《金融数学》ppt课件(7)远期、期货和互换

1 远 期 、 期 货 和 互 换forwards， futures and swaps孟 生 旺中 国 人 民 大 学 统 计 学 院 2 衍 生 产 品 （ derivative instrument） ： 一 种 金 融 工 具 ， 其 价值 依 赖 于 其 他 产 品 （ 如 证 券 、 商 品 、 利 率 或 指 数 ） 的 价 格 。常 见 的 衍 生 产 品 ：远 期 （ forwards）期 货 （ futures）互 换 （ swaps）期 权 （ options） 3 一 、 远 期 (forward)远 期 合 约 （ forward contract） ： a contract to buy or sell a specified asset at a designated future time.双 方 约 定 在 未 来 某 一 个 确 定 的 时 间 ， 按 照 某 一 确 定 的 价 格买 卖 一 定 数 量 的 某 种 资 产 的 协 议 。 例 ： 小 麦 ， 石 油Forward contract: 标 的 资 产 （ underlying asset） ： 双 方 约 定买 卖 的 资 产 。交 割 价 格 （ delivery price） ： 约 定 的 成 交 价 格 。空 头 （ short forward, short position） ： 卖 出 标 的 资 产 的 一方 。多 头 （ long forward, long position） ： 买 入 标 的 资 产 的 一 方 。 4 回 收 （ payoff） ： the cash realized by the holder of an option or other derivative at the end of its life.一 个 仓 位 在 满 期 时 的 价 值 .Payoff to long forward = spot price at expiration forward pricePayoff to short forward = forward price spot spice at expirationSpot price: the current price of an asset at any time. 多 头 的 回 收 满 期 时 的 即 期 价 格 交 割 价 格 空 头 的 回 收 多 头 的 回 收盈 亏 （ net payoff， profit） ， 从 回 收 中 扣 除 建 立 仓 位 所 发 生 的 初 始 费 用 的终 值 ， 即Profit = payoff future value of expenses incurred 盈 亏 回 收 初 始 费 用 的 终 值注 ： 远 期 合 约 的 初 始 费 用 为 零 ， 因 此 盈 亏 等 于 回 收 。 5 例 ： 假 设 股 票 当 前 的 价 格 是 100元 ， 一 年 后 到 期 的 远 期 价 格为 105元 ， 没 有 分 红 。 年 实 际 利 率 为 5 。 如 果 立 即 购 买 ，当 前 需 要 支 付 100元 。 如 果 通 过 远 期 合 约 购 买 ， 当 前 的 支出 为 零 ， 但 在 一 年 后 需 要 支 付 105元 。解 ： 如 果 一 年 后 股 票 的 即 期 价 格 为 115元 ， 则远 期 多 头 ：回 收 =115 105 10， 盈 亏 =10-0=10股 票 多 头 ：回 收 =115， 盈 亏 =115-1001.05=10 6 例 ： 投 资 1000元 购 买 了 一 种 6个 月 期 的 零 息 债 券 ， 到 期 的 偿还 值 为 1020元 。 6个 月 期 的 实 际 利 率 为 2 。 请 计 算 投 资者 购 买 这 种 债 券 的 回 收 和 盈 亏 。解 ： 购 买 这 种 债 券 的 回 收 为 1020元 。 购 买 债 券 的 成 本 为 1000元 ， 因 此 购 买 债 券 的 盈 亏 为 ：1020 1000 （ 1 2 ） 0。注 ： 零 息 债 券 的 盈 亏 为 零 ， 但 利 息 收 入 大 于 零 ！ 7 远 期 合 约 的 类 型 ：商 品 远 期 合 约金 融 远 期 合 约 远 期 利 率 协 议 远 期 外 汇 合 约 远 期 股 票 合 约下 面 仅 介 绍 远 期 利 率 协 议 8 远 期 利 率 （ Forward Rate ） ： 将 来 某 个 时 点 开 始 的 一 定期 限 的 利 率 。 (rate of interest for a period of time in the future implied by todays zero rates). zero rate = zero coupon interest rate. 例 ： 1 7远 期 利 率 ： 1个 月 之 后 开 始 的 期 限 为 6个 月 的 远 期利 率远 期 利 率 由 一 系 列 即 期 利 率 决 定 ， 例 ：一 年 期 的 即 期 利 率 为 8%二 年 期 的 即 期 利 率 为 9%则 从 第 一 年 末 到 第 二 年 末 的 远 期 利 率 为 i =10.01%， 即 (1+8%)(1+i) = (1+9%) 2 9 远 期 利 率 协 议 （ Forward Rate Agreements， FRA） ：买 卖 双 方 同 意 从 未 来 某 一 时 点 开 始 ， 在 某 一 特 定 时 期 内 按协 议 利 率 借 贷 一 笔 名 义 本 金 的 协 议 。 Agreement that a certain interest rate will apply to a certain principal amount for a certain period of time in the future. 