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北京市西城区2022-2023学年度第二学期期末试卷高二数学2023.7本试卷共5页，共150分考试时长120分钟考生务必将答案写在答题卡上，在试卷上作答无效第一部分（选择题 共40分）一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1. 等差数列，1，4，的第10项为（ ）A. 22B. 23C. 24D. 25【答案】D【分析】由题可得数列的首项及公差，即可得数列的通项公式及答案.【详解】由题可得数列首项为，公差为，则数列通项公式为，则数列的第10项为.故选：D2. 设函数，则（ ）A. 1B. C. 0D. 【答案】B【分析】求出后可求.【详解】，故，故选：B3. 某一批种子的发芽率为从中随机选择3颗种子进行播种，那么恰有2颗种子发芽的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【分析】根据二项分布的概率公式即可求解.【详解】由题意可知种子发芽的颗数服从二项分布,所以恰好有2颗种子发芽的概率为，故选：C4. 记函数的导函数为，则（ ）A. 是奇函数B. 是偶函数C. 既是奇函数又是偶函数D. 既不是奇函数又不是偶函数【答案】B【分析】由题可得，后由奇偶函数定义可得答案.【详解】，则其定义域为，又注意到，则是偶函数.故选：B5. 在等差数列中，若，则当的前项和最大时，的值为（ ）A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】A【分析】根据等差数列的定义求得的通项公式即可求解.【详解】设等差数列的公差为，则由题意可得，解得，所以，当的前项和最大时，只需，即，解得，又，所以，故选：A6. 某钢厂的年产量由2010年的40万吨增加到2020年的60万吨，假设该钢厂的年产量从2010年起年平均增长率相同，那么该钢厂2030年的年产量将达（ ）A. 80万吨B. 90万吨C. 100万吨D. 120万吨【答案】B【分析】利用等比数列的通项公式求解.【详解】设年平均增长率为，由已知条件可知，各年的产量成等比数列，记为，首项为2011年的产量，公比， 所以2020年的年产量为，解得，则该钢厂2030年年产量为万吨，故选：.7. 如果函数在区间上单调递增，那么实数的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【分析】由题意可得在上恒成立，分离参数，构造新函数，根据新函数的单调性即可求解.【详解】函数的定义域为,且,因为函数在区间上单调递增，所以上恒成立，即在上恒成立.因为在上单调递增，所以，所以，即实数的取值范围为.故选：D.8. 在等比数列中，公比，记其前项的和为，则对于，使得都成立的最小整数等于（ ）A. 6B. 3C. 4D. 2【答案】A【分析】由题可得，即可得答案.【详解】由题，则.故选：A9. 设随机变量的分布列如下：12345则下列说法中不正确的是（ ）A. B. 当时，C. 若为等差数列，则D. 的通项公式可能为【答案】D【分析】利用概率的性质，等差数列的性质以及裂项法求和依次求解即可.【详解】选项,由已知得，其中，,则，所以选项正确；选项,当时，即，则，所以选项正确；选项,解得，所以选项正确；选项,，则 ，即的通项公式不可能为，所以选项不正确；故选：.10. 若函数有且仅有两个零点，则实数的范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【分析】即函数图象与直线有且仅有两个交点，通过导数画出函数图象，即可得答案.【详解】，则函数有且仅有两个零点等价于函数图象与直线有且仅有两个交点.又，则当时，得在上单调递减，在上单调递增，在处取得极小值.又时，据此可得大致图象如下：则.故选：C 第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：共5小题，每小题5分，共25分11. 函数的定义域为_【答案】【分析】根据定义域的求解方法即可.详解】要使函数有意义，则，解得且，故答案为:.12. 在等比数列中，若，则_【答案】【分析】利用等比数列的通项公式求解.