数(x)在1,3上单调递增，所以(x)(3)12，故的取值范围为12，)4(2020郸城模拟)已知函数f(x)xln xx1，g(x)exax，aR.(1)求f(x)的最小值；(2)若g(x)1在R上恒成立，求a的值；(3)求证：lnlnln1.解(1)函数f(x)的定义域为(0，)f(x)ln x，当0x1时，f(x)0，x1时，f(x)0，f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，)上单调递增，当x1时，f(x)取得最小值f(1)0.(2)由g(x)exax1恒成立可得ax1ex恒成立，设h(x)ex，则h(x)ex，故h(0)1，h(0)1，函数yh(x)在(0,1)处的切线方程为yx1，x1ex恒成立a1.(3)由(2)可知，x1ex恒成立，两边取对数得ln(x1)x，令x(i1,2,3n)累加得lnlnln 11.所以原不等式成立
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