条件概率 课件.ppt

一 、 条 件 概 率二 、 全 概 率 公 式 与 贝 叶 斯 公 式三 、 小 结1.4 条 件 概 率 全 概 率 公 式 与 贝 叶 斯 公 式 .)( )()|( ,0)(, 条 件 概 率发 生 的发 生 的 条 件 下 事 件为 在 事 件 称且是 两 个 事 件设 AB BP ABPBAP BPBA 1. 定 义 1.8 A BAB一 、 条 件 概 率 );()()()( )3( 212121 BAAPBAPBAPBAAP ).(1)( )4( BAPBAP 则有件是两两不相容的事设可加可列性, ,A,A:)5( 21 .)BA(PBAP 1i i1i i 2. 性 质 ;1)(0:)1( BAP有界性 0)B|(PBP 1,)(2)规范性 例1 掷两颗均匀骰子,已知第一颗掷出6点,问“掷出点数之和不小于10”的概率是多少? 解: )( )()|( BPABPBAP 解: 设A=掷出点数之和不小于10 B=第一颗掷出6点应用定义21366 363 则有且,0)( 121 nAAAP ,2, 21 nnAAA n个事件为设推广则有且为事件设,0)(, ABPCBA ( ) ( ) ( ) ( ).P ABC P A P B A P C AB ).()()(,0)( APABPABPAP 则有设3. 乘 法 定 理 )( )()()()( 121 21312121 nnn AAAAP AAAPAAPAPAAAP 例 2 一盒子装有4 只产品,其中有3 只一等品,1只二等品.从中取产品两次,每次任取一只,作不放回抽样.设事件A为“第一次取到的是一等品” ,事件B 为“第二次取到的是一等品”,试求条件概 P(B|A).解 .4;3,2,1,号为二等品为一等品将产品编号则试验的样本空间为号产品第号第二次分别取到第表示第一次以,),(j 、i、ji ),3,4(),2,4(),1,4( ,)4,2(),3,2(),1,2(),4,1(),3,1(),2,1( ),4,3(),2,3(),1,3( ),4,2(),3,2(),1,2(),4,1(),3,1(),2,1(A ),2,3(),1,3(),3,2(),1,2(),3,1(),2,1(AB由条件概率的公式得)( )()( APABPABP 129 126 .32 例 3 某种动物由出生算起活20岁以上的概率为0.8, 活到25岁以上的概率为0.4, 如果现在有一个20岁的这种动物, 问它能活到25岁以上的概率是多少? 设 A 表示“ 能活 20 岁以上 ” 的事件; B 表示 “ 能活 25 岁以上”的事件,则有,8.0)( AP因为.)( )()( APABPABP ,4.0)( BP ),()( BPABP .218.04.0 )( )()( APABPABP 所以解 例 4 五个阄, 其中两个阄内写着“有”字, 三个阄内不写字 , 五人依次抓取,问各人抓到“有”字阄的概率是否相同?解 .5,4,3,2,1i则有,52)( 1 AP)()( 22 APAP )( 112 AAAP 抓 阄 是 否 与 次 序 有 关 ? ,的事件人抓到有字阄第表示设iAi )()()( 212121333 AAAAAAAPAPAP )()()( 321321321 AAAPAAAPAAAP 42534152 ,52 )()()()( 121121 AAPAPAAPAP )( 2121 AAAAP )()( 2121 AAPAAP )()()( 213121 AAAPAAPAP )()()( 213121 AAAPAAPAP )()()( 213121 AAAPAAPAP 324253314253314352 ,52依此类推.52)()( 54 APAP故 抓 阄 与 次 序 无 关 . ., ,2 ;,2,1,1 , ,21 2100 21的一个划分为样本空间则称若的一组事件为的样本空间为试验设定义n nji nAAA AAA njiAAE AAAE 1. 样 本 空 间 的 划 分 1A2A3A nA1nA二 、 全 概 率 公 式 与 贝 叶 斯 公 式 2. 