轴向拉伸和压缩

第 二 章 轴 向 拉 伸和 压 缩 21 轴 向 拉 伸 和 压 缩 的 概 念F FF F轴 向 拉 压 变 形 的 受 力 及 变 形 特 点 :杆 件 受 一 对 方 向 相 反 、 作 用 线 与杆 件 的 轴 线 重 合 的 外 力 作 用 。 杆件 发 生 轴 线 方 向 的 伸 长 或 缩 短 。 22 轴 力 与 轴 力 图横 截 面 上 的 内 力 轴 力 F FmmF F N FFN （ a）（ b）（ c） 按 截 面 法 求 解 步 骤 ：可 在 此 截 面 处 假 想 将 杆 截 断 。保 留 左 部 分 或 右 部 分 为 脱 离 体 。移 去 部 分 对 保 留 部 分 的 作 用 ， 用内 力 来 代 替 ， 其 合 力 为 FN。 列 平 衡 方 程 。 FFFFFx NN ,0,0轴 力 F N符 号 规 定 ： 引 起 杆 件 纵 向 伸 长 变 形 的 轴 力 为 正 ， 称 为 拉 力 ，引 起 杆 件 纵 向 缩 短 变 形 的 轴 力 为 负 ， 称 为 压 力 ， 轴力图 轴 力 图 的 作 法 ： 以 杆 的 端 点 为 坐 标 原 点 ， 取 平 行 杆 轴 线 的坐 标 轴 为 x轴 ， 称 为 基 线 ， 其 值 代 表 截 面 位 置 ，取 FN轴 为 纵 坐 标 轴 ， 其 值 代 表 对 应 截 面 的 轴 力 值 。正 值 绘 在 基 线 上 方 ， 负 值 绘 在 基 线 下 方 。 m nF F2FA B CF FNmm nnF 2F FNAA B（a）（b）（c）F N x（d） m nF F 例题21 一等直杆及其受力情况如图a所示，试作杆的轴力图。 例 题 22 一 等 直 杆 及 其 受 力 情 况 如 图 a所 示 ， 试 作 杆的 轴 力 图 。 600 300 500 400A B C D E40kN 55kN 25kN 20kN（a）A B C D E40kN 55kN 20kNFR 11F R FN1A FN2FRA B40kN 2222 33 44FN3 25kN 20kND33（b）（c）（d）（e）10 50 5 20 FN图（kN）（g）例题61图FN4 20kN4411（f） 23 横截面上的应力mF F N FFN（a）（b）（c） F Fm F Fa b cdba cd（d） 变 形 前 是 平 面 的 横 截 面 ， 变 形 后 仍 保 持 为 平 面且 仍 垂 直 于 杆 的 轴 线 ， 称 为 平 面 假 设 。 根 据 平 面 假 设 ， 杆 件 的 任 一 横 截 面 上 各 点 的 变形 是 相 同 的 。 拉压杆横截面上正应力计算公式 AAAF AA ddN AF N拉 压 杆 横 截 面 上 正 应 力 计 算 公 式 : 考 察 杆 件 在 受 力 后 表 面 上 的 变 形 情 况 ， 并 由表 及 里 地 作 出 杆 件 内 部 变 形 情 况 的 几 何 假 设 . 根 据 力 与 变 形 间 的 物 理 关 系 ， 得 到 应 力 在 截面 上 的 变 化 规 律 . 通 过 静 力 学 关 系 ， 得 到 以 内 力 表 示 的 应 力 计算 公 式 。 拉应力为正，压应力为负。 例 题 23 图 a所 示 横 截 面 为 正 方 形 的 砖 柱 分 上 、 下 两 段 ， 柱 顶 受轴 向 压 力 F作 用 。 上 段 柱 重 为 G1， 下 段 柱 重 为 G2。 已 知 ： F 10kN，G1 = 2.5kN， G2 10kN， 求 上 、 下 段 柱 的 底 截 面 aa和 bb上 的 应力 。 例题23图 FG1G2 3m3mFF 370 240（a）a ab b FFN aG1aa（b）F G1G2F N bbb（c）FF 解 ： (1)先 分 别 求 出 截 面 aa和 bb的 轴 力 。 为 此 应 用 截面 法 ， 假 想 用 平 面 在 截 面 aa和 bb处 截 开 ， 取 上 部 为 脱离 体 (图 b、 c)。 根 据 平 衡 条 件 可 求 得 ： kN5.125.210,0 1 N GFFF ay kN5.42105.21033,0 21 N GGFFF by截 面 aa：截 面 bb： 例 题 24 图 示 为 一 简 单 托 架 ， AB杆 为 钢 板 条 ，横 截 面 面 积 300mm2， AC杆 为 10号 槽 钢 ， 若 F=65kN，试 求 各 杆 的 应 力 。 F 4m3m ABC FFNAB AFNAC例题24图kN3816545kN8486543 NN .F,.F ACAB MPa163Pa1016310300 10848 663N .AF ABABAB MPa64Pa106410712 10381 643N . .AF ACACAC 解 ： 取 节 点 A为 脱 离 体 ， 由 节 点 A的 平 衡 方 程 Fx=0和 Fy =0，不 难 求 出 AB和 AC两 杆 的 轴 力 .AB杆 的 横 截 面 面 积 为 AAB=300 mm2， AC杆 为 10号 槽 钢 ， 由 型 钢 表 (附 表 II，表 3)查 出 横 截 面 面 积 为 AAC =12.7cm2 12.7 10-4m2。 