买 卖 双 方 订 立 远 期 利 率 协 议 的 目 的买 方 规 避 利 率 上 升 的 风 险卖 方 规 避 利 率 下 降 的 风 险 。不 必 交 换 本 金 ， 只 需 支 付 结 算 金 (cash settlement)。若 参 照 利 率 协 议 利 率 ， 由 卖 方 付 给 买 方 结 算 金 。 10 分 子 协 议 利 率 与 参 照 利 率 之 差 所 造 成 的 额 外 利 息 支出 ， 发 生 在 贷 款 期 限 结 束 之 时 。分 母 用 参 照 利 率 对 分 子 折 现 至 贷 款 期 限 开 始 之 时 。用 单 利 计 算 。 1 k Dr r A BDr B结 算 金 - 参 照 利 率 协 议 利 率 天 数 计 算 惯 例贷 款 天 数合 同 的 名 义 本 金 11 例 ： 假 设 A公 司 在 6个 月 之 后 需 要 一 笔 1,000万 元 的 资 金 ，为 期 3个 月 ， 为 了 锁 定 资 金 成 本 ， 该 公 司 与 某 银 行 签 订 了一 份 6 9的 远 期 利 率 协 议 ， 协 议 利 率 为 4%， 名 义 本 金 为1,000万 元 。 请 分 析 市 场 利 率 上 升 对 A公 司 有 何 影 响 。解 ： 假 设 六 个 月 后 ， 市 场 利 率 上 涨 为 4.5%， 则 在 远 期 利率 协 议 的 结 算 日 A公 司 从 银 行 获 得 的 金 额 为 ：90(4.5% 4%) 10,000,000 360 12361901 4.5% 360- ， 12 如 果 没 有 签 订 远 期 利 率 协 议 ， A公 司 就 得 按 照 市 场 利 率4.5%借 入 一 笔 1,000万 元 的 资 金 ， 此 时 的 利 息 支 出 为 ：扣 除 结 算 金 的 累 积 值 ， 其 实 际 的 资 金 成 本 （ 表 示 为 年 利 率 ）为 10,000,000 4.5% 90/360=112 500 ，90112500 12361 (1 4.5% ) 360360 410,000,000 90， ， - 13 二 、 期 货 （ futures）期 货 合 约 （ Futures Contract） ： A type of forward contract that obligates the holder to buy or sell an asset at a predetermined delivery price during a specified future time period .双 方 同 意 在将 来 某 个 日 期 按 约 定 的 条 件 （ 包 括 价 格 、 交 割 地 点 、 交 割 方式 等 ） 买 入 或 卖 出 一 定 标 准 数 量 的 某 种 标 的 资 产 的 标 准 化 协议 。 按 标 的 物 的 不 同 ， 期 货 合 约 可 以 分 为商 品 期 货 ： 标 的 物 为 实 物 商 品 (pork bellies, live cattle, sugar, wool, lumber, copper, aluminum, gold, tin)金 融 期 货 ： 标 的 物 为 金 融 工 具 (stock indices, currencies, Treasury bonds) 14 期 货 的 几 个 基 本 概 念 ：标 准 化 ： 合 约 规 模 ， 交 割 地 点 ， 交 割 日 期初 始 保 证 金 （ initial margin） : the cash balance required from a futures or options trader.盯 市 （ Mark to Market） ： The practice of revaluing an instrument to reflect the current values of the relevant market variables. 每 天 交 易 结束 时 ， 根 据 期 货 价 格 的 涨 跌 调 整 保 证 金 账 户 。 .维 持 保 证 金 （ maintenance margin） : when the balance in a traders margin account falls below the maintenance margin level, the trader receives a margin call requiring the account to be topped up to the initial margin level.对 冲 平 仓 （ offset） ： 期 货 市 场 上 最 主 要 的 一 种 结 清 头 寸 的 方 式 。 套 保 （ Hedging） : a trade designed to reduce risk. 15 三 、 远 期 和 期 货 的 定 价 远 期 价 格 （ Forward Price） ： 标 的 物 在 未 来 某 个 时 点 上 的 理 论 价 格 。 The delivery price in a forward contract that causes the contract to be worth zero.注 ： 理 论 远 期 价 格 实 际 交 割 价 格 ， 会 出 现 套 利 （ arbitrage）Arbitrage: trading strategy that takes advantage of two or more securities being mispriced relative to each other.