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注意:若函数在开区间上连续,结论不一定成立.一一、最值定、最值定理理定理1.1.在闭区间上连续的函数即:设则使值和最小值.或在闭区间内有间断 在该区间上一定有最大(证明略)点,机动 目录 上页 下页 返回 结束 第1页/共13页例如,无最大值和最小值 也无最大值和最小值 又如,机动 目录 上页 下页 返回 结束 第2页/共13页推论推论.由定理 1 可知有证:设上有界.二、介值定理定理2.(零点定理)至少有一点且使机动 目录 上页 下页 返回 结束(证明略)在闭区间上连续的函数在该区间上有界.第3页/共13页定理定理3.(介值定理介值定理)设 且则对 A 与 B 之间的任一数 C,一点证:作辅助函数则且故由零点定理知,至少有一点使即推论:使至少有在闭区间上的连续函数必取得介于最小值与最大值之间的任何值.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第4页/共13页例例1.证明方证明方程程一个根.证:显然又故据零点定理,至少存在一点使即说明:内必有方程的根;取的中点内必有方程的根;可用此法求近似根.二分法在区间内至少有机动 目录 上页 下页 返回 结束 则则第5页/共13页上连续,且恒为正,例例2.设设在对任意的必存在一点证:使令,则使故由零点定理知,存在即当时,取或,则有证明:小结 目录 上页 下页 返回 结束 第6页/共13页*三三.一致连续一致连续性性已知函数在区间 I 上连续,即:一般情形,就引出了一致连续的概念.定义:对任意的都有在 I 上一致连续.显然:机动 目录 上页 下页 返回 结束 第7页/共13页例如例如,但不一致连续.因为取点则 可以任意小但这说明在(0,1 上不一致连续.定理.上一致连续.(证明略)思考:P73 题 6提示:设存在,作辅助函数显然机动 目录 上页 下页 返回 结束 第8页/共13页内容小结内容小结在上达到最大值与最小值;上可取最大与最小值之间的任何值;4.当时,使必存在上有界;在在机动 目录 上页 下页 返回 结束 第9页/共13页1.任给一张面积为 A 的纸片(如图),证明必可将它思考与练习思考与练习一刀剪为面积相等的两片.提示:建立坐标系如图.则面积函数因故由介值定理可知:机动 目录 上页 下页 返回 结束 第10页/共13页则证明至少存在使提示:令则易证2.设设作业P73 题 2;3;4一点习题课 目录 上页 下页 返回 结束 第11页/共13页备用题备用题 至少有一个不超过 4 的 证：证明令且根据零点定理,原命题得证.内至少存在一点在开区间显然正根.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第12页/共13页感谢您的观看！第13页/共13页
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