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四 川 大 学 数 学 学 院 邓 瑾2021-6-7 四 川 大 学 数 学 学 院 邓 瑾 一 、 正 项 级 数 及 其 审 敛 法若 0,nu 1 nn u定 理 1. 正 项 级 数 1 nn u 收 敛 部 分 和 序 列 nS( 1,2, )n 有 界 .若 1 nn u 收 敛 , ,nS则 收 敛0,nu 部 分 和 数 列 nS nS 有 界 , 故 nS 1 nn u从 而又 已 知 故 有 界 .则 称 为 正 项 级 数 . 单 调 递 增 , 收 敛 , 也 收 敛 .证 : “ ”“ ” 2 四 川 大 学 数 学 学 院 邓 瑾,n Z ,n nu kv都 有 定 理 2 (比 较 审 敛 法 ) 设 1 ,nn u 1 nn v且 存 在 ,N Z 对 一 切 ,n N 有(1) 若 强 级 数 1 nn v 则 弱 级 数 1 nn u(2) 若 弱 级 数 1 nn u 则 强 级 数 1 nn v证 :设 对 一 切nS令 和 n则 有 收 敛 , 也 收 敛 ;发 散 , 也 发 散 .分 别 表 示 弱 级 数 和 强 级 数 的 部 分 和 , 则 有n nu kv 是 两 个 正 项 级 数 , (常 数 k 0 ),因 在 级 数 前 加 、 减 有 限 项 不 改 变 其 敛 散 性 , 故 不 妨 3 四 川 大 学 数 学 学 院 邓 瑾 (1) 若 强 级 数 1 nn v 则 有 lim nn 因 此 对 一 切 ,n Z 有 nS由 定 理 1 可 知 , 1 nn u则 有(2) 若 弱 级 数 1 nn u lim ,nn S 因 此 lim ,nn 这 说 明 强 级 数 1 nn v 也 发 散 .knS nk 也 收 敛 .发 散 ,收 敛 ,弱 级 数 4 四 川 大 学 数 学 学 院 邓 瑾 例 1. 讨 论 p 级 数 1 1 11 2 3p p pn (常 数 p 0)的 敛 散 性 . 解 : 1) 若 1,p 因 为 对 一 切 ,n Z而 调 和 级 数 1 1n n 由 比 较 审 敛 法 可 知 p 级 数 1 1pn n1n发 散 . 发 散 ,1pn 5 四 川 大 学 数 学 学 院 邓 瑾 1,p 因 为 当 1n x n 1 1 ,p pn x 故11 1 dnp pn xn n 1 1 dn pn xx2 11 nn pks k 故 s n有 界 , 因 此 p 级 数 收 敛 . 时 ,2) 若 6 从 而 12 11 dn k pkk xx 1 11 dn p xx 11 11 11 pp n 11 1p 综 上 所 述 , 当 p1时 , 因 此 p-级 数 发 散 ; 当 p1时 , p- 级 数 收 敛 . 四 川 大 学 数 学 学 院 邓 瑾 调 和 级 数 与 p 级 数 是 两 个 常 用 的 比 较 级 数 .若 存 在 ,N Z 对 一 切 ,n N1(1) ,nu n 1(2) ( 1),n pu pn 1 .nn u则 收 敛1 ;nn u则 发 散 7 四 川 大 学 数 学 学 院 邓 瑾 证 明 级 数 1 1( 1)n n n 发 散 .证 : 因 为 21 1( 1) ( 1)n n n 1 ( 1,2, )1 nn 而 级 数 1 11n n 2 1k k 发 散根 据 比 较 审 敛 法 可 知 , 所 给 级 数 发 散 .例 2. 