【详解】设等比数列的公比为，由已知条件得，以上两式相比得，则，故答案为：.13. 若函数在处的切线与直线平行，则_【答案】0【分析】根据斜率相等，结合切点处的导数值即可求解.【详解】由题意可得，所以，解得，故答案为：014. 抛掷甲、乙两枚质地均匀的骰子，在甲骰子的点数为奇数的条件下，乙骰子的点数不小于甲骰子点数的概率为_【答案】【分析】先求出总的事件数目，再求出符合的事件数目，即可求出概率.【详解】甲投掷股子可能出现的点数为：，乙投掷股子可能出现的点数为：，则所有出现的情况为（第一个表示甲投掷的，第二个表示乙投掷的）：，一共有18种情况，乙不小于甲骰子点数的情况有：，一共有12种，则在甲骰子的点数为奇数的条件下，乙骰子的点数不小于甲骰子点数的概率为.故答案为：15. 已知数列各项均为正整数，对任意的，和中有且仅有一个成立，且，记给出下列四个结论：可能为等差数列； 中最大的项为；不存最大值； 的最小值为36其中所有正确结论的序号是_【答案】【分析】利用等差数列的定义判断；利用已知举例说明判断；求出的最小值判断作答.【详解】当时，由得，由得，于是与仅只一个为1，即，因此数列不能是等差数列，错误；令，依题意，与均为整数，且有且仅有一个为1（即隔项为1），若，则，而，因此，当且仅当数列为时取等号，若，则，而，因此，当且仅当数列为时取等号，从而的最小值为36，正确；当时，取，数列为：，满足题意，取，中最大的项不为，错误；由于的任意性，即无最大值，因此不存在最大值，正确，所以所有正确结论的序号是.故答案为：【点睛】关键点睛：涉及数列新定义问题，关键是正确理解给出的定义，由给定的数列结合新定义探求数列的相关性质，并进行合理的计算、分析、推理等方法综合解决.三、解答题：共6小题，共85分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程16. 已知函数，其中（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若在区间上的最小值为0，求在该区间上的最大值【答案】（1） （2）【分析】（1）求导后，根据导数的几何意义求得斜率，再根据点斜式方程即可求解；（2）求导后，根据导数的正负判断单调性，从而可得，求得，再分别计算，即可求解.【小问1详解】当时，得 则， 所以曲线在点处的切线方程为，即【小问2详解】，由，得或 随着的变化，的变化情况如下：2-0+极小值所以的单调递减区间为，单调递增区间为从而的最小值，解得 又因为，所以在区间上的最大值17. 已知等比数列的公比，且，的等差中项等于（1）求的通项公式；（2）设，证明：数列为等差数列【答案】（1） （2）证明见解析【分析】（1）根据等差中项以及等比数列基本量的计算即可得公比和首项，即可求解，（2）根据对数的运算性质，即可由等差数列的定义证明.【小问1详解】由，的等差中项等于，得， 所以，即 解得或（舍） 由，得 所以【小问2详解】因为， 所以，所以数列是首项为3，公差为的等差数列18. 某校开展了为期一年的“弘扬传统文化，阅读经典名著”活动活动后，为了解阅读情况，学校随机选取了几名学生，统计了他们的阅读量并整理得到以下数据（单位：本）：男生：3，4，6，7，7，10，11，11，12；女生：5，5，6，7，8，9，11，13假设用频率估计概率，且每个学生的阅读情况相互独立（1）根据样本数据，估计此次活动中学生阅读量超过10本的概率；（2）现从该校的男生和女生中分别随机选出1人，记为选出的2名学生中阅读量超过10本的人数，求的分布列和数学期望；（3）现增加一名女生得到新的女生样本记原女生样本阅读量的方差为，新女生样本阅读量的方差为若女生的阅读量为8本，写出方差与的大小关系（结论不要求证明）【答案】（1） （2）分布列见解析；期望为 （3）【分析】（1）根据样本数据统计超过10本的个数即可求解，（2）根据乘法公式求解概率，进而得分布列，由期望公式即可求解，（3）根据方差的计算公式即可求解.【小问1详解】共选出了17名学生，其中有5人的阅读量超过10本， 所以此次活动中学生阅读量超过10本的概率为【小问2详解】由题意，从男生中随机选出1人其阅读量超过10本的概率为； 从女生中随机选出1人，其阅读量超过10本的概率为 由题设，的可能取值为0，1，2 且； 所以的分布列为：012的数学期望【小问3详解】理由：设原女生的8个阅读量分别为，原女生阅读量的平均数为，新增一名女生后，平均数依然为8，则所以19. 