矩阵的特征值和特征向量

返 回上 页 下 页目 录2021年 6月 10日 星 期 四 1 第三章 矩阵的特征值与特征向量 1 方 阵 的 特 征 值 与 特 征 向 量 2 矩 阵 的 对 角 化 返 回上 页 下 页目 录2021年 6月 10日 星 期 四 2 第 1节方 阵 的 特 征 值 与 特 征 向 量 返 回上 页 下 页目 录2021年 6月 10日 星 期 四 3 Ax x定义3.1A n n 非 零设 是 阶 方 列 向 量 x阵 ,如 果 存 在 维 数和满 足 A 称 特 征 值矩 阵 的 对 应 于 特 征 值是 矩 阵 A的 (eigenvalue)，称 x是(eigenvect 的 特 征 向 量or)。3.1.1 特 征 值 与 特 征 向 量 的 基 本 概 念 返 回上 页 下 页目 录2021年 6月 10日 星 期 四 4 例 1 2 1 14 0 23 2 4A 1 121x 2 213x 2 A1验 证 x， x 是 否 是 的 特 征 向 量 。解 1 2 1 1 14 0 2 23 2 4 1Ax 363 113 2 31 x 2 2 1 1 24 0 2 13 2 4 3Ax 624 是不 是 返 回上 页 下 页目 录2021年 6月 10日 星 期 四 5 命 题 1 n n非 零 维 向 量 x是 阶 方 阵 的 的充 分 必 要 条 件 是 ： 向 量 Ax与 特 征 向A 量x共 线 。命 题 2 0kx Ak A （ ）如 果 x是 矩 阵 的 对 应 特 征 值 的 特 征 向 量 ，则 也 是 的 对 应 特 征 值 的 特 征 向 量 。命 题 3 矩 阵 A的 任 一 特 征 向 量 所 对 应 的 特 征 值 是 唯 一 的 。 1 20 x Ax Ax x ， x，1 2 0 x x 1 2 00 x （ ） x 1 2 0 返 回上 页 下 页目 录2021年 6月 10日 星 期 四 6 Ax x( ) 0A I x 它 有 非 零 解 的 充 分 必 要 条 件 是0A I 即 11 12 121 22 21 2 0nnn n nna a aa a aa a a 怎 样 求 矩 阵 A的 特 征 值 与 特 征 向 量 ？ .x实 数 非要 零 向 量求 与 返 回上 页 下 页目 录2021年 6月 10日 星 期 四 7 矩阵的特征方程和特征多项式定义3.2A的 特 征 方 程A的 特 征 多 项 式I A A的 特 征 矩 阵I A 0I A 特 征 方 程 的 根 称 为 A的 特 征 根 ， 也 称 为 A的 特 征 值 。 返 回上 页 下 页目 录2021年 6月 10日 星 期 四 8 求矩阵的特征值与特征向量的步骤1.求 矩 阵 A的 特 征 方 程2.求 特 征 方 程 的 根 ， 即 特 征 值 0A I 3.对 每 个 特 征 值 i 解 方 程 组( ) 0iA I x 求 出 该 齐 次 线 性 方 程 组 的 通 解 ， 除 去 0向 量便 得 属 于 i 的 全 部 特 征 向 量 。 ( ) 0I xA 返 回上 页 下 页目 录2021年 6月 10日 星 期 四 9 例 2： 求 矩 阵 的 特 征 值 和 特 征 向 量2 1 10 2 04 1 3A 解 A的 特 征 多 项 式 为2 1 10 2 04 1 3A I 2 1(2 ) 4 3 2 2(2 )( 6 4) (2 )( 2) A的 特 征 值 为 2( 1)( 2) 1 2 31, 2 返 回上 页 下 页目 录2021年 6月 10日 星 期 四 10 1 1 0A I x 当 时 ， 解 方 程 （ ）1 1 10 3 04 1 4A I 3 14r r2 3r 1 1 10 1 00 3 0 1 2r r3 23r r 1 0 10 1 00 0 0 得 基 础 解 系 1 1 0 1 T（ ， ， ）1 11 0k k 对 应 于 的 全 部 特 征 向 量 为 （ ） 2 3 2 2 0A I x 当 时 ， 解 方 程 （ ）4 1 12 0 0 04 1 1A I 3 1r r 4 1 10 0 00 0 0 2 011 3 104 得 基 础 解系2 3 2 对 应 于 的 全 部 特 征 向 量 为2 2 3 3 2 3 0k k k k （ ， 不 同 时 为 ） 返 回上 页 下 页目 录2021年 6月 10日 星 期 四 11 练 习 :求 下 列 矩 阵 的 特 征 值 和 特 征 向 量3 11 3A 解 