线性变换的矩阵表示式

1第 七 章 2第 七 章阶矩阵设n ),( 2121 22221 11211 nnnnn nnaaa aaa aaaA 为中的变换定义其中)(,21 xTyRaaa nniiii 3第 七 章 ),(,)( RxAxxT n .为线性变换则T那么为单位坐标向量设, 21 eee n ,001 121 22221 112111 aaa aaa aaaeA nnnn nn ,10021 22221 11211 nnnnn nnn aaa aaa aaaeA , 4第 七 章 ),2,1( )( nieTeA iii 即.)( ,)(, 为列向量应以那么矩阵有关系式如果一个线性变换因此eTA AxxTTi 那么使如果一个线性变换反之), ,2,1()(, n ieTT ii )(xT ),( 21 xeeeT n )( 2211 exexexT nn )()()( 2211 eTxeTxeTx nn xeTeTeT n)(,),(),( 21 xn),( 21 .Ax 5第 七 章其 中表 示 都 可 用 关 系 式中 任 何 线 性 变 换, )()( , RxAxxT TR nn )(,),(),( 21 eTeTeTA n , 21 22221 11211 aaa aaa aaa nnnn nn ., 21 为 单 位 坐 标 向 量eee n可知综上所述, 6第 七 章 二 、 线 性 变 换 在 给 定 基 下 的 矩 阵 ,2211 22221122 12211111 nnnnnn nn nnaaaT aaaT aaaT 定 义 7 设 是 线 性 空 间 中 的 线 性 变 换 ， 在 中 取 定 一 个 基 ， 如 果 这 个 基 在 变 换下 的 象 为 nV nVn , 21 T T 7第 七 章其 中 ,21 22221 11211 nnnn nnaaa aaa aaaA AT nn , 2121 上 式 , 2121 nn TTTT 记可 表 示 为那 末 ， 就 称 为 线 性 变 换 在 基 下 的矩 阵 n, 21A T 8第 七 章 .)(,),(, 1唯一确定由基的象矩阵显然 nTTA . , ,T AA TV n个 线 性 变 换 也 可 唯 一 地 确 定 一由 一 个 矩 阵确 定 一 个 矩 阵 可 唯 一 地由 线 性 变 换中 取 定 一 个 基 后在 . ,一 对 应 的 线 性 变 换 与 矩 阵 是 一在 给 定 一 个 基 的 条 件 下 9第 七 章即变换平面的线性表示将向量投影到中在, , 3 xOyTR 例 13 ,)( jyixkzjyixT .,)2( ;,)1(的矩阵求取基为的矩阵求取基为Tkjiji Tkji 解 ,0, )1( kT jjT iiT .000 010 001),(),( kjikjiT 即 10第 七 章 , , , )2( jiT jT iT .000 110 101),(),( T即此例表明：同一个线性变换在不同的基下一般有不同的矩阵 11第 七 章 三 、 线 性 变 换 在 不 同 基 下 的 矩 阵,;, 2121 nn 定 理 设 线 性 空 间 中 取 定 两 个 基nV由 基 到 基 的 过 渡 矩 阵 为 ， 中 的 线 性 变 换 在 这 两 个 基 下 的 矩 阵 依 次 为 和 ， 那 末 n , 21 n , 21 nV .1APPB P TA B 12第 七 章于是 nn TB , 2121 , 21 PT n PT n , 21 证 明 Pnn , 2121 , 2121 AT nn BT nn , 2121 13第 七 章 APn , 21 APPn 121 , 因为 线性无关，n, 21所以.APPB 1证毕. 定 理 表 明 ： 与 相 似 ， 且 两 个 基 之 间 的 过 渡矩 阵 就 是 相 似 变 换 矩 阵 B AP 14第 七 章 ).(, ARTTA 的 秩 就 是则的 矩 阵是若 ., rnSTrT T 的 维 数 为的 核则的 秩 为若 . ,)(的秩性变换称为线的维数的象空间线性变换T VTT n 定 义 8 15第 七 章 四 、 小 结给定了线性空间 的一组基以后， 中的线性变换与 中的矩阵形成一一对应因此，在线性代数中，可以用矩阵来研究变换，也可以用变换来研究矩阵nR nRnnR 同一变换在不同基下的矩阵是相似的 的两个线性变换已知22R 22, RXMXXSXNXT 11 11,02 01 NM ., 22211211下的矩阵在基试求EEEEST 思 考 题 16第 七 章 思 考 题 解 答 )( 11EST 解 )()( 1111 ESET EMNE 1111 00 0102 0111 1100 01 02 12 ,22 211211 EEE 同理可得,220 01 )( 2211121212 EEEMNEEST 17第 七 章 ,11 00 )( 2221 212121 EE EMNEEST ,11 00 )( 2221222222 EEEMNEEST 组基下的矩阵为在这所以ST .1120 1102 0001 0012 18第 七 章