某种型号轮船每小时的运输成本（单位：元）由可变部分和固定部分组成其中，可变部分成本与航行速度的立方成正比，且当速度为时，其可变部分成本为每小时8元；固定部分成本为每小时128元（1）设该轮船航行速度为，试将其每小时的运输成本表示为的函数；（2）当该轮船的航行速度为多少时，其每千米的运输成本（单位：元）最低？【答案】（1），其中； （2）.【分析】（1）设每小时的可变成本为，根据可变部分成本与航行速度的立方成正比可求，从而可求每小时的运输成本；（2）该轮船每千米的运输成本，利用导数求其单调性即可.【小问1详解】设该轮船航行速度为时，其每小时的可变成本为（单位：元），则，其中 由题意，得，解得，故 所以每小时的运输成本，其中【小问2详解】该轮船每千米的运输成本， 求导，得，其中 令，解得 由，解得；故在区间上单调递增；由，解得；故在区间上单调递减 所以当时，取得最小值故当该轮船的航行速度为时，其每千米的运输成本最低，且为9.6元20. 已知函数，其中（1）当时，求函数的单调区间；（2）若函数存在两个不同极值点，证明：【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为 （2）证明见解析【分析】（1）求导，根据导数的正负即可确定单调性，（2）根据极值点将问题转为存在两个不同的正实数根，构造函数，利用导数求解即可.【小问1详解】当时,函数的定义域为， 且 由，得 随着的变化，的变化情况如下：2_0+极小值所以的单调递增区间为，单调递减区间为【小问2详解】由题意，得，由存在两个不同的极值点，得存在两个不同的正实数根，即方程存在两个不同的正实数根， 所以，即 又因为，所以 令，其中， 由，得在上单调递增，所以，即21. 设为无穷数列，给定正整数，如果对于任意，都有，则称数列具有性质（1）判断下列两个数列是否具有性质；（结论不需要证明）等差数列：5，3，1，；等比数列：1，2，4，（2）已知数列具有性质，且由该数列所有项组成的集合，求的通项公式；（3）若既具有性质又具有性质的数列一定是等差数列，求的最小值【答案】（1）数列具有性质；数列不具有性质 （2）的通项公式为或 （3）5【分析】（1）性质即，通过代入验证即可判断；（2）通过转化得到数列：，是等差数列且公差，数列：，是等差数列且公差，进而分类讨论的正负情况进而求解的通项公式；（3）由数列1，1，1，2，2，2，3，3，3，不是等差数列，且其既具有性质又具有性质，得所以的最小值大于或等于5，然后证明的最小值等于5即可.【小问1详解】由题意知，数列通项公式为，满足，所以数列具有性质；数列中，代入，所以不满足，所以数列不具有性质.【小问2详解】由数列具有性质，得，所以，即，所以数列：，是等差数列 又因为，所以数列的公差，同理，得数列：，是等差数列，公差 若且，则数列的最小项是，数列的最小项是，所以数列的最小项为1，这与矛盾；若且，同理，得的最大项为2，这与矛盾； 若且，则为递减数列，为递增数列由，得3为数列中的项，所以只能是，且；同理，可得0为数列中的项，所以只能，此时，的通项公式为 若，类似的讨论可得，此时，的通项公式为综上，的通项公式为或【小问3详解】由数列1，1，2，2，3，3，不是等差数列，且其同时具有性质，得且类似的，由数列1，1，1，2，2，2，3，3，3，不是等差数列，且其既具有性质又具有性质，得所以的最小值大于或等于5 以下证明的最小值等于5，即证“既具有性质又具有性质的数列一定是等差数列”因为具有性质，即，所以对于，是等差数列；同理，由具有性质，得对于，是等差数列 由，为等差数列（记公差为），且，为等差数列（记公差为），得，所以令，则，同理，由，为等差数列，且，为等差数列（记公差为），得，所以，且所以 同理，由，为等差数列，且，为等差数列，得；由，为等差数列，且，为等差数列，得；由，为等差数列，且，为等差数列，得综上，故数列是公差为的等差数列即既具有性质又具有性质的数列一定是等差数列所以的最小值等于5
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