大学物理 第三章－1

刚体：刚体：形状和大小都不变的物体。形状和大小都不变的物体。第第 三三 章章刚体和流体的运动刚体和流体的运动 实质上可以把实质上可以把刚体刚体看作是看作是质量连续分布质量连续分布的的且任意两质量元之间且任意两质量元之间距离保持不变距离保持不变的的质点系质点系。最基本的运动形式：最基本的运动形式：平动、绕固定轴的转动平动、绕固定轴的转动3-1 3-1 刚体模型及其运动刚体模型及其运动一、刚体的基本运动一、刚体的基本运动平动：平动：刚体在运动过程中，其上任意刚体在运动过程中，其上任意两点的连线始终保持平行。两点的连线始终保持平行。可以用质点动力学可以用质点动力学的方法来处理刚体的方法来处理刚体的平动问题。的平动问题。注：注：转动：刚体中所有的点都绕同一直线做圆周运转动：刚体中所有的点都绕同一直线做圆周运动动.转动又分定轴转动和非定轴转动转动又分定轴转动和非定轴转动.刚体的平面运动刚体的平面运动.刚体的一般运动刚体的一般运动 质心的平动质心的平动绕质心的转动绕质心的转动+3-2 3-2 力矩力矩 转动惯量转动惯量 定轴转动定律定轴转动定律一、对转轴的力矩一、对转轴的力矩1 1、力矩的大小、力矩的大小FrdM=F d=F r sin换个角度！换个角度！M使刚体发生转动使刚体发生转动M与与F、r、有关有关M 合合=F合合 r sin=M i若力不在垂直转轴的平面内，则若力不在垂直转轴的平面内，则F转轴转轴F/对对转动无贡献转动无贡献2 2、力矩的矢量式、力矩的矢量式zd大小和方向？大小和方向？F1转轴转轴 对转动有贡献对转动有贡献二、角速度的矢量性二、角速度的矢量性 角加速度角加速度一般情况：规定一般情况：规定方向：方向：由右手螺旋法则确定由右手螺旋法则确定大小：大小：线速度与角速度之间的关系：线速度与角速度之间的关系：角加速度矢量：角加速度矢量：方向呢？方向呢？其方向与其方向与 方向一致方向一致 也就是与也就是与 增加方向一致增加方向一致讨论：当讨论：当 随时间随时间 增大时增大时当当 随时间随时间 减小时减小时增大增大减小减小匀加速转动公式匀加速转动公式 miz三、定轴转动定律三、定轴转动定律把刚体看作一个质点系把刚体看作一个质点系合外力矩：合外力矩：合外力矩：合外力矩：合内力矩：合内力矩：合内力矩：合内力矩：加速度：加速度：加速度：加速度：其中：其中：其中：其中：定轴转动定律：定轴转动定律：转动惯量：转动惯量：miz mi 力使物体产生加速度，力矩改变刚体的转力使物体产生加速度，力矩改变刚体的转动状态，产生角加速度！动状态，产生角加速度！讨论：讨论：（1）物理意义：）物理意义：（2）定轴转动中：）定轴转动中：Mz=J M有正负有正负（3）=0，=0（是恒矢量）是恒矢量）匀角速转动匀角速转动 =恒矢量，恒矢量，=恒矢量恒矢量 匀变角速转动匀变角速转动 恒矢量，恒矢量，恒矢量恒矢量 变角速转动变角速转动四、转动惯量四、转动惯量 J J2 2、物理含义：、物理含义：出现一次：出现一次：Jm转动惯量是转动中惯性大小的量度转动惯量是转动中惯性大小的量度1 1、定义：、定义：或或3 3、影响因素、影响因素到转轴的垂直距离到转轴的垂直距离与刚体的与刚体的形状、体积、密度、转轴形状、体积、密度、转轴有关。有关。