2021年北京市西城区高考数学一模试卷【含答案】

2021年北京市西城区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1（4分）已知集合Ax|x1，B1，0，1，2，则AB（）A2B1，2C0，1，2Dx|x1【分析】根据题意，由集合交集的定义，分析两个集合的公共元素可得答案【解答】解：根据题意，集合Ax|x1，B1，0，1，2，则AB1，2，故选：B【点评】本题考查集合交集的计算，注意集合交集的定义，属于基础题2（4分）已知复数z满足z2i，则z的虚部是（）A1B1CiDi【分析】利用待定系数法设za+bi，然后利用复数相等，求出b的值即可得到答案【解答】解：设za+bi，因为z2i，则有abi（a+bi）2i，即2bi2i，所以b1，故复数z的虚部为1故选：A【点评】本题考查了待定系数法求解复数的应用，考查了复数相等的定义，属于基础题3（4分）在的展开式中，常数项为（）A15B15C30D30【分析】求出展开式的通项公式，然后令x的指数为0，由此即可求解【解答】解：展开式的通项公式为TC，令63r0，解得r2，所以展开式的常数项为C15，故选：A【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题4（4分）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的表面积为（）A12BC16D【分析】由三视图知该四棱锥是底面为正方形，且一侧棱垂直于底面，由此求出四棱锥的表面积【解答】解：由三视图知该四棱锥是底面为正方形，且一侧棱垂直于底面，画出四棱锥的直观图，如图所示：则该四棱锥的表面积为：SS正方形ABCD+SPAB+SPAD+SPBC+SPCD22+22+22+22+228+4故选：D【点评】本题考查了利用三视图求几何体表面积，是基础题5（4分）已知函数，则不等式f（x）0的解集是（）A（0，1）B（，2）C（2，+）D（0，2）【分析】根据题意，求出函数的定义域，分析可得在（0，+）上是减函数，结合f（2）0分析可得答案【解答】解：根据题意，函数，其定义域为（0，+），又由y和函数ylog2x都是区间（0，+）上的减函数，则在（0，+）上也是减函数，又由f（2）110，则不等式f（x）0的解集是（0，2），故选：D【点评】本题考查不等式的解法，涉及函数单调性的性质以及应用，属于基础题6（4分）在ABC中，C90，AC4，BC3，点P是AB的中点，则（）AB4CD6【分析】利用向量的数量积以及向量的线性运算即可求解【解答】解：在ABC中，C90，则0，因为点P是AB的中点，所以（+），所以（+）2+2|2故选：C【点评】本题主要考查平面向量数量积的运算，考查运算求解能力，属于基础题7（4分）在ABC中，C60，a+2b8，sinA6sinB，则c（）ABC6D5【分析】直接利用正弦定理和余弦定理的应用求出结果【解答】解：在ABC中，sinA6sinB，利用正弦定理得：a6b，所以，解得，利用余弦定理c2a2+b22abcosC，故c故选：B【点评】本题考查的知识要点：正弦定理，余弦定理的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题8（4分）抛物线具有以下光学性质：从焦点出发的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴该性质在实际生产中应用非常广泛如图，从抛物线y24x的焦点F发出的两条光线a，b分别经抛物线上的A，B两点反射，已知两条入射光线与x轴所成锐角均为60，则两条反射光线a和b之间的距离为（）ABCD【分析】由抛物线的方程得F（1，0），又OFA60，写出直线AF的方程，并联立抛物线的方程，解得yA，同理解得yB，再计算|yAyB|即可得出答案【解答】解：由y24x，得F（1，0），又OFA60，所以直线AF的方程为y0（x1），即yx+，联立，得（y+）2，所以y1或y22（舍去），即yA，同理直线BF的方程为y0（x1），即yx，联立，得（y）2，所以y32或y4（舍去），即yB2，所以|yAyB|2|，即两条反射光线的距离为，故选：C【点评】本题考查抛物线的应用，解题中需要理清思路，属于中档题9（4分）在无穷等差数列an中，记Tna1a2+a3a4+a5+（1）n+1an（n1，2，），则“存在mN*，使得TmTm+2”是“an为递增数列”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【分析】根据等差数列的性质，以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可【解答】解：若an为递增数列，又Tm+2Tm+（1）m+2am+1+（1）m+3am+2，当m为奇数时，Tm+2Tmam+1+am+2，an递增数列，am+2am+1，Tm+2Tm，即mN+，使Tm+2Tm，若mN+，使Tm+2Tm，由Tm+2Tm+（1）m+2am+1+（1）m+3am+2， 