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要点导学各个击破多点共线与多线共点的证明如图,已知ABC的各顶点均在平面外,直线AB,AC,BC分别交平面于点P,Q,R,求证:P,Q,R三点共线.(例1)思维引导根据公理2,选择恰当的两个平面,只要证明R,Q,P三点都是某两个平面的公共点,即可证明三点在这两个平面的交线上.证明设ABC确定了一个平面,因为点RBC,所以R.又R,所以R在平面和平面的交线上.同理,点P,Q也在平面和平面的交线上.而平面和平面的交线只有一条,故P,Q,R三点共线.精要点评(1) 证明点共线的方法:先考虑两个平面的交线,再证明有关的点都是这两个平面的公共点;先选择其中两点确定一条直线,再证明其他点也在这条直线上.(2) 公理的正确运用,严密的逻辑推理过程,文字、符号、图形语言的转化是解立体几何题的基本要求,也是高考考查的重点.已知E,F,G,H分别为空间四边形(四个顶点不共面的四边形)ABCD各边AB,AD,BC,CD上的点,且直线EF和GH交于点P,求证:B,D,P在同一条直线上.(变式)证明因为PEF,而EAB,FAD,所以EF平面ABD,所以P平面ABD;同理,P平面BDC.所以点P在平面ABD与平面BDC的交线上.又因为平面ABD平面BDC=BD,所以PBD,即B,D,P在同一条直线上.点线共面的证明已知直线l与三条平行直线a,b,c都相交,求证:l与a,b,c共面.思维引导先由两平行直线确定一个平面,再确定另一个平面,最后说明两平面重合且直线l在三平行直线所确定的平面内即可.(例2)证明如图,因为ab,所以直线a,b可确定一个平面.因为bc,所以直线b,c可确定一个平面.因为Aa,Bb,Cc,且A,B,Cl,所以l,l,所以存在两条相交直线b,l既在平面内又在平面内,所以由公理3及推论知,平面,必重合,所以直线l与直线a,b,c共面.精要点评证明几条线共面的方法:先由有关元素确定一个基本平面,再证其他的点(或线)在这个平面内;先由部分点线确定平面,再由其他点线确定平面,然后证明这些平面重合.求证:若不交于同一个点的四条直线两两相交,则这四条直线共面.证明若三直线l1,l2,l3交于一点A(如图(1),则由点A与l4确定一个平面,A,B,AB,l1,同理可得l2,l3,所以l1,l2,l3,l4四线共面.图(1)图(2)(变式)若四直线无三线共点,设两直线l1,l2交于一点A(如图(2),则l1,l2确定一个平面,则B,Cl3.同理,l4,所以l1,l2,l3,l4四线共面.求异面直线所成的角(2014全国卷)已知正四面体ABCD中,E是AB的中点,求异面直线CE与BD所成角的余弦值.(例3)解答设AD的中点为F,连接EF,CF,则EFBD,所以异面直线CE与BD所成的角是FEC或其补角.设正四面体ABCD的棱长为2a,则EF=a,CE=CF=a,由余弦定理可得cosCEF=.故异面直线CE与BD所成角的余弦值为.(2014通城模拟)已知四棱锥P-ABCD的所有侧棱长都为,底面ABCD是边长为2的正方形,求CD与PA所成角的余弦值.解答在正方形ABCD中,CDAB,所以PAB或其补角就是异面直线CD与PA所成的角.在PAB中,PA=PB=,AB=2,所以cosPAB=,故CD与PA所成角的余弦值为.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,对角线A1C与平面BDC1交于点O,AC,BD交于点M,E为AB的中点,F为AA1的中点.(范题赏析)(1) 求证:C1,O,M三点共线;(2) 求证:E,C,D1,F四点共面;(3) 求证:CE,D1F,DA三线共点.规范答题(1) 因为C1,O,M平面BDC1,点C1,O,M平面A1ACC1,由公理3知点C1,O,M在平面BDC1与平面A1ACC1的交线上,(3分)所以C1,O,M三点共线.(4分)(2) 连接A1B,CD1.因为E,F分别是AB,A1A的中点,所以EFA1B.(6分)因为A1BCD1,所以EFCD1,所以E,C,D1,F四点共面.(8分)(3) 由(2)可知,E,C,D1,F四点共面.又EF=A1B,所以D1F,CE为相交直线,设交点为P, (10分)则PD1F平面ADD1A1,PCE平面ADCB.(12分)又平面ADD1A1平面ADCB=AD,所以PAD,所以CE,D1F,DA三线共点.(14分)1. 如果a,b是异面直线,b,c也是异面直线,那么直线a与c的位置是.答案平行、相交或异面解析事实上,直线a与c的位置关系是不确定的.2. 若lm=,则直线l与m的位置关系是.答案平行或异面3. (2014南安模拟)下列图形中不一定是平面图形的是.(填序号)三角形; 四边相等的四边形; 梯形; 平行四边形.答案解析根据确定平面的公理以及推论知中的图形是平面图形,根据空间四边形知四边相等的四边形不一定是平面图形.注意在立体几何中的四边形不一定是平面图形,也可构成几何体即三棱锥.4. 如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,已知E,F分别是AB,BC的中点,E1,F1分别是A1B1,B1C1的中点,求证:EFE1F1.(第4题)证明连接AC,则在三角形ABC中,因为E,F分别是AB,BC的中点,所以EFAC.同理,在A1B1C1中,E1F1A1C1.又因为AA1BB1,CC1BB1,且AA1=BB1,CC1=BB1,所以四边形AA1C1C是平行四边形,所以ACA1C1.所以E1F1AC,所以EFE1F1.温馨提醒趁热打铁,事半功倍.请老师布置同学们完成配套检测与评估中的练习(第97-98页).
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