A的 特 征 多 项 式 为3 11 3 2 2(3 ) 1 6 8 ( 2)( 4) A的 特 征 值 为 1 22, 4 1 2 当 时 ， 123 1 012 3 02 xx 1 21 2 00 x xx x 1 2x x 即 1 11 对 应 的 特征 向 量 可取 为 返 回上 页 下 页目 录2021年 6月 10日 星 期 四 12 2 4 当 时 123 1 014 3 04 xx 121 1 01 1 0 xx 1 2x x 对 应 的 特 征 向 量 可 取 为 2 11 1 0k k 1（ ） 是 对 应 于 的 全 部 特 征 向 量2 20k k （ ） 是 对 应 于 的 全 部 特 征 向 量 返 回上 页 下 页目 录2021年 6月 10日 星 期 四 13 3.1.2 特 征 值 与 特 征 向 量 的 性 质 定 理 1 Tn A A阶 方 阵 与 它 的 转 置 矩 阵 有 相 同 的 特 征 值 。定 理 2 1 2 1 21 212 1 21 22 2 1 201 2, , , ; , , , ; ; , , ,. i mmi i i irr r m m mr n AI A xi m 11设 方 阵 有 互 不 相 同 的 特 征 值 ， ， ， ，（ ） 的 基 础 解 系 为 ， ， ，（ ， ， ， ） ,则线 性 无 关推 论 若 n 阶 方 阵 有 互 不 相 同 的 特 征 值 1 2, , , m 则 其 对 应 的 特 征 向 量 1 2, , , mx x x 线 性 无 关 。 返 回上 页 下 页目 录2021年 6月 10日 星 期 四 14 1 21 21 2 11 22( ) , , ,( ), (1)(2) ,ij n n nn n nnn A aA a a a tr A 设 阶 方 阵 的 n个 特 征 值 为重 特 征 值 按 重 数 算 则 有 （ ）定 理 3 1 2 1 2 11 2 1 2(1) , , , ,| | ( )( ) ( )( ) ( 1)n nn nn nAI A n 由 于 为 的 特 征 值 故 =证 1 21 20, | | ( 1) ( 1) ,| |n n nnA A A 令 得 即 返 回上 页 下 页目 录2021年 6月 10日 星 期 四 15 (2) 由 于 11 12 121 22 21 211 22| | , nnn n nnnna a aa a aI A a a aa a a 的 行 列 式 的 展 开 中 主 对 角 线 的 乘 积 ( )( ) ( ) 111 22( ) ( 1) | |n nnna a a A n | I-A|= 1n n 是 其 中 的 一 项 ;再 由 行 列 式 的 定 义 可 知 :展 开 式 中 的 其 余 项 至 多包 含 n-2个 主 对 角 线 上 的 元 素 ,因 此 | I-A|中 含 与 的 项 只 能在 主 对 角 线 元 素 乘 积 项 中 出 现 ,故 有1 2 11 2 1 211 2 11 22| | ( )( ) ( )( ) ( 1)nn nn nn n nnI A a a a n =比 较 前 的 系 数 可 得 =tr(A ) 返 回上 页 下 页目 录2021年 6月 10日 星 期 四 16 定 理 4 设 A 是 n 阶 方 阵 ，0 1( ) ,mmA a I a A a A 0 1( ) mma a a 是 ( )A 的 特 征 值 .若 为 A 的 特 征 值 ， 则 返 回上 页 下 页目 录2021年 6月 10日 星 期 四 17 0 01 12 22 2 2 2, ,m mm mx Aa Ix a xa Ax a xa A x a A x a Ax a xa A x a x 证 明 ： 设 为 对 应 于 的 一 个 特 征 向 量 ， 则 有( ) ( )( ) ( ) A x xA 以 上 各 式 两 端 求 和 ， ，即 是 的 特 征 值 。 返 回上 页 下 页目 录2021年 6月 10日 星 期 四 18 设 A 是 一 个 三 阶 矩 阵 ， 1， 2， 3是 它 的 三 个 特 征 值 ， 试 求（ 1） A的 主 对 角 线 元 素 之 和（ 2） A2(3) A A I 解 11 22 33 1 2 3a a a 1 2 3 6 1 2 3A 1 2 3 6 2A A I 的 特 征 值 依 次 为1 1 1 3, 22 2 1 7, 23 3 1 13 2 3 7 13 273A A I 返 回上 页 下 页目 录2021年 6月 10日 星 期 四 19 试 证 n 阶 矩 阵 A 是 不 可 逆 (奇 异 )矩 阵 的 充 要 条 件 是 A 中 至 少 有 一 个 特 征 值 为 0。