正 向 套 利 （ cash-and-carry arbitrage） ：理 论 远 期 价 格 实 际 交 割 价 格 ， 卖 空 标 的 资 产 ， 买 入 远 期 。 即 先 高 价 卖 出 ， 后 低 价 买 入 。因 此 ， 在 远 期 合 约 签 订 之 日 ， 理 论 远 期 价 格 应 该 等 于 实 际 交 割 价 格 。 16 远 期 合 约 的 价 值 ： 远 期 合 约 本 身 的 价 值 ， 取 决 于 实 际 交 割价 格 与 理 论 远 期 价 格 之 差 。 对 于 远 期 合 约 的 多 头 而 言 ：理 论 远 期 价 格 实 际 交 割 价 格 ， 合 约 的 价 值 大 于 零理 论 远 期 价 格 实 际 交 割 价 格 ， 合 约 的 价 值 小 于 零在 合 约 签 订 之 日 ， 合 约 的 价 值 应 该 为 零 ， 故 理 论 远 期 价 格等 于 实 际 交 割 价 格 。换 言 之 ， 理 论 远 期 价 格 就 是 使 得 合 约 的 价 值 为 零 的 交 割 价格 。期 货 的 定 价 与 远 期 的 定 价 相 同 。 下 面 仅 讨 论 远 期 的 定 价 。 17 定 价 假 设没 有 交 易 费 用 和 税 金 ；市 场 参 与 者 能 以 相 同 的 无 风 险 利 率 借 入 和 贷 出 资 金 ；没 有 违 约 风 险 ；允 许 现 货 卖 空 ；采 用 无 套 利 (no-arbitrage)定 价 法 。 18 无 套 利 定 价 法 的 基 本 思 路 ： 构 建 两 种 投 资 组 合 ， 若 其 终 值相 等 ， 则 其 现 值 也 一 定 相 等 ， 否 则 就 存 在 套 利 机 会 。 即 套利 者 ：卖 出 现 值 较 高 的 投 资 组 合买 入 现 值 较 低 的 投 资 组 合 ， 并 持 有 到 期 末赚 取 无 风 险 利 润 。 A=1B=2 A=3B=3 19 符 号T 远 期 合 约 的 到 期 时 间 （ 单 位 为 年 ） 。 t 当 前 的 时 间 ， 通 常 令 t = 0。S 标 的 资 产 在 时 间 t 的 价 格 ， 即 当 前 的 价 格 。ST 标 的 资 产 在 时 间 T 的 价 格 。K 远 期 合 约 中 的 交 割 价 格 。f 远 期 合 约 多 头 在 时 间 t 的 价 值 。F 远 期 价 格 ， 即 在 时 间 t ， 标 的 资 产 的 远 期 理 论 价 格 。r 无 风 险 利 率 ， 以 连 续 复 利 （ 利 息 力 ） 表 示 。 20t T S STKf F交 割 价 格多 头 的 价 值 远 期 价 格股 票 在 当 前时 间 t 的 价 格 股 票 在 到 期 时间 T 的 价 格 21 远 期 合 约 中 标 的 资 产 的 类 型 ：到 期 前 不 产 生 收 益 的 资 产 ： 零 息 债 券 ， 不 支 付 红 利 的 股票到 期 前 产 生 已 知 收 益 的 资 产 ： 附 息 债 券 ， 支 付 已 知 现 金红 利 的 股 票 到 期 前 产 生 连 续 收 益 率 的 资 产 ： 股 票 指 数 ， 货 币 22 到 期 前 不 产 生 收 益 的 资 产考 虑 两 种 组 合 ： 组 合 A： 一 份 远 期 合 约 多 头 ， 加 上 一 笔 金 额 为 的 现 金 ； 组 合 B： 一 单 位 标 的 资 产 。在 组 合 A中 ， 现 金 累 积 到 时 间 T 的 金 额 为 K， 刚 好 可 用来 交 割 ， 以 换 取 一 单 位 标 的 资 产 。可 见 ， 在 时 间 T ， 两 个 组 合 都 等 于 一 单 位 标 的 资 产 。 ( )e r T tK - - 23 根 据 无 套 利 原 理 ：上 式 变 形 的 远 期 合 约 多 头 的 价 值 为远 期 价 格 F 就 是 使 得 f = 0 的 K 值 ， 故 有 ：可 见 ， 远 期 价 格 等 于 标 的 资 产 现 货 价 格 的 终 值 。( )r T tf Ke S- - ( )r T tF Se - ( )r T tf S Ke- - - 24 例 ： 考 虑 一 份 股 票 远 期 合 约 ， 标 的 股 票 不 支 付 红 利 。 假 设 合约 的 期 限 是 3个 月 ， 股 票 现 在 的 价 格 是 50元 ， 连 续 复 利 的无 风 险 年 利 率 为 10%， 请 计 算 这 份 远 期 合 约 的 价 格 。 解 ： 这 份 远 期 合 约 的 合 理 价 格 应 该 为 0.10 0.2550e 51.27F 25 例 ： 考 虑 一 份 远 期 合 约 多 头 ， 其 标 的 证 券 是 剩 余 期 限 为 6个月 的 一 年 期 零 息 债 券 ， 交 割 价 格 为 $960。 6个 月 期 的 无 风 险 年 利 率 （ 连 续 复 利 ） 为 10%。 该 债 券 的 现 价 为 $940。 请 计 算 远 期 合 约 多 头 的 价 值 。解 ： 该 远 期 合 约 多 头 的 价 值 为f = 940 960 e - 0.5 0.1 = $26.82 26 到 期 前 产 生 已 知 收 益 的 资 产令 已 知 收 益 的 现 值 为 D， 并 构 建 如 下 两 个 组 合 ：组 合 A： 一 份 远 期 合 约 多 头 ， 加 上 一 笔 金 额 为 的 现 金 。组 合 B： 一 单 位 标 的 资 产 ， 加 上 金 额 为 D 的 借 款 。组 合 A在 时 间 T 的 价 值 正 好 等 于 一 单 位 标 的 资 产 。在 组 合 B中 ， 一 单 位 标 的 资 产 的 现 金 收 益 刚 好 可 以 用 来偿 还 借 款 D， 因 此 在 时 间 T ， 该 组 合 的 价 值 也 等 于 一单 位 标 的 资 产 。 ( )e r T tK - - 27 根 据 无 套 利 原 理上 式 变 形 即 得 远 期 合 约 多 头 的 价 值 为 ：远 期 价 格 F 就 是 使 得 f = 0 的 K 值 ， 故 有 ：( )e r T tf K S D- - -( )e r T tf S D K - - - - ( )( )er T tF S D - - 28 例 ： 一 种 5年 期 债 券 的 现 货 价 格 为 950元 ， 该 债 券 一 年 期远 期 合 约 的 交 割 价 格 为 960元 ， 该 债 券 在 6个 月 末 和12个 月 末 都 将 收 到 50元 的 利 息 ， 且 第 二 次 付 息 日 在远 期 合 约 交 割 日 之 前 。 假 设 6个 月 期 和 12个 月 期 的 无风 险 年 利 率 （ 连 续 复 利 ） 分 别 为 9%和 10%， 求 该 远期 合 约 多 头 的 价 值 。解 ： 该 债 券 已 知 现 金 收 益 的 现 值 为 ：D = 50e-0.090.5 + 50e-0.101 = 94.79元 该 远 期 合 约 多 头 的 价 值 为 ： f = 950 - 94.79 - 960e -0.11 = -13.43元 29 到 期 前 产 生 已 知 收 益 率 的 资 产假 设 资 产 的 收 益 率 用 连 续 复 利 表 示 为 d， 并 构 建 如 下 两个 组 合 ：组 合 A： 一 份 远 期 合 约 多 头 ， 加 上 一 笔 金 额 为 的 现 金 ；组 合 B： 单 位 的 资 产 ， 并 且 资 产 的 所 有 收 益 都再 投 资 于 该 资 产 。组 合 A在 时 间 T 的 价 值 就 等 于 一 单 位 标 的 资 产 。 而 组 合B的 资 产 数 量 在 时 刻 T 也 正 好 等 于 一 单 位 标 的 资 产 。 ( )e r T tK - - ( )e T td- - 30 根 据 无 套 利 原 理 ：上 式 变 形 即 得 远 期 合 约 多 头 的 价 值 为 远 期 价 格 F 就 是 使 得 f = 0的 K 值 ， 故 有( ) ( )e er T t T tf K S d- - - - ( ) ( )e eT t r T tf S Kd- - - - - ( )( )e r T tF S d- - 31 例 ： 股 票 现 在 的 市 场 价 格 是 30元 ， 年 平 均 连 续 红 利 率 为5 ， 无 风 险 连 续 复 利 为 10 ， 若 该 股 票 6个 月 期 的远 期 合 约 的 交 割 价 格 为 35元 ， 求 理 论 远 期 价 格 和 该远 期 合 约 的 价 值 。解 ： 理 论 远 期 价 格 为 ： 多 头 的 价 值 f 为 （ 把 T 时 的 价 值 折 现 到 t 时 ） ：( )( ) (0.1 0.05) 0.530 30.76r T tF Se ed- - - ( ) 0.10 0.5( )e (30.67 35)e 4.03r T tf F K - - - = - = - = - 32 例 ： 远 期 利 率 协 议 的 定 价 ： 名 义 本 金 为 A， 利 率 均 为 连 续 复 利 。t =0 T T *r r* r Kr协 议 远 期 利 率即 期 利 率 理 论 远 期 利 率 即 期 利 率A ( * )Kr T TAe -多 方 的 现 金 流 ： ( ) e e e r T rT r T T r T rTr T T - - - 33 多 方 （ 即 借 入 名 义 本 金 的 一 方 ） 在 未 来 的 现 金 流 为 ：时 刻 T： A时 刻 T*： 将 上 述 现 金 流 贴 现 ， 即 得 多 方 的 价 值 为 ： ( * ) ( * )e e e eKr T TrT r T T rTf A A - - - - - ( * )Kr T TAe - ( )( * )e 1 e Kr r T TrTA - - - 0 Kf r r F r T rTr r T T - - 34 例 ： 假 设 2年 期 的 即 期 年 利 率 为 10%， 3年 期 的 即 期 年 利 率 为11%， 均 为 连 续 复 利 。 本 金 为 100万 元 的 2年 3年 远 期 利 率协 议 的 合 同 利 率 为 12%， 请 计 算 该 远 期 利 率 协 议 多 方 的 价值 以 及 理 论 上 的 合 同 利 率 。解 ： 理 论 上 的 合 同 利 率 应 为 ： 该 合 约 的 价 值 （ 套 用 公 式 ） 为 ：0.11 3 0.10 2 13%3 2 Fr r - -0.10 2 (0.12 0.13)(3 2)1,000,000 e 1 e 8146.51f - - - - 35t =0 T=2 T *=310% 11% r协 议 远 期 利 率即 期 利 率 理 论 远 期 利 率即 期 利 率 12%借 入 ： 100 0.12100e偿 还 ： 0.10 2 0.12 0.11 3100 e 100 e e 8146.51f 万 万 元- - 该 合 约 多 方 的 价 值 （ 建 议 直 接 计 算 ） 为 ： 36 远 期 定 价 的 另 一 种 方 法为 了 在 时 间 T 获 得 一 单 位 股 票 ， 可 以 ：预 付 远 期 （ prepaid forward） ： 在 当 前 时 刻 t 支 付 价 款 ，但 在 时 刻 T 才 交 割 股 票 。远 期 ： 在 时 刻 T 支 付 价 款 并 交 割 股 票 。根 据 股 利 支 付 方 式 的 不 同 ， 预 付 远 期 的 定 价 可 以 分 为 下 述 三种 情 况 ：无 股 利离 散 股 利连 续 股 利 37 无 股 利下 述 两 种 行 为 等 价 ： （ 1） 现 在 预 付 FP， 到 时 间 T拥 有 单 位 股 票 。 （ 2） 现 在 支 付 S购 买 股 票 ， 到 时 间 T也 拥 有 单 位 股 票 。故 预 付 远 期 的 价 格 为离 散 股 利因 为 尚 未 持 有 股 票 而 得 不 到 股 利 。 假 设 股 利 的 现 值 之 和为 D， 则 PF S=PF S D - 38 连 续 股 利假 设 ： 股 利 按 d 连 续 支 付所 有 的 股 利 都 以 d 进 行 再 投 资 如 果 购 买 者 希 望 在 时 刻 T 持 有 一 单 位 的 股 票 ， 现 在 只 需 购买 单 位 的 股 票 即 可 。 当 前 每 单 位 股 票 的 价 格 为 S， 故 ： ( )e T td- - ( )eP T tF S d- -= 39 在 得 到 了 预 付 远 期 合 约 的 价 格 之 后 ， 将 其 累 积 到 时 刻 T，即 可 得 到 远 期 合 约 的 价 格 。无 股 利 ： 离 散 股 利 （ 现 值 为 D） ：连 续 股 利 ： ( )er T tF S -= ( )er T tF S D - -( )( )e r T tF S d- - 40 持 有 成 本 （ cost of carry） ： 远 期 价 格 与 当 前 价 格 的 差 额 。( )( )e r T tF SS S持 有 成 本 d- - - - e 1x x + ( )( )e 1r T tS d- - - ( )( )S r T td - - 41 解 释 ：在 时 间 t 借 款 S 购 买 股 票 ， 借 款 的 利 率 是 r。所 购 股 票 的 红 利 率 是 d， 故 借 款 的 净 利 息 成 本 为用 借 款 额 乘 以 净 利 息 成 本 和 借 款 期 限 ， 即 得 上 述 的 持 有成 本 。 ( )r d-( )( )S r T td - -持 有 成 本 42 远 期 定 价 公 式 中 隐 含 的 无 风 险 利 率从 远 期 的 价 公 式 中 可 以 求 出 隐 含 的 无 风 险 利 率 r 为 ：通 过 隐 含 的 无 风 险 利 率 可 以 发 现 套 利 机 会 。例 ： 若 隐 含 利 率 r 高 于 市 场 利 率 ， 说 明 远 期 价 格 偏 高 ，可 以 买 入 现 货 ， 卖 出 远 期 ， 从 而 获 取 无 风 险 收 益 。( )( ) ( )1e l nr T t T tFF S r T t Sed d- - - -轾犏= = - 臌 43 四 、 合 成 远 期 为 了 在 时 间 T 获 得 一 单 位 的 股 票 ， 既 可 以 直 接 购 买 ， 也 可以 采 取 下 述 4个 步 骤 购 买 ：（ 1） 在 时 间 t ， 投 资 元 购 买 零 息 债 券 ， 该 债 券 的 收 益率 为 r ， 到 期 时 间 为 T。（ 2） 在 时 间 t， 购 买 股 票 远 期 ， 远 期 价 格 为 （ 3） 在 时 间 T， 债 券 到 期 ， 获 得 资 金（ 4） 在 时 间 T， 用 债 券 到 期 所 获 得 的 资 金 交 割 股 票 远 期 ， 正 好可 以 获 得 一 单 位 的 股 票 。 ( )e T tS d- - ( )( )e r T tF S d- -( ) ( ) ( )( )e e er T t T t r T tS Sd d- - - - -= 44 即 在 时 间 T 的 一 单 位 股 票 ， 可 以 通 过 远 期 多 头 和 零 息 债 券来 合 成 ：股 票 远 期 零 息 债 券 （ 合 成 股 票 ）变 形 还 可 得 ： 远 期 股 票 零 息 债 券 （ 合 成 远 期 多 头 ） 零 息 债 券 = 股 票 远 期 （ 合 成 零 息 债 券 ） 远 期 股 票 零 息 债 券 （ 合 成 远 期 空 头 ） 45 合 成 远 期 的 图 示 ： 远 期 股 票 零 息 债 券 t T借 款 （ 出 售 零 息债 券 ） 购 买 股 票 ： ( )e T tS d- - 偿 还 借 款 ， 获得 一 单 位 股 票 ： ( )( )e r T tS d- -支 付 远 期 价 格 ，获 得 一 单 位 股 票 ： ( )( )e r T tF S d- - 46 套 保 和 套 利 （ hedge and arbitrage)1. 正 向 套 保 （ cash and carry hedge） ： 在 买 入 标 的 资 产 的 同时 ， 卖 出 其 远 期 。假 设 投 资 者 卖 出 一 个 股 票 远 期 ， 即 同 意 在 时 间 T 按 远 期价 格 出 售 股 票 。 （ 面 临 的 风 险 ： 股 价 上 升 ）为 了 对 此 空 头 仓 位 进 行 套 保 ， 可 以 生 成 一 个 合 成 远 期 多头 （ 出 售 零 息 债 券 （ 即 借 钱 ） 买 入 股 票 ） ：合 成 远 期 股 票 零 息 债 券一 多 一 空 ， 风 险 为 零 。( )( )e r T tF S d- - 47 例 ： 假 设 股 票 的 远 期 价 格 为 假 设 投 资 者 卖 出 该 股 票 的 远 期 。 为 了 防 范 股 价 上 升 的 风 险 ，可 以 生 成 一 个 合 成 远 期 的 多 头 ：（ 1） 在 时 间 t， 购 买 元 的 股 票 ， 购买 股 票 的 资 金 按 r = 0.05的 利 率 借 入 。（ 2） 在 时 间 T， 投 资 者 将 拥 有 一 单 位 的 股 票 ， 同 时 需 要 偿 还的 借 款 为 元 。 把 一 单 位 的 股 票 按 远期 价 格 出 售 ， 正 好 可 以 偿 还 借 款 金 额 。注 ： 无 论 股 价 如 何 变 化 ， 投 资 者 的 风 险 均 为 零 。