全 概 率 公式 全 概 率 公 式 )|()( )()|( )()|()()|()( ),2,1( 0)(, , 1 2211 21 ini i nn in ABPAP APABP APABPAPABPBP ni APAAA EBE 则 且的 一 个 划 分为 的 事 件为的 样 本 空 间为 试 验设定 义 ji AA由 )( ji BABA )()()()( 21 nBAPBAPBAPBP 图示B 1A2A 3A 1nA nA 证 明 .21 nBABABA 化 整 为 零各 个 击 破)( 21 nAAABBB )|()( )|()()|()()( 2211nn ABPAP ABPAPABPAPBP 说 明 全 概 率 公 式 的 主 要 用 途 在 于 它 可 以 将 一 个复 杂 事 件 的 概 率 计 算 问 题 ,分 解 为 若 干 个 简 单 事 件的 概 率 计 算 问 题 ,最 后 应 用 概 率 的 可 加 性 求 出 最 终结 果 . B 1A2A 3A 1nA nA 例 1 有一批同一型号的产品,已知其中由一厂生产的占 30% , 二厂生产的占 50% , 三厂生产的占 20%, 又知这三个厂的产品次品率分别为2% , 1%, 1%,问从这批产品中任取一件是次品的概率是多少?设事件 A 为“任取一件为次品”, .3,2,1, iiBi厂的产品任取一件为为事件 1 2 3 ,B B B 解 .3,2,1, jiBB ji 由全概率公式得,2.0)(,5.0)(,3.0)( 321 BPBPBP 30% 20% 50%2%1%1%1 1 2 2 3 3( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).P A P B P AB P B P AB P B P AB .013.02.001.05.001.03.002.0 ,01.0)(,01.0)(,02.0)( 321 BAPBAPBAP 1 1 2 2 3 3( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )P A P B P AB P B P AB P B P AB 故 称此为贝 叶 斯 公 式 . 3. 贝 叶 斯 公 式 贝 叶 斯 资 料 .,2,1,)()|( )()|()|( ),2,1(0)( ,0)(, ,121 niAPABP APABPBAP niAP BPAAA EBEnj jj iii i n 则 且的 一 个 划 分为 的 事 件为的 样 本 空 间为 试 验设定 义 证 明 )B(P )A(P)A|B(P)BA(P iii .,2,1 ni 证毕 n1j jj ii )A|B(P)A(P )A|B(P)A(P ; ,)1( . ,05.080.015.003.001.002.0321 :.概率求它是次品的元件在仓库中随机地取一只无区别的标志且仓库中是均匀混合的设这三家工厂的产品在提供元件的份额次品率元件制造厂的数据根据以往的记录有以下件制造厂提供的的元件是由三家元某电子设备制造厂所用例 2 ., ,)2(别是多少三家工厂生产的概率分求此次品出由为分析此次品出自何厂次品若已知取到的是元件在仓库中随机地取一只解 ,取到的是一只次品表示设A .家工厂提供的所取到的产品是由第表示i )3,2,1( iBi ,的一个划分是样本空间则321 BBB ,05.0)(,80.0)(,15.0)( 321 BPBPBP且 .03.0)(,01.0)(,02.0)( 321 BAPBAPBAP(1) 由全概率公式得)()()()()()()( 332211 BPBAPBPBAPBPBAPAP .0125.0(2) 由贝叶斯公式得)( )()()( 111 AP BPBAPABP 0125.0 15.002.0 .24.0 ,64.0)( )()()( 222 AP BPBAPABP .12.0)( )()()( 333 AP BPBAPABP .2家工厂的可能性最大故这只次品来自第 上题中概率 0.95 是由以往的数据分析得到的, 叫做先验概率.而在得到信息之后再重新加以修正的概率 0.97叫做后验概率.先 验 概 率 与 后 验 概 率 ).(,005.0)( ,005.0, .95.0)(,95.0)( , : ,ACPCP CAPCAP C A试求即的概率为设被试验的人患有癌症进行普查现在对自然人群有则被诊断者患有癌症表示事件以为阳性试验反应表示事件若以验具有如下的效果某种诊断癌症的试根据以往的临床记录 解 ,05.0)(1)( ,95.0)( CAPCAP CAP因为,995.0)(,005.0)( CPCP例 3 由贝叶斯公式得所求概率为( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )P C P A CP C A P C P A C P C P A C .087.0即平均1000个具有阳性反应的人中大约只有87人患有癌症. 