即（1）m+2am+1+（1）m+3am+20，当为m奇数时，am+1+am+20，am+2am+1，an递增数列，当为偶数时，am+1am+20，am+1am+2，an递减数列，综上所述，mN+，使Tm+2Tm是an为递增数列必要不充分条件，故选：B【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断和等差数学的性质，属于基础题10（4分）若非空实数集X中存在最大元素M和最小元素m，则记（X）Mm下列命题中正确的是（）A已知X1，1，Y0，b，且（X）（Y），则b2B已知Xa，a+2，Yy|yx2，xX，则存在实数a，使得（Y）1C已知Xx|f（x）g（x），x1，1，若（X）2，则对任意x1，1，都有f（x）g（x）D已知Xa，a+2，Yb，b+3，则对任意的实数a，总存在实数b，使得（XY）3【分析】A举反例判断；B用反证法，分类讨论判断；C举反例判断；D对任意的实数a，求出b满足条件即可【解答】解：对于A，因为（X）2，（X）（Y），所以（Y）2，于是b2或2，未必b2，所以A错；对于B，假设存在实数a，使（Y）1，若a0，（Y）（a+2）2a24（a+1）4，矛盾，若a+20，（Y）a2（a+2）24（a+1）4，矛盾，若1a0，（Y）（a+2）21，矛盾，若2a1，（Y）a21，矛盾，若a1，（Y）101，矛盾，所以B错；对于C，取f（x）|x|，g（x）1，则（X）2，但对任意x1，1，f（x）g（x）不成立，所以C错；对于D，对任意的实数a，只须b满足a，a+2b，b+3，就有XYY，从而（XY）（Y）33，所以D对故选：D【点评】本题以命题真假判断为载体，考查了集合的基本概念，考查了不等式性质，属于中档题二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。11（5分）函数f（x）lnx+的定义域是x|0x1【分析】根据函数f（x）的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，从而求出f（x）的定义域【解答】解：函数f（x）lnx+，解得0x1；函数f（x）的定义域为x|0x1故答案为：x|0x1【点评】本题考查了求函数定义域的问题，解题时应根据函数的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，从而求出定义域，是基础题12（5分）已知双曲线C：，则C的渐近线方程是；过C的左焦点且与x轴垂直的直线交其渐近线于M，N两点，O为坐标原点，则OMN的面积是【分析】利用双曲线的标准方程，求解渐近线方程得到第一空；求出M坐标，然后求解三角形的面积解答第二空【解答】解：双曲线C：，可得a2，b2，故C的渐近线方程为y，则C的渐近线方程双曲线的左焦点坐标（2，0），过C的左焦点且与x轴垂直的直线交其渐近线于M，N两点，则M（2，），N（2，），所以OMN的面积：6故答案为：y；6【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是基础题13（5分）在等比数列an中，a1+a310，a2+a45，则公比q；若an1，则n的最大值为3【分析】根据题意，由等比数列的通项公式可得q，即可得第一空答案，进而求出a1的值，即可得an的通项公式，解an1可得第二空答案【解答】解：根据题意，等比数列an中，a1+a310，a2+a45，则q若a1+a310，即a1+a110，解可得a18，则ana1qn18（）n1（1）n124n，若an1，即（1）n124n1，必有n1或3，即n的最大值为3，故答案为：，3【点评】本题考查等比数列的性质，涉及等比数列的通项公式，属于基础题14（5分）已知函数f（x）sinx，若对任意xR都有f（x）+f（x+m）c（c为常数），则常数m的一个取值为 （答案不唯一，只要是（2k+1）即可）【分析】先对三角函数恒等变形，要使2sin（x+）cos（）c（c为常数），必有cos（）0，再解三角函数方程求解即可【解答】解：f（x）+f（x+m）sinx+sin（x+m）2sin（x+）cos（）2sin（x+）cos（）c（c为常数），所以cos（）0，于是+k，m（2k+1），所以常数m的一个取值为（答案不唯一，只要是（2k+1）即可）故答案为：（答案不唯一，只要是（2k+1）即可）【点评】本题考查了正弦函数性质，属于中档题15（5分）长江流域水库群的修建和联合调度，极大地降低了洪涝灾害风险，发挥了重要的防洪减灾效益每年洪水来临之际，为保证防洪需要、降低防洪风险，水利部门需要在原有蓄水量的基础上联合调度，统一蓄水，用蓄满指数（蓄满指数）来衡量每座水库的水位情况假设某次联合调度要求如下：（）调度后每座水库的蓄满指数仍属于区间0，100；（）调度后每座水库的蓄满指数都不能降低；（）调度前后，各水库之间的蓄满指数排名不变记x为调度前某水库的蓄满指数，y为调度后该水库的蓄满指数，给出下面四个y关于x的函数解析式：；y10；则满足此次联合调度要求的函数解析式的序号是 【分析】根据题意得到，y的定义域为0，100，值域为0，100，yx对任意的x0，100成立且在0，100上单调递增，由此对四个选项进行逐一的分析判断即可【解答】解：由联合调度要求可知，y的定义域为0，100，值域为0，100，yx对任意的x0，100恒成立且在0，100上单调递增在0，100上不是单调函数，故选项错误；在0，100上单调递增，值域为0，100，又因为对任意的x0，100恒成立，所以yx对任意的x0，100恒成立，故选项正确；对任意的x0，100不恒成立，比如，故选项错误；在0，100上单调递增，值域为0，100，令，则，令f（x）0，解得xx0，则当x（0，x0）时，f（x）0，则f（x）单调递增，当x（x0，100）时，f（x）0，则f（x）单调递减，又f（0）0，f（100）0，所以f（x）0在0，100上恒成立，故yx对任意的x0，100恒成立，故选项正确故答案为：【点评】本题考查了函数性质的综合应用，涉及了利用导数研究函数性质的运用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。16（13分）如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为DD1的中点（）求证：BD1平面ACE；（）求直线AD与平面ACE所成角的正弦值【分析】（）连接BD交AC于点O，连接OE，证明OEBD1.然后证明BD1平面ACE（）不妨设正方体的棱长为2，建立空间直角坐标系Axyz求出平面ACE的法向量，利用空间向量的数量积求解直线AD与平面ACE所成角的正弦值即可【解答】（）证明：连接BD交AC于点O，连接OE，在正方形ABCD中，OBOD因为E为DD1的中点，所以OEBD1.（3分）因为BD1平面ACE，OE平面ACE，所以BD1平面ACE （5分）（）解：不妨设正方体的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz则A（0，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），E（0，2，1），所以， （8分）设平面ACE的法向量为（x，y，z），所以所以即（10分）令y1，则x1，z2，于是（1，1，2）（11分）设直线AD与平面ACE所成角为，则（13分）所以直线AD与平面ACE所成角的正弦值为【点评】本题考查直线与平面平行的判定定理的应用，直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力，转化思想以及计算能力，是中档题17（13分）已知函数，且f（x）图象的相邻两条对称轴之间的距离为，再从条件、条件、条件中选择两个作为一组已知条件（）确定f（x）的解析式：（）若f（x）图象的对称轴只有一条落在区间0，a上，求a的取值范围条件：f（x）的最小值为2；条件：f（x）图象的一个对称中心为（，0）；条件：f（x）的图象经过点（，1）【分析】（）先根据已知求出f（x）的最小正周期，即可求解，再根据所选条件，利用正弦函数的性质求解A和的值，从而可得f（x）的解析式；（）由正弦函数的图象与性质可得关于a的不等式，即可求解【解答】解：（）由于函数f（x）图象上两相邻对称轴之间的距离为，所以f（x）的最小正周期，此时f（x）Asin（2x+）选条件：因为f（x）的最小值为A，所以A2因为f（x）图象的一个对称中心为，所以，所以，因为，所以，此时k1，所以选条件：因为f（x）的最小值为A，所以A2因为函数f（x）的图象过点，则，即，因为，所以，所以，所以选条件：因为函数f（x）的一个对称中心为，所以，所以因为，所以，此时k1所以因为函数f（x）的图象过点，所以，即，所以A2，所以（）因为x0，a，所以，因为f（x）图象的对称轴只有一条落在区间0，a上，所以，得，所以a的取值范围为【点评】本题主要考查由yAsin（x+）的部分图象确定其解析式，正弦函数的图象与性质，考查运算求解能力，属于中档题18（14分）天文学上用星等表示