0.05, 0.02, 100, 0, 1r S t Td= = = = =( )( ) (0.05 0.02) 1e 100e 103.046r T tF S d- - - ( ) 0.02 1e 100e 98.02T tS d- - - 0.0598.02 e 103.046- = 48 正 向 套 保 图 示 ： 无 论 股 价 如 何 变 化 ， 均 无 风 险 t T借 款 98.02购 买 股 票 拥 有 一 单 位 股 票 ，偿 还 借 款 ：103.046卖 出 一 单 位 股票 ， 获 得 ：103.046合 成 远 期 多 头远 期 空 头 49 2. 正 向 套 利 （ cash and carry arbitrage） 在 正 向 套 保 中 ， 我 们 假 设 远 期 价 格 是 合 理 的 ， 即 但 在 现 实 中 ， 有 可 能 出 现 假 设 ， 套 利 者 可 以 出 售 一 个 高 价 （ K）远 期 ， 同 时 合 成 一 个 低 价 （ F） 远 期 （ 远 期 股 票 零 息债 券 ） ， 即 低 价 买 入 现 货 。 ( )( )e r T tK F S d- - ( )( )e r T tK F S d- - ( )( )e r T tK F S d- - 50 例 ： 在 前 例 中 ， 如 果 远 期 的 交 割 价 格 是 105元 ， 则 套 利 者 可以 ：合 成 一 个 远 期 多 头 （ 即 借 款 98.02购 买 股 票 ， 到 期 可 以获 得 一 支 股 票 ， 并 偿 还 借 款 103.046） 。按 105元 卖 出 一 个 远 期获 取 无 风 险 利 润 105-103.046 = 1.954元注 ： 套 利 者 在 时 间 T 获 得 了 1.954元 利 润 ， 但 在 时 间 t 的 投资 成 本 为 零 。 51 正 向 套 利 图 示 ： 获 取 无 风 险 利 润 105-103.046=1.954元 t T借 款 购 买 股 票 ：98.02 拥 有 一 单 位 股 票 ，偿 还 借 款 ：103.046卖 出 一 单 位 股票 ， 获 得 ：105合 成 远 期 多 头远 期 空 头 52 3. 反 向 套 保 （ reverse cash and carry hedge） ： 在 卖 出 标 的 资 产的 同 时 买 入 远 期 。假 设 投 资 者 购 买 了 一 个 股 票 远 期 ， 即 同 意 在 时 间 T 按 远 期价 格 买 入 股 票 。 （ 面 临 的 风 险 ： 股 价 下 跌 ） 。为 了 对 此 多 头 仓 位 进 行 套 保 ， 可 以 生 成 一 个 合 成 远 期 的 空头 （ 出 售 股 票 ， 并 用 所 得 资 金 购 买 零 息 债 券 ） ： 远 期 股 票 零 息 债 券一 空 一 多 ， 风 险 为 零 。( )( )e r T tF S d- - 53 例 ： 如 前 例 ， 假 设 投 资 者 购 买 了 远 期 价 格 为 103.046元 的 股 票远 期 ， 投 资 者 可 以 生 成 一 个 合 成 远 期 的 空 头 ：（ 1） 在 时 间 t ， 卖 出 元 的 股票 ， 并 用 这 些 资 金 购 买 收 益 率 为 r = 0.05的 零 息 债 券 。（ 2） 在 时 间 T， 投 资 者 在 零 息 债 券 上 的 价 值 为正 好 可 以 满 足 交 割 股 票 远 期 的 资 金 。 风 险 为 零 。( ) 0.02 1e 100e 98.02T tS d- - - 0.0598.02 e 103.046- = 54 反 向 套 保 图 示 ： 无 论 股 价 如 何 变 化 ， 均 无 风 险 t T卖 出 股 票 ， 并 投资 于 零 息 债 券 ：98.02 出 售 零 息 债 券 ，获 得 ： 103.046购 买 一 单 位 股票 ， 支 付 价 款 ：103.046合 成 远 期 空 头远 期 多 头 55 4. 反 向 套 利 （ reverse cash and carry arbitrage）反 向 套 利 的 机 会 ： 实 际 交 割 价 格 小 于 理 论 远 期 价 格 ， 即套 利 方 式 ： 买 入 低 价 （ K） 远 期 ， 合 成 高 价 （ F） 远 期 空 头 ，即 高 价 卖 出 现 货 。例 ： 在 前 例 中 ， 如 果 远 期 的 交 割 价 格 是 100元 ， 则 套 利 者 ：用 100元 购 买 一 个 远 期合 成 一 个 远 期 空 头 （ 出 售 98.02元 的 股 票 ， 购 买 零 息 债 券 ， 到 期获 得 103.046元 ） 从 而 获 取 无 风 险 利 润 103.046-100=3.046元 。( )( )e r T tK F S d- - 56 反 向 套 利 图 示 ： 获 取 无 风 险 利 润 103.046-100=3.046元 t T卖 出 股 票 ， 并 投资 于 零 息 债 券 ：98.02 出 售 零 息 债 券 ，获 得 ： 103.046购 买 一 单 位 股票 ， 支 付 价 款 ：100合 成 远 期 空 头远 期 多 头 57 5. 无 套 利 区 间 （ 了 解 ）在 现 实 中 ， 只 要 远 期 价 格 落 在 一 个 区 间 之 内 ， 就 不 会 存 在套 利 机 会 。 这 是 由 于 ：交 易 成 本借 款 利 率 和 存 款 利 率 不 同股 票 的 买 卖 价 差 58 假 设 在 时 间 t = 0， 股 票 的 买 卖 价 格 分 别 为 ，借 款 利 率 和 存 款 利 率 分 别 为 ，在 时 间 t = 0， 股 票 或 远 期 的 交 易 成 本 均 为 k， 在 时 间 T 没 有 交 易 成 本 。 