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专题限时集训(十四)导数1(2019全国卷)已知函数f(x)sin xln(1x)，f(x)为f(x)的导数证明：(1)f(x)在区间存在唯一极大值点；(2)f(x)有且仅有2个零点证明(1)设g(x)f(x)，则g(x)cos x，g(x)sin x.当x时，g(x)单调递减，而g(0)0，g0，可得g(x)在有唯一零点，设为.则当x(1，)时，g(x)0；当x时，g(x)0.所以g(x)在(1，)单调递增，在单调递减，故g(x)在存在唯一极大值点，即f(x)在存在唯一极大值点(2)f(x)的定义域为(1，)当x(1,0时，由(1)知，f(x)在(1,0)单调递增，而f(0)0，所以当x(1,0)时，f(x)0，故f(x)在(1,0)单调递减又f(0)0，从而x0是f(x)在(1,0的唯一零点当x时，由(1)知，f(x)在(0，)单调递增，在单调递减，而f(0)0，f0，所以存在，使得f()0，且当x(0，)时，f(x)0；当x时，f(x)0.故f(x)在(0，)单调递增，在单调递减又f(0)0，f1ln0，所以当x时，f(x)0.从而，f(x)在没有零点当x时，f(x)0，所以f(x)在单调递减又f0，f()0，所以f(x)在有唯一零点当x(，)时，ln(x1)1，所以f(x)0，从而f(x)在(，)没有零点综上，f(x)有且仅有2个零点2(2017全国卷)已知函数f(x)x1aln x.(1)若f(x)0，求a的值；(2)设m为整数，且对于任意正整数n，m，求m的最小值解(1)f(x)的定义域为(0，)，若a0，因为faln 20，所以不满足题意若a0，由f(x)1知，当x(0，a)时，f(x)0.所以f(x)在(0，a)单调递减，在(a，)单调递增故xa是f(x)在(0，)的唯一最小值点因为f(1)0，所以当且仅当a1时，f(x)0，故a1.(2)由(1)知当x(1，)时，x1ln x0.令x1，得ln，从而lnlnln11.故e.而2，所以m的最小值为3.3(2018全国卷)已知函数f(x)xaln x.(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)存在两个极值点x1，x2，证明：a2.解(1)f(x)的定义域为(0，)，f(x)1.若a2，则f(x)0，当且仅当a2，x1时，f(x)0，所以f(x)在(0，)单调递减若a2，令f(x)0，得x或x.当x时，f(x)0；当x时，f(x)0.所以f(x)在，单调递减，在单调递增(2)证明：由(1)知，f(x)存在两个极值点时，当且仅当a2.由于f(x)的两个极值点x1，x2满足x2ax10，所以x1x21，不妨设x1x2，则x21.由于1a2a2a，所以a2等价于x22ln x20.设函数g(x)x2ln x，由(1)知，g(x)在(0，)单调递减，又g(1)0，从而当x(1，)时，g(x)0.所以x22ln x20，即a2.4(2019全国卷)已知函数f(x)2x3ax2b.(1)讨论f(x)的单调性；(2)是否存在a，b，使得f(x)在区间0,1的最小值为1且最大值为1？若存在，求出a，b的所有值；若不存在，说明理由解(1)f(x)6x22ax2x(3xa)令f(x)0，得x0或x.若a0，则当x(，0)时，f(x)0；当x时，f(x)0.故f(x)在(，0)，单调递增，在单调递减；若a0，f(x)在(，)单调递增；若a0，则当x(0，)时，f(x)0；当x时，f(x)0.故f(x)在，(0，)单调递增，在单调递减(2)满足题设条件的a，b存在当a0时，由(1)知，f(x)在0,1单调递增，所以f(x)在区间0,1的最小值为f(0)b，最大值为f(1)2ab.此时a，b满足题设条件当且仅当b1，2ab1，即a0，b1.当a3时，由(1)知，f(x)在0,1单调递减，所以f(x)在区间0,1的最大值为f(0)b，最小值为f(1)2ab.此时a，b满足题设条件当且仅当2ab1，b1，即a4，b1.当0a3时，由(1)知，f(x)在0,1的最小值为fb，最大值为b或2ab.