证 明 因 为 1 2 1 2( , , ,n nA 为 A的 特 征 值 ）所 以 0A 的 充 分 必 要 条 件 是 至 少 有 一 个 特 征 值为 零 。 返 回上 页 下 页目 录2021年 6月 10日 星 期 四 20 第 2节矩 阵 的 对 角 化 返 回上 页 下 页目 录2021年 6月 10日 星 期 四 21 定义3.3 设 A和 B为 n 阶 矩 阵 ,如 果 存 在 n 阶 可 逆 矩 阵 P，使 得 1P AP B 则 称 A相 似 于 B， 或 说 A和 B相 似 (similar) , 记 做 A B.性质 （ 1） 反 身 性 A相 似 于 A（ 2） 对 称 性 A相 似 于 B， 可 推 出 B相 似 于 A（ 3） 传 递 性 A相 似 于 B， B相 似 于 C， 可 推 出 A相 似 于 C。 3.2.1 相 似 矩 阵 及 其 性 质 返 回上 页 下 页目 录2021年 6月 10日 星 期 四 22 容 易 证 明 相 似 矩 阵 的 如 下 性 质 ：（ 1） 反 身 性 ， 即 A A（ 2） 对 称 性 ， 即 如 果 则A B B A,（ 3） 传 递 性 ， 即 如 果 A B , B C则 A C ,1I AI A 证 明 1P AP B 1 1 1( )P BP A 证 明 1 1 , P AP B Q BQ C 1 ( ) ( )PQ A PQ C 证 明 返 回上 页 下 页目 录2021年 6月 10日 星 期 四 23 方 阵 的 迹 定 义 3.4ij 11 22 1A (a ) , nn n nn iiia a a a A 设 方 阵 称 为 的 迹 ，记 作 1( ) n iiitr A a方 阵 的 迹 是 它 的 主 对 角 线 上 的 元 素 和 061 530 942A tr(A)=2+(-3)+0=-1性 质 ： (1) tr(A+B)=tr(A)+tr(B) (2) tr(AB)=tr(BA) (性 质 3.1) 返 回上 页 下 页目 录2021年 6月 10日 星 期 四 24 性 质 3.1 (2) 设 ( ) ,ij n sA a ( ) ( )tr AB tr BA ( ) ,ij s nB b 则证 明11 12 121 22 2 1 2 ssn n nsa a aa a aa a a 11 12 121 22 21 2 nns s snb b bb b bb b b 11 12 121 22 21 2 ssn n nsa a aa a aa a a 11 12 121 22 21 2 nns s snb b bb b bb b b ( )tr AB ( )tr BA 1s ij jij a b1ni 1n ji iji b a1sj 故 ( ) ( )tr AB tr BA 返 回上 页 下 页目 录2021年 6月 10日 星 期 四 25 相似矩阵的性质若 A和 B相 似 ， 则1.A和 B有 相 等 的 秩 。2.方 阵 A和 B有 相 等 的 行 列 式 。 (性 质 3.2) 1P AP B 1P AP B 1P A P B 1B P P A 1 ,B P AP P 可 逆 。 1P P A A 证 明 （ 1） 1P AP B 1( ) ( )R P AP R B ( ) ( )R A R B 返 回上 页 下 页目 录2021年 6月 10日 星 期 四 26 3.方 阵 A和 B有 相 等 的 迹 。 (性 质 3.2)4.方 阵 A和 B有 相 同 的 特 征 多 项 式 ， 因 而 有 相 同 的 特 征 值 。TH5 1P AP B 1( ) ( )tr B tr P AP 1( ) ( )tr APP tr A 1P AP B B I 1P AP I 1( )P A I P 1P A I P A I 推 论 如 果 矩 阵 A相 似 于 一 个 对 角 矩 阵 ， 则 对 角矩 阵 的 主 对 角 线 上 的 元 素 就 是 A的 全 部 特征 值 。 返 回上 页 下 页目 录2021年 6月 10日 星 期 四 27 易 证 对 角 形 矩 阵1 2 n 则 1 2, , , n 是 的 全 部 特 征 值 。 