星体亮度，星等的数值越小、星体越亮视星等是指观测者用肉眼所看到的星体亮度；绝对星等是假定把恒星成放在距地球32.6光年的地方测得的恒星的亮度，反映恒星的真实发光本领如表列出了（除太阳外）视星等数值最小的10颗最充恒星的相关数据，其中a0，1.3星名天狼星老人星南门二大角星织女一五车二参宿七南河三水委一参宿四*视星等1.470.720.270.040.030.080.120.380.46a绝对星等1.425.534.40.380.60.16.982.672.785.85赤纬16.752.760.819.238.8468.25.257.27.4（）从表中随机选择一颗恒星，求它的绝对星等的数值小于视星等的数值的概率；（）已知北京的纬度是北纬40，当且仅当一颗恒星的“赤纬”数值大于50时，能在北京的夜空中看到它，现从这10颗恒星中随机选择4颗，记其中能在北京的夜空中看到的数量为X颗，求X的分布列和数学期望；（）记a0时10颗恒星的视星等的方差为s12，记a1.3时10颗恒星的视星等的方差为s22，判断s12与s22之间的大小关系（结论不需要证明）【分析】（）由图表中的数据可知有5颗恒星绝对星等的数值小于视星等的数值，由古典概型的概率公式求解即可；（）首先确定X的所有可能取值，利用超几何分布的概率公式计算得到每个取值对应的概率，列出分布列，由数学期望的计算公式求解期望即可；（）根据数据的波动程度可得方差的大小关系【解答】解：（）设一颗星的绝对星等的数值小于视星等的数值为事件A，由图表可知，10颗恒星有5颗恒星绝对星等的数值小于视星等的数值，所以；（）由图表知，有7颗恒星的“赤纬”数值大于50，有3颗恒星的“赤纬”数值小于50，所以随机变量X的所有可能取值为：1，2，3，4，所以，所以随机变量X的分布列为：X1234P所以X的数学期望为；（）结论：【点评】本题考查了古典概型的概率公式的应用，离散型随机变量及其分布列的求解，数学期望公式的运用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题19（15分）已知函数f（x）ex（lnxa）（）若a1，求曲线yf（x）在点（1，f（1）处的切线方程；（）若a1，求证：函数f（x）存在极小值；（）若对任意的实数x1，+），f（x）1恒成立，求实数a的取值范围【分析】（）当a1时，f（x）ex（lnx1），求导得f（x），由导数的几何意义可得k切f（1），进而可得切线方程（）由f（x）ex（lnxa），求导得，令，根据h（x）的正负，得到f（x）的单调性，再确定f（x）的极小值（）对任意的实数x1，+），f（x）1恒成立等价于f（x）的最小值大于或等于1，分a1和a1，两种情况讨论，即可得出答案【解答】解：（）当a1时，f（x）ex（lnx1），所以，所以f（1）e，f（1）0，曲线yf（x）在点（1，f（1）处的切线方程为ye（）由f（x）ex（lnxa），得，令，则，当0x1时，h（x）0，当x1时，h（x）0，所以h（x）在区间（0，1）上是减函数，在区间（1，+）上是增函数所以h（x）的最小值为h（1）1a，当a1时，h（1）1a0，h（ea）ea0，又h（x）在（1，+）单调递增，故存在，使得h（x0）0，所以在区间（1，x0）上h（x）0，在区间（x0，+）上h（x）0，所以在区间（1，x0）上f（x）0，在区间（x0，+）上f（x）0，所以在区间（1，x0）上f（x）单调递减，在区间（x0，+）上f（x）单调递增，故函数f（x）存在极小值（）对任意的实数x1，+），f（x）1恒成立等价于f（x）的最小值大于或等于1当a1时，h（1）1a0，由（）得h（x）0，所以f（x）0所以f（x）在1，+）上单调递增，所以f（x）的最小值为f（1）ae，由ae1，得，满足题意，当a1时，由（）知，f（x）在（1，x0）上单调递减，所以在（1，x0）上f（x）f（1）aee，不满足题意综上所述，实数a的取值范围是【点评】本题考查导数的综合应用，导数的几何意义，考查了分类讨论思想，属于中档题20（15分）已知椭圆C：（a0）的焦点在x轴上，且经过点E（1，），左顶点为D，右焦点为F（）求椭圆C的离心率和DEF的面积；（）已知直线ykx+1与椭圆C交于A，B两点过点B作直线yt（t）的垂线，垂足为G判断是否存在常数t，使得直线AG经过y轴上的定点？