8 四 川 大 学 数 学 学 院 邓 瑾 定 理 3. (比 较 审 敛 法 的 极 限 形 式 )1 ,nn u 1 nn v lim ,nn nu lv 则 有两 个 级 数 同 时 收 敛 或 发 散 ;(2) 当 l = 0 1 ,nn v且 收 敛 时 1 ;nn u 也 收 敛(3) 当 l = 1 ,nn v且 发 散 时 1 .nn u 也 发 散证 : 据 极 限 定 义 , 0, 对 ,N Z存 在 nnuv l ( )l 设 两 正 项 级 数满 足(1) 当 0 l 时 , ,n N当 时 9 四 川 大 学 数 学 学 院 邓 瑾 ( ) ( )n n nl v u l v ,l取 由 定 理 2 可 知 1 nn u 与 1 nn v同 时 收 敛 或 同 时 发 散 ; ( )n N( ) ( ),n nu l v n N 利 用(3) 当 l = 时 , ,N Z存 在 ,n N当 时 1,nnuv 即n nu v由 定 理 2可 知 , 若 1 nn v 发 散 , 1 ;nn u则 也 收 敛(1) 当 0 l 时 ,(2) 当 l = 0时 , 由 定 理 2 知1 nn v 收 敛 , 若 1 .nn u则 也 发 散 10 四 川 大 学 数 学 学 院 邓 瑾特 别 取 1 ,n pv n 可 得 如 下 结 论 :对 正 项 级 数 ,nu1,p 0 l lim nn n l pn 1,p 0 l nu 发 散nu 收 敛11 四 川 大 学 数 学 学 院 邓 瑾 的 敛 散 性 . 1limn n n 例 3. 判 别 级 数 1 1sinn n 的 敛 散 性 .解 : limn 1sin n 1n1根 据 比 较 审 敛 法 的 极 限 形 式 知 1 1sin .n n 发 散例 4. 判 别 级 数 21 1ln 1n n 解 : limn 2 21limn n n 1根 据 比 较 审 敛 法 的 极 限 形 式 知 21 1ln 1 .n n 收 敛n 1sinn 21ln(1 )n 21n2n 21ln 1 n12 四 川 大 学 数 学 学 院 邓 瑾 1lim nn nuu 由定 理 4 . 比 值 审 敛 法 ( DAlembert 判 别 法 )设 nu 为 正 项 级 数 , 且 1lim ,nn nuu 则(1) 当 1(2) 当 1证 : (1) 1 , 当 时 1 1nnuu 1 ( )n nu u 2 1( ) nu 1( )n N Nu 1, 取 使收 敛 , .nu 收 敛时 , 级 数 收 敛 ;或 时 , 级 数 发 散 .,N Z知 存 在 ,n N当 时( )k 由 比 较 审 敛 法 可 知13 四 川 大 学 数 学 学 院 邓 瑾 1 , 或 时 , 0,NN Z u 必 存 在1 1,nnuu lim 0,n Nn u u 因 此 所 以 级 数 发 散 . n N当时 (2) 当 1n nu u 1nu Nu 1lim 1nn nuu 说 明 : 当 时 ,级 数 可 能 收 敛 也 可 能 发 散 .例 如 , p 级 数 1 1 :pn n 1lim nn nuu 1( 1)1lim ppnn n 1但 1,p 级 数 收 敛 ;1,p 级 数 发 散 .从 而 14 四 川 大 学 数 学 学 院 邓 瑾 limn例 5. 讨 论 级 数 11 ( 0)nn n x x 的 敛 散 性 .解 : 1lim nn nuu ( 1) nn x 1nn x x根 据 定 理 4可 知 :0 1 ,x 当 时 级 数 收 敛 ;1 ,x 当 时 级 数 发 散 ;1 .n n级 数 发 散1 ,x 当 时 15 四 川 大 学 数 学 学 院 邓 瑾 对 任 意 给 定 的 正 数 lim ,n nn u 定 理 5. 根 值 审 敛 法 (Cauchy判 别 法 ) 设 1 nn u 为 正 项 级lim ,n nn u 则(1) 1 , ;当 时 级 数 收 敛(2) 1 , .当 时 级 数 发 散证 明 提 示 : ,N Z存 在 n nu ,n N当 时 有即 ( ) ( )n nnu 分 别 利 用 上 述 不 等 式 的 左 ,右 部 分 , 可 推 出 结 论 正 确 .