返 回上 页 下 页目 录2021年 6月 10日 星 期 四 28 定 理 3.6 n 阶 矩 阵 A与 n 阶 对 角 矩 阵 相 似 的 充分 必 要 条 件 是 A有 n个 线 性 无 关 的 特 征 向 量 。 1 2 n 充 分 性1 1 1 ,Ax x , , , ,n nA n x x 1 1 设 的 个 特 征 向 量 线 性 无 关 ，它 们 对 应 的 特 征 值 分 别 是 则n n nAx x,1 1 1( ) ( )n n nA x x x x 1( )nP x x 记 AP P 1P AP 3.2.2 矩 阵 的 对 角 化 返 回上 页 下 页目 录2021年 6月 10日 星 期 四 29 必 要 性 设 A相 似 于 对 角 矩 阵1 ndD d 即 存 在 可 逆 矩 阵 B， 使 得 1B AB D 1( , , )nB x x 1B AB D AB BD 1 1 1( , , ) ( , , )n n nA x x d x d x 1 1 1, , n n nAx d x Ax d x 由 B可 逆 便 知 ： 1, , nx x 都 是 非 零 向 量 ， 因 而 都 是 A的 特 征向 量 ， 且 1, , nx x 线 性 无 关 。 返 回上 页 下 页目 录2021年 6月 10日 星 期 四 30 推 论 如 果 n阶 矩 阵 A的 特 征 值 1, , n 互 不 相 同则 A相 似 于 对 角 矩 阵1 n 定 理3.7 n 阶 矩 阵 A 与 对 角 矩 阵 相 似 的 充 分 必 要 条 件是 对 于 每 一 个 重 特 征 值 ,对 应 着 个 线性 无 关 的 特 征 向 量 .in ini 返 回上 页 下 页目 录2021年 6月 10日 星 期 四 31 A 1 21 nP AP 相 似 变 换 1 2( )nP x x x 0A I i解 出 特 征 值 0iA I x i求 出 基 础 解 系 若 A有 n个 线 性 无 关 的 特 征 向 量 则 A相 似 于对 角 阵 返 回上 页 下 页目 录2021年 6月 10日 星 期 四 32 1 1 04 3 01 0 2A 例 矩 阵 能 否 相 似 于 对 角 阵 ?解 A的 特 征 方 程 为 1 1 04 3 01 0 2E A 2( 2)( 1) 得 特 征 值 为 1 2 32, 1 返 回上 页 下 页目 录2021年 6月 10日 星 期 四 33 对 于 2 3 1, 解 方 程 组解 方 程 组 ( ) 0I A X 2 1 04 2 01 0 1I A 1 0 12 1 00 0 0 1 31 2 02 0 x xx x 可 求 得 特 征 向 量 2 ( 1, 2,1) 2 3 、是 对 应 于 的 全 部 特 征 向 量 .22 2 0kk （ ）不 存 在 两 个 线 性 无 关 的 特 征 向 量 . 由 定 理 可 知 A不 能 与 对角 阵 相 似 .2 3 1 因 为 是 二 重 根 , 而 对 应 于 特 征 根 2 3 1 返 回上 页 下 页目 录2021年 6月 10日 星 期 四 34 将 一 个 方 阵 A对 角 化 ,可 以 按 P88如 下 步 骤 进 行 : 1 2: | | 0, , , , .rI A A 第 一 步 令 求 出 的 全 部 特 征 值 i i第 二 步 :解 ( I-A)x=0(i=1,2, ,r),求 出 每 个 特 征 值对 应 的 齐 次 方 程 组 的 基 础 解 系 . 1 21 2 1 21 , , , ,( , , , ): nn nP P AP 第 三 步 :若 如 上 求 出 A有 n个 线 性 无 关 的 特 征 向 量令则 有 返 回上 页 下 页目 录2021年 6月 10日 星 期 四 35 注 (1):若 A的 全 部 线 性 无 关 特 征 向 量 个 数 小 于n 个 ,则 不 能 对 角 化 ,此 时 A只 能 化 为 若 当 标准 形 . i i(2):上 式 中 和 的 对 应 关 系 以 及 矩 阵 P中列 向 量 的 排 列 顺 序 在 无 重 根 时 不 能 颠 倒 .但 一 般 P不 唯 一 。 