由 式 (62)求 出 AB杆和 AC杆 的 应 力 分 别 为 24 斜 截 面 上 的 应 力研 究 目 的 ： 找 出 哪 一 截 面 上 应 力 达 到 最 大 ， 以 作 为 强 度 计 算 的依 据 。 F Fmm（a）（b）（c）n nnF F nF pn n FF n n截 面 的 轴 线 方 向 的 内 力 斜 截 面 面 积 AA cos斜截面上的应力p为： AFp coscos AFp即图？ p 2sin21sin p 2coscos 斜 截 面 上 的 正 应 力 和 切 应 力 分 别 为 max04 2max 4 正 应 力 的 最 大 值 发 生 在 = 0的 截 面 ， 即 横 截 面 上 ， 其 值 为当 时 对 应 的 斜 截 面 上 ， 切 应 力 取 得 最 大 值 25 拉 压 杆 的 变 形 、 胡 克 定 律n 杆 件 的 绝 对 纵 向 伸 长 或 缩 短n 绝 对 横 向 伸 长 或 缩 短F F（a）ll1 dd1（b）F Fll1 dd1 ddd lll 11线 应 变 单 位 长 度 的 伸 长 ， 即 绝 对 伸 长 量 除 以 杆 件 的初 始 尺 寸 。 dd ll 纵 向 线 应 变横 向 线 应 变拉应变为正，压应变为负。 l和 d 伸 长 为正 ， 缩 短 为 负 拉压杆的变形 胡 克 定 律实 验 表 明 ， 在 弹 性 变 形 范 围 内 ， 杆 件 的 伸 长 l与 力 F 及 杆 长 l成 正 比 ， 与 截 面 面 积 A成 反 比 ， 即 AFll 引 入 比 例 常 数 ， 又 F = FN， 得 到 胡 克 定 理弹 性 模 量 E， 其 单 位 为 Pa， 与 应 力 相 同 。 其 值 与 材 料 性 质 有 关 ，是 通 过 实 验 测 定 的 ， 其 值 表 征 材 料 抵 抗 弹 性 变 形 的 能 力 。 EA拉 伸 （ 压 缩 ） 刚 度 ，EAlFl N EE 或AFEll N1或 或 泊 松 比 -在 弹 性 变 形 范 围 内 ， 横 向 线 应 变 与 纵向 线 应 变 之 间 保 持 一 定 的 比 例 关 系 ， 以 代 表 它 们 的比 值 之 绝 对 值 .而 横 向 线 应 变 与 纵 向 线 应 变 正 负 号 恒 相 反 ， 故 例 题 25 图 示 一 等 直 钢 杆 ， 材 料 的 弹 性 模 量 E210GPa。 试 计 算 ： (1) 每 段 的 伸 长 ； (2) 每 段 的 线 应变 ； (3) 全 杆 总 伸 长 。 mm607.0m000607.04 101010210 2105 629 3N EAlFl ABABAB（a）（b）5kN 10kN 10kN 5kN2m 2m 2m5kN 5kN 5kN轴力图A B C D 10mm解 ： （ 1） 求 出 各 段 轴 力 ， 并 作 轴 力 图 （ 图 b） 。 （ 2） AB段 的 伸 长 lAB 。 mm607.0m1007.64 101010210 2105 4629 3N EAlFl BCBCBCBC 段 的 伸 长 ：AB 段 的 伸 长 ： mm607.0m1007.64 101010210 2105 4629 3N EAlFl CDCDCD 410035320006070 .ll ABABAB 410035320006070 .ll BCBCBC 410035320006070 .ll CDCDCD mm607.0607.0607.0607.0 CDBCABAD llll CD 段 的 伸 长 ：（ 3） AB段 的 线 应 变 AB。BC段 的 线 应 变 ：CD段 的 线 应 变 ：（ 4） 全 杆 总 伸 长 ： 例 题 26 试 求 图 示 钢 木 组 合 三 角 架 B点 的 位 移 。 已 知 ： F 36kN；钢 杆 的 直 径 d 28mm， 弹 性 模 量 E1 200GPa； 木 杆 的 截 面 边 长 a =100mm， 弹 性 模 量 E2=10GPa。 l23m 4m FFFN1FN2 BAC（a）（b）m4mBn st l1例题26图B2 B1 lVlH（c） 解：(1)先求杆1和杆2的轴力。取节点B为脱离体，由平衡条件Fy = 0，有 （3）求节点B的位移。在小变形情况下，可用切线代替圆弧来确定结点B的新位置。kN60363535sin1N1N FF FF kN485460cos1N2N FF由平衡条件Fx = 0，得（2）求两杆的伸长。根据胡克定律有mm442m104421028410200 51060 3629 311 11N1 .AE lFl mm921m10921101001010 41048 3629 322 222 .AE lFl N B点 的 水 平 位 移 为 mm921 2H .lBtl mm63.63492.13544.2 cotsincotsin 211V llnBBsmnBmBnlB点 的 竖 向 位 移 为所 以 B点 的 位 移 为 mm9.663.692.1 222V2H1 llBBB 26 材 料 在 拉 伸 和 压 缩 时 的 力 学 性 能一 、 低 碳 钢 拉 伸 时 的 力 学 性 能 ld（a）lA（b）L标 距 ；d 直 径 ；A 横 截 面 积l = 10d 或 l= 5d