( 1 ), 1 1 1 1 数 , 且16 四 川 大 学 数 学 学 院 邓 瑾 时 , 级 数 可 能 收 敛 也 可 能 发 散 .1 例 如 , p 级 数 1 1 :pn n 1 pn n nu n 1 ( )n 说 明 : 1 ,n pu n但 1,p 级 数 收 敛 ;1,p 级 数 发 散 . 17 四 川 大 学 数 学 学 院 邓 瑾 例 6. 证 明 级 数 1 1nn n 收 敛 于 S ,似 代 替 和 S 时 所 产 生 的 误 差 . 解 : 1nn nn nu 1n 0 ( )n 由 定 理 5可 知 该 级 数 收 敛 .令 ,n nr S S 则 所 求 误 差 为1 21 10 ( 1) ( 2)n n nr n n 1 21 1( 1) ( 1)n nn n 11( 1)nn 1( 1)nn n 1111 n 并 估 计 以 部 分 和 Sn 近 18 四 川 大 学 数 学 学 院 邓 瑾 二 、 交 错 级 数 及 其 审 敛 法 则 各 项 符 号 正 负 相 间 的 级 数11 2 3 ( 1)n nu u u u 称 为 交 错 级 数 .定 理 6 . ( Leibnitz 判 别 法 ) 若 交 错 级 数 满 足 条 件 :则 级 数 11) ( 1,2, );n nu u n 2) lim 0,nn u 11( 1)n nn u 收 敛 , 且 其 和 1,S u 其 余 项 满 足1 .n nr u 0, 1,2, ,nu n 设 19 四 川 大 学 数 学 学 院 邓 瑾 证 : 2 1 2 3 4 2 1 2( ) ( ) ( )n n nS u u u u u u 2 1 2 3 4 5 2 2 2 1( ) ( ) ( )n n nS u u u u u u u 1u是 单 调 递 增 有 界 数 列 ,2nS 2 1lim nn S S u 又 2 1 2 2 1lim lim( )n n nn nS S u 2lim nn S故 级 数 收 敛 于 S, 且 1,S u :nS 的 余 项 02nun nr S S 1 2( )n nu u 1 2n n nr u u 1nu 故 S 20 四 川 大 学 数 学 学 院 邓 瑾 收 敛收 敛11 1 1 11) 1 ( 1)2 3 4 n n 11 1 1 12) 1 ( 1)2! 3! 4! !n n 用 Leibnitz 判 别 法 判 别 下 列 级 数 的 敛 散 性 :12 3 41 2 3 43) ( 1)10 10 10 10 10n nn 收 敛上 述 级 数 各 项 取 绝 对 值 后 所 成 的 级 数 是 否 收 敛 ?1 11) ;n n 1 12) ;!n n 13) .10nn n发 散 收 敛 收 敛1 ( 1)!n1!n 1 1n 1nnuu 11 10nn 10nn 1 1 10 nn 21 四 川 大 学 数 学 学 院 邓 瑾 三 、 绝 对 收 敛 与 条 件 收 敛 定 义 : 对 任 意 项 级 数 1 ,nn u 若若 原 级 数 收 敛 , 但 取 绝 对 值 以 后 的 级 数 发 散 , 则 称 原11 1( 1)nn n 11 1( 1) ,( 1)!nn n 11( 1) 10n nn n 1 nn u 收 敛 ,1 nn u级 数 1 nn u 为 条 件 收 敛 . 均 为 绝 对 收 敛 .例 如 ： 绝 对 收 敛 ； 则 称 原 级数 条 件 收 敛 . 22 四 川 大 学 数 学 学 院 邓 瑾 定 理 7. 绝 对 收 敛 的 级 数 一 定 收 敛 .证 : 设 1 nn u nv ( 1,2, )n 根 据 比 较 审 敛 法显 然 0,nv 1 nn v 收 敛 ,收 敛12 nn v2n n nu v u 1 ,nn u1 nn u 也 收 敛1( )2 n nu u 且 nv ,nu收 敛 , 令 23 四 川 大 学 数 学 学 院 邓 瑾 例 7. 证 明 下 列 级 数 绝 对 收 敛 : 241 1sin(1) ; (2) ( 1) .n nn nn nn e 证 : (1) 4 4sin 1 ,nn n 而 41 1n n 收 敛 ,41 sinn nn 收 敛因 此 41sinn nn 绝 对 收 敛 . 