若b1，b1，则a3，与0a3矛盾若b1,2ab1，则a3或a3或a0，与0a3矛盾综上，当且仅当a0，b1或a4，b1时，f(x)在0,1的最小值为1，最大值为1.1(2020新乡二模)已知函数f(x)axex(aR)(1)讨论f(x)的单调性；(2)讨论f(x)在(0，)上的零点个数解(1)f(x)aex，当a0时，f(x)0时，当x0，函数f(x)在(，ln a)上单调递增，当xln a时，f(x)0，则g(x)，当x1时，g(x)0，函数单调递增，当0x1时，g(x)0，函数单调递减，故g(x)g(1)e，当ae时，a在(0，)上有2个零点，即f(x)有2个零点2(2020芜湖模拟)已知函数f(x)aex2x，aR.(1)求函数f(x)的极值；(2)当a1时，证明：f(x)ln x2x2.解(1)f(x)aex2，当a0时f(x)0时，令f(x)0得xln，f(x)0得xln，f(x)0得x0时，f(x)的极小值为f22ln ，无极大值(2)当a1时，f(x)ln x2xexln x，令g(x)exln x2，g(x)ex(x0)，令g(x)0得xx0，因为g(x)在(0，)为增函数，所以函数g(x)在(0，x0)上单调递减函数，在(x0，)上单调递增函数，所以g(x)g(x0)ex0ln x02x02(x01)0.即得证3(2020郑州一中适应性检测)已知函数f(x)x2(a1)xaln x.(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)对任意的a3,5，x1，x21,3(x1x2)，恒有|f(x1)f(x2)|，求实数的取值范围解(1)由题意知，函数f(x)的定义域为x|x0，对f(x)求导，得f(x)x(a1)(x0)当a0时，函数f(x)的单调递增区间为(1，)，单调递减区间为(0,1)；当0a1时，函数f(x)的单调递增区间为(0，a)，(1，)，单调递减区间为(a,1)；当a1时，函数f(x)的单调递增区间为(0,1)，(a，)，单调递减区间为(1，a)；当a1时，函数f(x)的单调递增区间为(0，)，没有单调递减区间(2)不妨设1x1x23，则0.又3a5，由(1)知，函数f(x)在1,3上单调递减，则f(x1)f(x2)0.所以f(x1)f(x2)，即f(x1)f(x2).令g(x)f(x)(1x3)，可知函数g(x)在1,3上单调递增，则g(x)f(x)0，即x3(a1)x2ax(x2x)ax3x2对任意的a3,5，x1,3成立记h(a)(x2x)ax3x2，则x1,3时，h(a)x2x0，函数h(a)在3,5上单调递增，所以h(a)h(5)x36x25x.记(x)x36x25x，则(x)3x212x5，注意到(1)40，(3)40，由二次函数性质知在x1,3时，(x)0，即函数(x)在1,3上单调递增，所以(x)(3)12，故的取值范围为12，)4(2020潍坊模拟)已知函数f(x)xln xkx，kR.(1)求yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程；(2)若不等式f(x)x2x恒成立，求k的取值范围；(3)求证：当nN*时，不等式n(4i21)成立解(1)函数yf(x)的定义域为(0，)，f(x)1ln xk，f(1)1k，f(1)k，函数yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为yk(k1)(x1)，即y(k1)x1.(2)设g(x)ln xxk1，g(x)1，x(0,1)，g(x)0，g(x)单调递增，x(1，)，g(x)0，ln xxk10，g(x)maxg(1)k20即可，故k2.(3)由(2)可知：当k2时，ln xx1恒成立，令x，由于iN*，0.故ln1，变形得：ln(4i21)1，即ln(4i21)1(i1,2,3，n)时，有ln 31 ，ln 151，ln(4n21)1 ，两边同时相加得：n(4i21)n，所以不等式在nN*上恒成立.
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