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由【分析】（）由椭圆C经过点E（1，），得，解得a，由c2a2b2，解得c，进而可得离心率e，DEF的面积（）根据题意直线DE的方程为，G（1，t）时，直线AG的方程为，进而可得与y轴交点，若直线AG经过y轴上定点，则，解得t3，下面证明存在实数t3，使得直线AG经过y轴上定点（0，2），即可得出答案【解答】解：（）依题意，解得a2因为c2a2b2431，即c1，所以D（2，0），F（1，0），所以离心率，所以DEF的面积（）由已知，直线DE的方程为，当A（2，0），G（1，t）时，直线AG的方程为，交y轴于点，当，B（2，0），G（2，t）时，直线AG的方程为，交y轴于点，若直线AG经过y轴上定点，则，即t3，直线AG交y轴于点（0，2）下面证明存在实数t3，使得直线AG经过y轴上定点（0，2），联立消y整理，得（4k2+3）x2+8kx80，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，设点G（x2，3），所以直线AG的方程：，令x0，得，因为kx1x2x1+x2，所以，所以直线AG过定点（0，2），综上，存在实数t3，使得直线AG经过y轴上定点（0，2）【点评】本题考查直线与椭圆的相交问题，解题中需要易得计算能力，属于中档题21（15分）已知数列A：a1，a2，aN（N3）的各项均为正整数，设集合Tx|xajai，1ijN，记T的元素个数为P（T）（）若数列A：1，2，4，3，求集合T，并写出P（T）的值；（）若A是递增数列，求证：“P（T）N1”的充要条件是“A为等差数列”；（）若N2n+1，数列A由1，2，3，n，2n这n+1个数组成，且这n+1个数在数列A中每个至少出现一次，求P（T）的取值个数【分析】（）利用集合T的定义直接求解即可；（）分充分性和必要性两个方面分别证明，利用题中给出的集合T的定义分析即可；（）通过分析可知P（T）4n1，且P（T）2n，设数列A0：1，1，2，2，3，3，4，4，n，n，2n，此时T0，1，2，2n1，P（T）2n然后对数列A0分别作变换进行分析求解，即可得到答案【解答】（）解：因为a11，a22，a34，a43，所以T1，2，3，1，P（T）4；（）证明：充分性：若A是等差数列，设公差为d因为数列A是递增数列，所以d0则当ji时，ajai（ji）d所以Td，2d，（N1）d，P（T）N1，必要性：若P（T）N1因为A是递增数列，所以a2a1a3a1aNa1，所以a2a1，a3a1，aNa1T，且互不相等所以Ta2a1，a3a1，aNa1又a3a2a4a2aN1a2aNa2aNa1，所以a3a2，a4a2，aNa2，aNa1T，且互不相等所以a3a2a2a1，a4a2a3a1，aNa2aN1a1所以a2a1a3a2aNaN1，所以A为等差数列；（）解：因为数列A由1，2，3，n，2n这n+1个数组成，任意两个不同的数作差，差值只可能为1，2，3，（n1）和（2n1），（2n2），n共2（n1）+2n4n2个不同的值；且对任意的m1，2，3，n1，n，2n1，m和m这两个数中至少有一个在集合T中，又因为1，2，3，n，2n这n+1个数在数列A中共出现N2n+1次，所以数列A中存在aiaj（ij），所以0T综上，P（T）4n1，且P（T）2n设数列A0：1，1，2，2，3，3，4，4，n，n，2n，此时T0，1，2，2n1，P（T）2n现对数列A0分别作如下变换：把一个1移动到2，3之间，得到数列：1，2，2，1，3，3，4，4，n，n，2n，此时T0，1，2，3，（2n1），1，P（T）2n+1把一个1移动到3，4之间，得到数列：1，2，2，3，3，1，4，4，n，n，2n，此时T0，1，2，3，（2n1），1，2，P（T）2n+2把一个1移动到n1，n之间，得到数列：1，2，2，3，3，4，4，n1，n1，1，n，n，2n，此时T0，1，2，3，（2n1），1，2，2n，P（T）2n+n23n2把一个1移动到n，2n之间，得到数列：1，2，2，3，3，4，4，n，n，1，2n，此时T0，1，2，3，2n1，1，2，1n，P（T）2n+n13n1再对数列A0依次作如下变换：把一个1移为2n的后一项，得到数列A1：1，2，2，3，3，4，4，n，n，2n，1，此时T0，1，2，3，2n1，1，2，1n，12n，P（T）3n；再把一个2移为2n的后一项：得到数列A2：1，2，3，3，4，4，n，n，2n，2，1，此时T0，1，2，3，2n1，1，2，1n，12n，22n，P（T）3n+1；依此类推，最后把一个n移为2n的后一项：得到数列An：1，2，3，4，n，2n，n，n1，2，1，此时T0，1，2，3，2n1，1，2，1n，12n，22n，n，P（T）4n1综上所述，P（T）可以取到从2n到4n1的所有2n个整数值，所以P（T）的取值个数为2n【点评】本题以数列知识为背景考查了新定义问题，解决此类问题，关键是读懂题意，理解新定义的本质，把新情境下的概念、法则、运算化归到常规的数学背景中，运用相关的数学公式、定理、性质进行解答，属于难题