122基本初等函数的导数公式及导数的运算法则

基本初等函数基本初等函数的导数及导数的运算法的导数及导数的运算法则则（1）求出函数在点）求出函数在点x0处的变化率处的变化率 ，得到曲线，得到曲线 在点在点(x0,f(x0)的切线的斜率。的切线的斜率。（2）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即2、求切线方程的步骤：、求切线方程的步骤：无限逼近的极限思想是建立导数概无限逼近的极限思想是建立导数概念、用导数定义求念、用导数定义求 函数的导数的基本思函数的导数的基本思想，丢掉极限思想就无法理解导想，丢掉极限思想就无法理解导 数概念。数概念。复习：复习：1、导数的几何意义、导数的几何意义切线的斜率切线的斜率（4）对数函数的导数）对数函数的导数:（5）指数函数的导数）指数函数的导数:（3）三角函数）三角函数：（1）常函数：）常函数：(C)/0,(c为常数为常数)；（2）幂函数）幂函数：(xn)/nxn 1 1.基本初等函数的导数公式基本初等函数的导数公式 基本初等函数导数公式基本初等函数导数公式练习1、求下列函数的导数。(1)y=5(2)y=x 4(3)y=x-2(4)y=2 x(5)y=log3x（可以推广到求有限个函数的和（差）的导数（可以推广到求有限个函数的和（差）的导数.）(轮流求导之和轮流求导之和)(上导乘下上导乘下,下导乘上下导乘上,差比下方差比下方)导数的运算法则导数的运算法则如果上式中f(x)=c,则公式变为：例题例题对于函数求导对于函数求导,一般要遵循先化简再求导的基本原则一般要遵循先化简再求导的基本原则.例题例题解:根据基本初等函数导数公式表,有所以因此,在第10个年头,这种商品的价格约以0.08元/年的速度上涨.解：净化费用的瞬时变化率就是净化费用 函数的导数。(1)因为 ，所以，(2)纯净度为90%时，费用的瞬时变化率(3)为52.84元/吨。(2)因为 ，所以，纯净度为98%时，费用的瞬时变化率 为1321元/吨。如果曲线如果曲线 y=x3+x-10 的某一切线与直线的某一切线与直线 y=4x+3 平行平行,求切点求切点坐标与切线方程坐标与切线方程.解解:切线与直线切线与直线 y=4x+3 平行平行,切线斜率为切线斜率为 4.又又切线在切线在 x0 处斜率为处斜率为 y|x=x03x02+1=4.x0=1.当当 x0=1 时时,y0=-8;当当 x0=-1 时时,y0=-12.切点坐标为切点坐标为(1,-8)或或(-1,-12).切线方程为切线方程为 y=4x-12 或或 y=4x-8.=(x3+x-10)|x=x0=3x02+1.典型例题典型例题 1 典型例题典型例题2求曲线求曲线 y=x3+3x2-5 过点过点 M(1,-1)的切线方程的切线方程.解解:由由 y=x3+3x2-5 知知 y=3x2+6x,设切点为设切点为 P(x0,y0),则则 y|x=x0=3x02+6x0,曲线在点曲线在点 P 处的切线方程为处的切线方程为 y-y0=(3x02+6x0)(x-x0).又又切线过点切线过点 M(1,-1),-1-y0=(3x02+6x0)(1-x0),即即 y0=3x03+3x02-6x0-1.而点而点 P(x0,y0)在曲线上在曲线上,满足满足 y0=x03+3x02-5,x03+3x02-5=3x03+3x02-6x0-1.整理得整理得 x03-3x0+2=0.解得解得 x0=1 或或 x0=-2.切点为切点为 P(1,-1)或或 P(-2,-1).故所求故所求的切线方程为的切线方程为 9x-y-10=0 或或 y=-1.典型例题典型例题 3 已知曲线已知曲线 C:y=x3-3x2+2x,直线直线 l:y=kx,且直线且直线 l 与曲线与曲线 C 相相切于点切于点(x0,y0)(x0 0),求直线求直线 l 的方程及切点坐标的方程及切点坐标.解解:由已知直线由已知直线 l 过原点且其斜率过原点且其斜率 k=,x0y0点点(x0,y0)在曲线在曲线 C 上上,y0=x03-3x02+2x0.=x02-3x0+2.x0y0又又 y=3x2-6x+2,在在点点(x0,y0)处曲线处曲线 C 的切线斜率的切线斜率 k=y|x=x0.x02-3x0+2=3x02-6x0+2.整理得整理得 2x02-3x0=0.解得解得 x0=(x0 0).32这时这时 y0=-,k=-.3814直线直线 l 的方程为的方程为 y=-x,14切点坐标是切点坐标是(,-).3832 注注 有关曲线的切线问题有关曲线的切线问题,可考虑利用导数的几何意义可考虑利用导数的几何意义.曲曲线线 C 在某一定点处的切线是唯一的在某一定点处的切线是唯一的,因此斜率也是唯一的因此斜率也是唯一的(若若存在的话存在的话),采用斜率相等这一重要关系采用斜率相等这一重要关系,往往都可解决这类问往往都可解决这类问题题.1、导数的四则运算法则：、导数的四则运算法则：2、复合函数及求导法则、复合函数及求导法则：y对对x的导数的导数=y对对u的导数与的导数与u对对x的导数的乘积的导数的乘积（灵活选取中间变量，勿忘中间变量对自变量的求导）（灵活选取中间变量，勿忘中间变量对自变量的求导）小结小结