曲面及其方程

目录 上页 下页 返回 结束 四、二次曲面四、二次曲面第三节一、曲面方程的概念一、曲面方程的概念二、旋转曲面二、旋转曲面 三、柱面三、柱面曲面及其方程 目录 上页 下页 返回 结束 曲面及其方程曲面及其方程水桶的表面、台灯的罩子面等水桶的表面、台灯的罩子面等曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹曲面方程的定义：曲面方程的定义：曲面的实例：曲面的实例：一、曲面方程的概念一、曲面方程的概念目录 上页 下页 返回 结束 以下给出几例常见的曲面以下给出几例常见的曲面.解解根据题意有根据题意有所求方程为所求方程为特殊地：球心在原点时方程为特殊地：球心在原点时方程为目录 上页 下页 返回 结束 解解根据题意有根据题意有所求方程为所求方程为目录 上页 下页 返回 结束 根据题意有根据题意有化简得所求方程化简得所求方程解解目录 上页 下页 返回 结束 例例4 4 方程方程 的图形是怎样的？的图形是怎样的？根据题意有根据题意有图形上不封顶，下封底图形上不封顶，下封底解解目录 上页 下页 返回 结束 以上几例表明研究空间曲面有以上几例表明研究空间曲面有两个基本问题两个基本问题：（2 2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状）已知坐标间的关系式，研究曲面形状（讨论旋转曲面）（讨论旋转曲面）（讨论柱面、二次曲面）（讨论柱面、二次曲面）（1 1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程目录 上页 下页 返回 结束 二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为所成的曲面称为旋旋转曲面转曲面.旋转曲线和定直线旋转曲线和定直线分别叫旋转曲面的分别叫旋转曲面的母线和轴母线和轴目录 上页 下页 返回 结束 旋转过程中的特征：旋转过程中的特征：如图如图将将 代入代入目录 上页 下页 返回 结束 将将 代入代入得方程得方程 平面曲线绕某轴旋转，轴坐标变量不变，平面曲线绕某轴旋转，轴坐标变量不变，而将曲线方程中的另一变量改写成该变量与而将曲线方程中的另一变量改写成该变量与第三个变量的平方和的正负平方根。第三个变量的平方和的正负平方根。目录 上页 下页 返回 结束 解解 圆锥面方程圆锥面方程目录 上页 下页 返回 结束 例例6 6 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求生成的旋转曲面的方程生成的旋转曲面的方程旋旋转转双双曲曲面面旋转双叶双曲面旋转双叶双曲面旋转单叶双曲面旋转单叶双曲面目录 上页 下页 返回 结束 旋旋转转椭椭球球面面旋转抛物面旋转抛物面目录 上页 下页 返回 结束 三、柱面三、柱面引例引例.分析方程表示怎样的曲面.的坐标也满足方程解解:在 xOy 面上，表示圆C,沿圆周C平行于 z 轴的一切直线所形成的曲面称为圆圆故在空间过此点作柱面柱面.对任意 z,平行 z 轴的直线 l,表示圆柱面圆柱面在圆C上任取一点 其上所有点的坐标都满足此方程,目录 上页 下页 返回 结束 定义定义观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面.这条定曲线这条定曲线 叫叫柱面的柱面的准线准线，动直线动直线 叫柱叫柱面的面的母线母线.目录 上页 下页 返回 结束 柱面举例柱面举例抛物柱面抛物柱面平面平面目录 上页 下页 返回 结束 一般地,在三维空间柱面,柱面,平行于 x 轴;平行于 y 轴;平行于 z 轴;准线 xOz 面上的曲线 l3.母线柱面,准线 xOy 面上的曲线 l1.母线准线 yOz 面上的曲线 l2.母线目录 上页 下页 返回 结束 四、二次曲面四、二次曲面三元二次方程 适当选取直角坐标系可得它们的标准方程,下面仅 就几种常见标准型的特点进行介绍.研究二次曲面特性的基本方法:截痕法截痕法 其基本类型有:椭球面、抛物面、双曲面、锥面的图形统称为二次曲面二次曲面.(二次项系数不全为 0)目录 上页 下页 返回 结束 1.椭圆锥面椭圆锥面椭圆在平面 x0 或 y0 上的截痕为过原点的两直线.可以证明,椭圆上任一点与原点的连线均在曲面上.(椭圆锥面也可由圆锥面经 x 或 y 方向的伸缩变换得到,见 P28)目录 上页 下页 返回 结束 2 2.椭球面椭球面(1)范围：(2)与坐标面的交线：椭圆目录 上页 下页 返回 结束 与的交线为椭圆：(4)当 ab 时为旋转椭球面;同样的截痕及也为椭圆.当abc 时为球面.(3)截痕:为正数)目录 上页 下页 返回 结束 3.双曲面双曲面(1)(1)单叶双曲面单叶双曲面椭圆.时,截痕为(实轴平行于x 轴；虚轴平行于z 轴）平面 上的截痕情况:双曲线:目录 上页 下页 返回 结束 虚轴平行于x 轴）时,截痕为时,截痕为(实轴平行于z 轴;相交直线:双曲线:目录 上页 下页 返回 结束(2)双叶双曲面双叶双曲面双曲线椭圆注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别:双曲线单叶双曲面双叶双曲面P18 图形图形目录 上页 下页 返回 结束 4.抛物面抛物面(1)椭圆抛物面(p,q 同号)(2)双曲抛物面（鞍形曲面）(p,q 同号)特别,当 p=q 时为绕 z 轴的旋转抛物面.目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1.空间曲面三元方程 球面 旋转曲面如,曲线绕 z 轴的旋转曲面:柱面如,曲面表示母线平行 z 轴的柱面.又如,椭圆柱面,双曲柱面,抛物柱面等.目录 上页 下页 返回 结束 2.二次曲面三元二次方程 椭球面 抛物面:椭圆抛物面双曲抛物面 双曲面:单叶双曲面双叶双曲面 椭圆锥面:目录 上页 下页 返回 结束 斜率为1的直线平面解析几何中空间解析几何中方 程平行于 y 轴的直线 平行于 yOz 面的平面 圆心在(0,0)半径为 3 的圆以 z 轴为中心轴的圆柱面平行于 z 轴的平面思考与练习思考与练习1.指出下列方程的图形:目录 上页 下页 返回 结束 2.P30 题3,10题题10 答案答案:在 xOy 面上 目录 上页 下页 返回 结束 思考题思考题 指出下列方程在平面解析几何中和空指出下列方程在平面解析几何中和空间解析几何中分别表示什么图形？间解析几何中分别表示什么图形？目录 上页 下页 返回 结束 思考题解答思考题解答平面解析几何中平面解析几何中空间解析几何中空间解析几何中斜率为斜率为1的直线的直线方程方程目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束