J决定于刚体各部分的质量相对于转轴的分布情况决定于刚体各部分的质量相对于转轴的分布情况4 4、计算方法、计算方法 质量离散分布刚体的转动惯量质量离散分布刚体的转动惯量或或 质量连续分布刚体的转动惯量质量连续分布刚体的转动惯量：质量元：质量元2 对质量线分布的刚体：对质量线分布的刚体：质量线密度：质量线密度2 对质量面分布的刚体：对质量面分布的刚体：质量面密度：质量面密度2 对质量体分布的刚体：对质量体分布的刚体：质量体密度：质量体密度oxzdxdmx解解:(1)选质元选质元 dm 如图所示如图所示例例1:1:均匀细棒均匀细棒,质量为质量为m,长度为长度为 l求求(1)通过棒的通过棒的质心质心与棒垂直的轴的与棒垂直的轴的J (2)通过棒的通过棒的端点端点与棒垂直的轴的与棒垂直的轴的Joxzdxdmx(2)选质元选质元dm如图所示如图所示同一刚体同一刚体,不同转轴的两不同转轴的两J有联系吗有联系吗?mR R R RJ Jz z（2 2）平行轴定理）平行轴定理 若刚体对过质心的轴的转动惯量为若刚体对过质心的轴的转动惯量为J Jc c，则对则对与该轴相距为与该轴相距为d d的平行轴的平行轴z z的转动惯量的转动惯量J Jz z是是J Jc c两转轴距离两转轴距离 l/2以转轴通过质心的以转轴通过质心的J最小最小!d例例例例2 2 2 2、一质量为一质量为m m，长为长为l l的均质细杆，转轴在的均质细杆，转轴在o o点，距点，距A A端端l l/3/3。今使棒从静止开始由水平位置绕今使棒从静止开始由水平位置绕o o点转动，点转动，求：（求：（1 1）水平位置的角速度和角加速度。（）水平位置的角速度和角加速度。（2 2）垂直）垂直位置时的角速度和角加速度。位置时的角速度和角加速度。解：解：coBA（1 1）dmgcoBA（2 2 2 2）mg 例题例题3:求下列刚体的求下列刚体的J。已知已知 m,R（1）质量均匀分布的细圆环，转轴过中心与环）质量均匀分布的细圆环，转轴过中心与环面垂直面垂直（2）质量均匀分布的薄圆盘，转轴过中心与盘）质量均匀分布的薄圆盘，转轴过中心与盘面垂直面垂直（3）质量均匀分布的圆球，转轴沿直径）质量均匀分布的圆球，转轴沿直径解：解：解：选质元解：选质元dm如图所示如图所示ordrR（2）质量均匀分布的薄圆盘，转轴过中心与）质量均匀分布的薄圆盘，转轴过中心与盘面垂直盘面垂直yRodyry（3）质量均匀分布的圆球，转轴沿直径）质量均匀分布的圆球，转轴沿直径解：选质元解：选质元dm如图所示如图所示例例4：一细绳跨过定滑轮，在绳的两端各悬质量为：一细绳跨过定滑轮，在绳的两端各悬质量为m1和和m2的物体，其中的物体，其中m1m2,求它们求它们 的加速度及的加速度及绳两端的张力绳两端的张力T1和和T2(滑轮质量为滑轮质量为m半径为半径为R)解解:分别隔离分别隔离m1、m2和滑轮和滑轮分析受力分析受力mm1m2mm1mm2R以运动方向作为正向：以运动方向作为正向：对于对于m2：对于滑轮：对于滑轮：又绳和又绳和滑轮间无相对滑动滑轮间无相对滑动 则：则：对于对于m1：mm1mm2Rm2m1m解得：解得：例例5 5、质量为质量为M=16kgM=16kg的实心滑轮，半径为的实心滑轮，半径为R=0.15mR=0.15m。一根细绳绕在滑轮上，一端挂一质量为一根细绳绕在滑轮上，一端挂一质量为m m的物体。求的物体。求（1 1）由静止开始）由静止开始1 1秒钟后，物体下降的距离。秒钟后，物体下降的距离。（2 2）绳子的张力。）绳子的张力。解：解：mMma例例例例6 6 6 6、一半径为一半径为R R，质量为质量为m m的均匀圆盘平放在粗糙的的均匀圆盘平放在粗糙的水平面上。若它的初速度为水平面上。若它的初速度为 o o，绕中绕中o o心旋转，问经心旋转，问经过多长时间圆盘才停止。（设摩擦系数为过多长时间圆盘才停止。（设摩擦系数为）oRRdrdrr r解：解：解：解：例例7 7、计算钟摆的转动惯量。（已知：摆锤质量、计算钟摆的转动惯量。（已知：摆锤质量为为m m，半径为半径为r r，摆杆质量也为摆杆质量也为m m，长度为长度为2r2r）ro解：解：解：解：摆杆转动惯量：摆杆转动惯量：摆锤转动惯量：摆锤转动惯量：