返 回上 页 下 页目 录2021年 6月 10日 星 期 四 36 4 6 03 5 03 6 1A 例 用 相 似 变 换 化 下 列 矩 阵 为 对 角 阵解 : A的 特 征 方 程 为4 6 03 5 03 6 1A I 2( 2)( 1) 特 征 值 为 1 2 32, 1 对 于 1 2, 可 求 得 特 征 向 量 1 ( 1,1,1) 对 于 2 3 1 可 求 得 线 性 无 关 的 特 征 向 量2 3( 2,1,0) , (0,0,1) 这 三 个 特征 向 量 线性 无 关 返 回上 页 下 页目 录2021年 6月 10日 星 期 四 37 1 2 3 21111 0010P 1 1 2 01 1 01 2 1P 1 0 00 00 02 11P AP 返 回上 页 下 页目 录2021年 6月 10日 星 期 四 38 1 2 32 1 33 3 6A 用 相 似 变 换 化 矩 阵 为 对 角 形 . 1 11 , 1 1 0 T 2 29 , 1 1 2 T 3 30, 1 1 1 T 1 0 00 9 00 0 0 1 1 11 1 10 2 1P 返 回上 页 下 页目 录2021年 6月 10日 星 期 四 39 1 21 nP AP 1 12m mm mnA P P 应 用 :利 用 对 角 化 计 算 矩 阵 的 幂 mA 返 回上 页 下 页目 录2021年 6月 10日 星 期 四 40 3 2 ,3 4A 设 20A求解 : A的 特 征 方 程 为3 23 4A I 2 7 6 ( 1)( 6) 特 征 值 为 1 21, 6 1 1 对 应 的 特 征 向 量 为 1 (1, 1) 2 6 对 应 的 特 征 向 量 为 2 (2,3) 1 2 1 2 ,1 3P 1 1 0 ,0 6P AP 11 00 6A P P 2020 11 00 6A P P 201 2 1 0 3 211 3 0 6 1 15 ， . 例 7 返 回上 页 下 页目 录2021年 6月 10日 星 期 四 41 练 习 已 知 1 20 1 20 0 2aA 问 满 足 什 么 条 件 时 ， A可 对 角 化 ？ a解 首 先 21 2| | ( ) ( )I A 所 以 ， A的 特 征 值 为 2（ 重 数 为 1） 和 1（ 重 数 为 2） 。 返 回上 页 下 页目 录2021年 6月 10日 星 期 四 42 考 虑 A的 特 征 值 1。 对 方 程 组 ，仅 当 秩 时 ， 才 能 使 基 础 解 系 含 2个 解 向 量 。0( )I A X 1( )I A 又 0 2 0 00 0 2 0 0 10 0 1 0 0 0a aI A 故 。 0a 所 以 ， 当 时 ， A可 对 角 化 。 0a 返 回上 页 下 页目 录2021年 6月 10日 星 期 四 43 0 10 ., 1(3) A , ,m mA xkA xm AA 0 0 设 是 方 阵 对 应 于 特 征 向 量 的 特 征 值 证 明(1) 对 实 数 k,k 是 对 应 于 特 征 向 量 的 特 征 值 ;(2) 对 正 整 数 为 方 阵 的 一 个 特 征 值 .若 可 逆 的 则 为 的 一 个 特 征练 值习 00 0 0 A (1) ( ) ( ) ( ) ( ) ,. x xkA x k Ax k x k x k kAx 由 题 意 知 即 是 对 应于 特 征 向 量 的 特 征 值证 1 1 20 02 20 00(2) ( ) ( ) ( ).m m m mm mm mA x A Ax A x A AxA x xA x 即 是 对 应 于 特 征 向 量 的 特 征 值*0| | . A A 为 的 一 个 特 征 值 返 回上 页 下 页目 录2021年 6月 10日 星 期 四 44 101 10 010 * 1*0 (3) 0,1,1 | | ,| |A AAx xx A x A x xA xA A AA A x 0 当 可 逆 时 ,由 定 理 3的 推 论 可 知 用左 乘 两 边 得 即所 以 为 对 应 于 特 征 向 量 的 特 征 值 .由 于 由 上 面 的 结 论 以 及 (1)可 得 为 对 应 于 特 征 向 量 的 特 征 值 . 00 0, ( ) ,( ) ( ) . m iiim mi ii ii in A f x a xf a f A a A 由 例 题 3的 结 论 进 一 步 还 可 得 下 面 的 结 论 :若 为 阶 方 阵 的 特 征 值 对 任 一 个 多 项 式 ,即则 为 矩 阵 的 特 征 值 返 回上 页 下 页目 录2021年 6月 10日 星 期 四 45 TH E END. P88将 一 个 方 阵 A对 角 化 的 三 步 骤 . 思 考 ?第 三 章 作 业 : 1(4),3,7,9,10(3),11,15,16 预 习 向 量 的 内 积 正 交 向 量 组 和 正 交 矩 阵