24 四 川 大 学 数 学 学 院 邓 瑾 (2) 令 2 ,n nnu e 1lim nn nuu lim n 21( 1)nne 2nne 21 1limn ne n 1 1e 因 此 21( 1)n nn ne 21 ( 1)n nn ne 收 敛 , 绝 对 收 敛 . 25 四 川 大 学 数 学 学 院 邓 瑾 其 和 分 别 为 绝 对 收 敛 级 数 与 条 件 收 敛 级 数 具 有 完 全 不 同 的 性 质 .*定 理 8. 绝 对 收 敛 级 数 不 因 改 变 项 的 位 置 而 改 变 其 和 . ( P203 定 理 9 )说 明 : 证 明 参 考 P203 P206, 这 里 从 略 .*定 理 9. ( 绝 对 收 敛 级 数 的 乘 法 ).S则 对 所 有 乘 积 i ju v 1n nw按 任 意 顺 序 排 列 得 到 的 级 数也 绝 对 收 敛 ,设 级 数 1 nn v1 nn u 与 都 绝 对 收 敛 , , ,S 其 和 为但 需 注 意 条 件 收 敛 级 数 不 具 有 这 两 条 性 质 . (P205 定 理 10) 26 四 川 大 学 数 学 学 院 邓 瑾 内 容 小 结1. 利 用 部 分 和 数 列 的 极 限 判 别 级 数 的 敛 散 性2. 利 用 正 项 级 数 审 敛 法必 要 条 件 lim 0nn u 不 满 足 发 散满 足比 值 审 敛 法 limn 1nu nu 根 值 审 敛 法 lim n nn u 1 收 敛 发 散 1 不 定 比 较 审 敛 法用 它 法 判 别 积 分 判 别 法部 分 和 极 限1 27 四 川 大 学 数 学 学 院 邓 瑾 3. 任 意 项 级 数 审 敛 法为 收 敛 级 数1 nn u设Leibniz判 别 法 :1 0n nu u lim 0nn u 则 交 错 级 数 1( 1)n nn u 收 敛概 念 : 1 ,nn u若 收 敛 1 nn u称 绝 对 收 敛1 ,nn u若 发 散 条 件 收 敛1 nn u称 28 四 川 大 学 数 学 学 院 邓 瑾 思 考 与 练 习设 正 项 级 数 1 nn u 收 敛 , 能 否 推 出 21 nn u 收 敛 ?提 示 : 2lim nn nuu lim nn u 0由 比 较 判 敛 法 可 知 21 nn u 收 敛 .注 意 : 反 之 不 成 立 . 例 如 ,21 1n n 收 敛 , 1 1n n 发 散 . 29 四 川 大 学 数 学 学 院 邓 瑾 备 用 题 1 1(1) ;ln( 1)n n 1. 判 别 级 数 的 敛 散 性 : 1 1(2) .nn n n解 : (1) ln( 1) ,n n 1 1ln( 1)n n 1 1n n 发 散 , 故 原 级 数 发 散 . 1 1: pnp n 级 数 不 是 p级 数(2) limn 1lim nn n 11 1n n 发 散 , 故 原 级 数 发 散 .1 nn n 1n30 四 川 大 学 数 学 学 院 邓 瑾 2. 0( 1,2,3, ),nu n 设 lim 1,nnun 且 则 级 数 11 1 11( 1) ( ).n nn u un (A) 发 散 ; (B) 绝 对 收 敛 ;(C) 条 件 收 敛 ; (D) 收 敛 性 根 据 条 件 不 能 确 定 .分 析 : lim 1,nnun 由 1 1 ,nu n知 (B) 错 ;1 21 1( )n u uS 又 2 31 1( )u u C 3 41 1( )u u 4 51 1( )u u 11 1 1( 1) ( )n nn u u 1 111 1( 1) nnu u 31
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