1.条 件 概 率 )( )()( APABPABP 全 概 率 公 式贝 叶 斯 公 式三 、 小 结 1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )n nP A P B P AB P B P AB P B P AB 1 ( ) ( )( ) , 1,2, , .( ) ( )i ii n j jj P B P A BP B A i nP B P A B ( ) ( ) ( )P AB P A P B A乘 法 定 理 .)AB(P)AB(P, AB)AB(P ,AB)AB(P ,.B ,)AB(P, AB,)AB(P A A大比一般来说中样本点数中样本点数中样本点数中样本点数则用古典概率公式发生的概率计算中表示在缩小的样本空间而的概率发生计算中表示在样本空间 .)()(.2的区别与积事件概率条件概率ABPABP 贝 叶 斯 资 料Thomas BayesBorn: 1702 in London, EnglandDied: 17 April 1761 in Tunbridge Wells, Kent, England 例 1 设袋中有4只白球, 2只红球 , (1) 无放回随机地抽取两次, 每次取一球, 求在两次抽取中至多抽到一个红球的概率? (2) 若无放回的抽取 3次, 每次抽取一球, 求 (a) 第一次是白球的情况下, 第二次与第三次均是白球的概率? (b) 第一次与第二次均是白球的情况下 , 第三次是白球的概率?备 份 题 解 . )1( 21二次抽取到红球第为第一次抽取到红球为事件红球个两次抽取中至多抽到一为事件设AAA .1514546252645364 )()()()( 212121 AAPAAPAAPAP )()()()()()( 121121121 AAPAPAAPAPAAPAP 则有,212121 AAAAAAA .3,2,1,)2( iiAi次取出的是白球第为设事件)()( 132 AAAPa ,)( )( 1 321AP AAAP .10332 51)( )()( 1 321132 AP AAAPAAAP所以,513634)(,3264)( 3211 AAAPAP因为 ,522624)( 21 AAP因为.2152 51)( )()( 21 321213 AAP AAAPAAAP所以,)( )()()( 21 321213 AAP AAAPAAAPb ,513634)( 321 AAAP 例 2 掷两颗骰子, 已知两颗骰子点数之和为7, 求其中有一颗为1点的概率.解设事件A 为“ 两颗点数之和为 7 ”, 事件 B为 “ 一颗点数为1 ”.故所求概率为.31P掷 骰 子 试 验 两颗点数之和为 7 的种数为 3,其中有一颗为 1 点的种数为 1, 例 3 设一仓库中有10 箱同种规格的产品, 其中由甲、乙、丙三厂生产的分别有5箱 , 3箱, 2 箱,三厂产品的废品率依次为 0.1, 0.2, 0.3 从这 10箱产品中任取一箱 , 再从这箱中任取一件产品,求取得的正品概率. 设 A 为事件“取得的产品为正品”, 分别表示“任取一件产品是甲、乙、丙生产的”, 321 BBB由题设知.102)(,103)(,105)( 321 BPBPBP解 ,7.0)(,8.0)(,9.0)( 321 BAPBAPBAP故)()()( 31 ii i BAPBPAP 107102108103109105 .82.0 ? , .95, .55, ,98, ,概率是多少机器调整得良好的时早上第一件产品是合格试求已知某日机器调整良好的概率为时每天早上机器开动其合格率为种故障时而当机器发生某产品的合格率为良好时当机器调整得明对以往数据分析结果表%解 .产品合格为事件设A .机器调整良好为事件B则有,55.0)(,98.0)( BAPBAP例 4 ,05.0)(,95.0)( BPBP 由贝叶斯公式得所求概率为)()()()( )()()( BPBAPBPBAP BPBAPABP 05.055.095.098.0 95.098.0 .97.0.97.0 ,整良好的概率为此时机器调是合格品时即当生产出第一件产品