b aS S和 b aS S 59 如 果 套 利 者 卖 出 远 期 ， 并 借 款 买 入 股 票 （ 假 设 股 票 没 有红 利 ） 。卖 出 远 期 的 交 易 成 本 为 k 借 钱 买 入 股 票 的 成 本 为 套 利 者 需 要 借 入 的 总 资 金 为在 时 间 T， 上 述 交 易 的 回 收 为 ( 2 ) ba r T T TS k e F S S- + + - +14444424444443 1442443偿 还 借 款 远 期 的 价 值 股 票 的 价 值2aS k+ aS k+ 60 如 果 上 述 回 收 大 于 零 ， 则 套 利 者 是 有 利 可 图 的 。 即上 限 ： 使 用 相 对 较 高 的 股 票 价 格 （ 卖 价 Sa） ， 使 用 相 对 较高 的 利 率 （ 借 款 利 率 rb） ， 并 增 加 两 个 交 易 成 本 。不 存 在 套 利 机 会 的 远 期 价 格 的 下 限 为 ：( 2 ) ba r TF F S k e+ = +( 2 ) lb r TF F S k e- = - 61 例 ： 假 设 股 票 的 买 价 为 ， 卖 价 为 ， 借 款 利率 为 ， 存 款 利 率 为 ， 股 票 和 远 期 的 交易 成 本 为 k =1， T 1。 求 不 存 在 套 利 机 会 的 远 期 价 格 的 上下 限 。解 ： 0.40.38( 2 ) (101 2) 153.66( 2 ) (99 2) 141.84bla r Tb r TF S k e eF S k e e+- = + = + = - = - = 99bS = 101bS =0.4br = 0.38ar = 62 五 、 互 换 （ Swap）互 换 ： 双 方 当 事 人 按 照 商 定 的 条 件 ， 在 约 定 的 时 间 内 交换 一 系 列 现 金 流 的 合 约 。 An agreement to exchange cash flows in the future according to a prearranged formula.注 ： 远 期 只 交 换 一 次 现 金 流 。作 用 ： 为 一 系 列 不 确 定 的 现 金 流 进 行 套 保 。 63 例 ： 假 设 W公 司 计 划 在 未 来 两 年 购 买 10000桶 石 油 ， 石 油 的远 期 价 格 和 即 期 利 率 如 下 ：为 了 锁 定 石 油 价 格 ， W公 司 可 以 购 买 两 份 远 期 合 约 ：在 第 一 年 末 每 桶 支 付 20美 元在 第 二 年 末 每 桶 支 付 22美 元 。这 个 石 油 价 格 的 现 值 为年 度 1 2远 期 价 格 20 22即 期 利 率 5% 6% 220 22 38.62751.05 1.06+ = 64 回 顾 ： 预 付 远 期 当 前 支 付 石 油 的 价 款 ， 而 在 未 来 交 割石 油 。预 付 互 换 （ prepaid swap） 当 前 一 次 性 支 付 石 油 的 价款 ， 而 在 未 来 交 割 一 系 列 的 石 油 。在 前 例 中 ， 预 付 互 换 的 价 格 即 为 38.6275美 元 。为 避 免 信 用 风 险 ， W公 司 希 望 在 交 割 时 再 支 付 石 油 价 款 。通 常 采 取 等 额 支 付 的 方 式 ， 即 每 年 支 付 的 价 款 相 等 。 此 价款 即 为 互 换 的 价 格 。 假 设 为 X， 则 2 38.6275 20.96611.05 1. 06X X X= =+ 65 前 述 结 算 方 式 为 实 物 结 算 。现 金 结 算 ： W公 司 用 现 货 价 格 从 市 场 上 购 买 石 油 ， 并 结 算 互 换 价 格 与 现 货 价 格 的 差 额 。 例 ：如 果 石 油 市 场 的 现 货 价 格 为 20美 元W公 司 向 石 油 公 司 支 付 20.9661 20= 0.9661W公 司 实 际 支 付 的 价 款 为 20 0.9961 = 20.9661如 果 石 油 市 场 的 现 货 价 格 为 25美 元W公 司 向 石 油 公 司 支 付 20.9661 25= 4.0339W公 司 实 际 支 付 的 价 款 为 25 4.0339 20.9661 66 如 果 把 互 换 价 格 20.9661美 元 与 两 个 远 期 价 格 （ 20美 元 和 22美 元 ） 比 较 ：在 第 一 年 ， W公 司 多 支 付 了 0.9661美 元在 第 二 年 ， W公 司 少 支 付 了 1.0339美 元 。故 上 述 互 换 等 价 于 两 个 远 期 合 约 多 头 ， 并 附 加 一 个 利 率 协议 ， 该 协 议 ：第 一 年 末 向 石 油 公 司 多 支 付 0.9661美 元第 二 年 末 获 得 1.0339美 元 的 补 偿 。 67 该 协 议 隐 含 的 一 年 期 远 期 利 率 为1.0339/0.9661-1=7此 利 率 实 际 上 是 两 个 即 期 利 率 所 隐 含 的 远 期 利 率1年 期 的 即 期 利 率 为 5 ， 2年 期 的 即 期 利 率 为 6故 1年 后 的 远 期 利 率 i 应 该 满 足 下 述 关 系 式 ： 2(1 0.05)(1 ) (1 0.06)i+ + = +7%i= 68 结 论 ：互 换 合 约 等 价 于 若 干 个 远 期 合 约 ， 并 附 加 一 个 远 期 利率 协 议 。远 期 合 约 和 远 期 利 率 协 议 的 初 始 价 值 为 零 ， 故 互 换 的初 始 价 值 也 为 零 。 当 市 场 条 件 发 生 变 化 ， 互 换 合 约 的 价 值 将 不 再 等 于 零 。 