D14无穷小无穷大1

D14D14无穷小无穷大无穷小无穷大1 1目录 上页 下页 返回 结束 例例3.证明证证:故取当时,必有因此目录 上页 下页 返回 结束 3.左极限与右极限左极限与右极限左极限:当时,有右极限:当时,有定理定理 3.(P39 题*11)目录 上页 下页 返回 结束 函数极限的性质2.函数极限的局部保号性（函数极限的局部保号性（P37定理定理3）1.函数极限的局部有界性（函数极限的局部有界性（P36定理定理2）3.函数极限的唯一性函数极限的唯一性（P36定理定理1）4.函数极限与数列极限的关系（函数极限与数列极限的关系（P37定理定理4）目录 上页 下页 返回 结束 第一章 二、二、无穷大无穷大 三三、无穷小与无穷大的关系无穷小与无穷大的关系 一、一、无穷小无穷小 第四节无穷小与无穷大目录 上页 下页 返回 结束 当一、一、无穷小（量）无穷小（量）定义定义1.若时,函数则称函数例如:函数 当时为无穷小;函数 时为无穷小;函数 当为时的无穷小（量）无穷小（量）.时为无穷小.目录 上页 下页 返回 结束 其中 为时的无穷小量.定理定理 1.(无穷小与函数极限的关系)证证:当时,有对自变量的其他变化过程类似可证.目录 上页 下页 返回 结束 二、二、无穷大（量）无穷大（量）定义定义2.若任给任给 M 0,一切满足不等式的 x,总有则称函数当时为无穷大,使对若在定义中将 式改为则记作(正数正数 X),记作总存在目录 上页 下页 返回 结束 注意注意:1.无穷小并不是很小的数，无穷大不是很大的数,它是描述函数的一种状态.2.函数为无穷大,必定无界.但反之不真!例如例如,函数但不是无穷大!目录 上页 下页 返回 结束 例例.证明证证:任给正数 M,要使即只要取则对满足的一切 x,有所以若 则直线为曲线的铅直渐近线.铅直渐近线说明说明:目录 上页 下页 返回 结束 三、无穷小与无穷大的关系三、无穷小与无穷大的关系若为无穷大,为无穷小;若为无穷小,且则为无穷大.则(自证)据此定理,关于无穷大的问题都可转化为 无穷小来讨论.定理定理2.在自变量的同一变化过程中,说明说明:目录 上页 下页 返回 结束 换成也成立！四、四、无穷小运算法则（无穷小运算法则（P38-39）定理定理1.有限个无穷小的和还是无穷小.如果则目录 上页 下页 返回 结束 时,有定理定理1.有限个无穷小的和还是无穷小.证证:考虑两个无穷小的和.设当时,有当时,有取则当因此这说明当时,为无穷小量.目录 上页 下页 返回 结束 说明说明:无限个无限个无穷小之和不一定不一定是无穷小!例如，例如，类似可证:有限个有限个无穷小之和仍为无穷小.夹逼准则目录 上页 下页 返回 结束 推论推论 1.常数与无穷小的乘积是无穷小.推论推论 2.有限个无穷小的乘积是无穷小.定理定理2.有界函数与无穷小的乘积是无穷小.如果则目录 上页 下页 返回 结束 定理定理2.有界函数与无穷小的乘积是无穷小.证证:设又设即当时,有取则当时,就有故即是时的无穷小.目录 上页 下页 返回 结束 例例1.求解解:利用定理 2 可知说明说明:y=0 是的渐近线.目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1.无穷小与无穷大的定义2.无穷小与函数极限的关系Th13.无穷小与无穷大的关系Th2 作业作业 P37*2(2);4(1);8第五节 结束语结束语谢谢大家聆听！谢谢大家聆听！19