69 利 率 互 换 ： 双 方 同 意 在 未 来 的 一 定 期 限 内 根 据 同 种 货 币 、相 同 的 名 义 本 金 交 换 现 金 流 。一 方 的 现 金 流 根 据 浮 动 利 率 计 算另 一 方 的 现 金 流 根 据 固 定 利 率 计 算 。Interest Rate Swaps: An agreement of a fixed rate of interest on a certain notional principal for a floating rate of interest on the same notional principal.原 因 ： 双 方 在 固 定 利 率 和 浮 动 利 率 市 场 上 具 有 比 较 优 势(comparative advantage)。 70 例 ： A、 B公 司 都 想 借 入 5年 期 的 100万 元 的 借 款 ， A想 借 入浮 动 利 率 借 款 ， B想 借 入 固 定 利 率 借 款 。 由 于 信 用 等 级 不同 ， 故 市 场 向 它 们 提 供 的 利 率 也 不 同 ， 如 表 所 示 。固 定 利 率 浮 动 利 率A公 司 10% 6个 月 期 LIBOR+1%B公 司 12% 6个 月 期 LIBOR+2%LIBOR： 伦 敦 银 行 同 业 拆 借 利 率 （ London Interbank Offered Rate） A在 固 定 利 率 市 场 上 具 有 比 较 优 势 ， 而 B在 浮 动 利 率 市 场 上 具 有 比 较优 势 。不 互 换 ， A和 B的 利 息 成 本 为 （ LIBOR+1%） +12 。 互 换 ， A和 B的 利 息 成 本 为 10% +（ LIBOR+2%） 。通 过 互 换 ， 双 方 的 总 利 息 成 本 可 以 降 低 1 71 假 设 互 换 所 带 来 的 利 益 双 方 各 分 享 一 半 ， 则 双 方 都 将 使 筹资 成 本 降 低 0. 5%。A的 最 终 利 息 成 本 为（ LIBOR+1%） 0.5% = LIBOR+0.5B的 最 终 利 息 成 本 为12 0.5% = 11.5 借 入 固 定 利 率 ，得 到 浮 动 利 率 借 入 浮 动 利 率 ，得 到 固 定 利 率银 行 银 行 72 互 换 的 定 价 ： 用 债 券 组 合 给 利 率 互 换 定 价对 B公 司 而 言 ， 这 个 利 率 互 换 等 价 于 ：出 售 固 定 利 率 （ 6%） 债 券 ， 购 买 浮 动 利 率 （ LIBOR）债 券 。 互 换 的 价 值 浮 动 利 率 债 券 的 价 值 固 定 利 率 债 券 的 价 值 73 1 e ei i n nn rt r ti kB L固 - - * 1 e ei i n nn rt r ti iB Lk浮 - - 固 定 利 率 债 券 的 价 值 每 次 支 付 的 固 定 利 息 额 在 时 间 ti 支 付 的 浮 动 利 息 额名 义本 金与 到 期 时 间 ti 相对 应 的 即 期 利 率 74 对 于 一 个 互 换 合 约 ， 它 在 生 效 之 时 的 价 值 应 为 零 ， 即因 此 固 定 利 息 额 为令 本 金 L 1， k* 就 是 浮 动 利 率 。 k 就 是 固 定 利 率 ， 也 就是 互 换 利 率 （ swap rate） 。Swap rate: the fixed rate in an interest rate swap that causes the swap to have a value of zero.0B B浮 固- *1 1 ee i ii in rtii n rti kk - - 75 互 换 的 定 价 ： 用 远 期 利 率 协 议 给 利 率 互 换 定 价在 第 i 个 利 息 支 付 日 （ 即 在 时 间 ti） ， B公 司 收 取 浮 动 利息 ， 支 出 固 定 利 息 k， 该 现 金 流 的 现 值 为 ： （ 远 期 利 率 协 议 的 价 值 ）互 换 的 价 值 就 是 上 述 现 金 流 的 现 值 之 和 ：合 约 在 生 效 之 时 的 价 值 为 零 。 令 上 式 为 零 ， 得 互 换 利 率 ：*( )e i irtik k -*ik * 1 ( )e i in rtii k k - -*1 1 ee i ii in rtii n rti kk - - 76 例 ： 一 笔 互 换 合 约 中 ， 某 银 行 支 出 6个 月 期 的 LIBOR， 同 时收 取 8 的 年 固 定 利 率 （ 每 半 年 支 付 一 次 利 息 ） ， 名 义本 金 为 100万 元 。互 换 还 有 1.25年 的 时 间 到 期 ， 其 中 3个 月 、 9个 月 和 15个月 期 的 连 续 复 利 分 别 为 10 、 11 和 12 。上 一 次 利 息 支 付 日 的 6个 月 LIBOR为 9 （ 每 半 年 支 付一 次 利 息 ） 。请 计 算 该 利 率 互 换 对 银 行 而 言 ， 当 前 的 价 值 是 多 少 。 770.25 0.75 1.25 10 11 120LIBOR， i(2) 9支 付 浮 动 利 息 k 1* = 4.5 收 取 固 定 利 息 ： 100 8 0.5 411.5 13.55.9185？ 6.9830？连 续 复 利连续复利 ？ ？请 验 证 ： 在 3个 月 末 ， 浮 动 利 率 债 券 的 价 值 为 100 78 验 证 ： 浮 动 利 率 债 券 在 3个 月 后 的 价 值 ：解 ： 第 一 笔 交 换 对 银 行 的 价 值 ： 0.1 0.254 4.5 e 0.4877- - -0.5 0.115 0.5 0.135 0.5 0.1155.9185 e (100 6.9830)