空间解析几何基础知识

1 第七章多元函数微积分 2 前 面 几 章 讨 论 的 函 数 都 只 有 一 个 自变 量 ,称 一 元 函 数 .但 在 实 际 问 题 中 ,往往 牵 涉 到 多 方 面 的 因 素 ,反 映 到 数 学 上 ,就 是 一 个 变 量 依 赖 于 多 个 变 量 的 情 形 ,这 就 提 出 了 多 元 函 数 以 及 多 元 函 数 微积 分 问 题 .本 章 将 在 一 元 微 积 分 的 基 础上 ,讨 论 多 元 函 数 的 微 分 法 和 积 分 法 .主 要 讨 论 二 元 的 情 况 . 3 第一节 空间解析几何基础知识 4 一 、 空 间 直 角 坐 标 系1、 坐 标 系 的 建 立在 空 间 中 取 定 一 点 O， 定 点 ox横 轴 y纵 轴过 O点 作 三 条 相 互 垂 直的 数 轴 Ox, Oy, Oz, 各 轴 上 再 规 定 一 个 共 同 的 长 度 单 位 ， 这 就 构 成了 一 个 空 间 直 角 坐 标 系 。 称 O为 坐 标 原 点 ， z竖 轴称 数 轴 Ox, Oy, Oz为 坐 标 轴 ， 坐 标 轴 确 定 的 平 面 为 坐 标 平 面 ， 简 称 xy, yz, xz 平 面 . 称 由 两 5 一 、 空 间 直 角 坐 标 系1、 坐 标 系 的 建 立 定 点 ox横 轴 y纵 轴z竖 轴空 间 直 角 坐 标 系三 个 坐 标 轴 的 正 方向 符 合 右 手 系 .即 以 右 手 握 住 z 轴 ，当 右 手 的 四 个 手 指度 转 向 y 轴 正 向 时 ， 大 拇 指 的 指 向 就 是 z 轴 的 正 向 .从 x 轴 正 向 以 角2 6 x yozxoy面 yoz面 zox面空 间 直 角 坐 标 系 共 有 八 个 卦 限 7 空 间 的 点 有 序 数 组 ),( zyx 11特 殊 点 的 表 示 : )0,0,0(O)0,0,(xP )0,0( yQ),0,0( zR )0,( yxA ),0( zyB),( zoxC 坐 标 轴 上 的 点 ,P ,Q ,R坐 标 面 上 的 点 ,A ,B ,Cx yzo ),( zyxM 一 个 分 量 为 零 :点 在 坐 标 面 上 . 两 个 分 量 为 零 :点 在 坐 标 轴 上 . 8 2、 简 单 的 几 何 问 题1 两 点 间 的 距 离 POx yz R QR1R2P 2 P1 Q1 Q2M2M1 N,),( 1111 zyxM设 ),( 2222 zyxM为 空 间 两 点 ,两 点 间 的 距 离 公 式 ： 22122122121 )()()(| zzyyxxMM 9 在 z 轴 上 求 与 两 点 A(4, 1, 7) 和 B(3, 5, 2)等 距 离 的 点 .设 该 点 为 M(0, 0, z) ,由 题 设 |MA| = |MB| ,即 222 222 )2()05()03( )7()01()04( zz 解 得 ，914z 即 所 求 点 为 .)914,0,0(M 例 1解 10 M0建 立 球 心 在 点 ),( 0000 zyxM 、半 径 为 R的 球 面 方 程 . M R设 ),( zyxM 是 球 面 上 任 一 点 ， ，RMM | 0根 据 题 意 有 ，即 Rzzyyxx 202020 )()()( .)()()( 2202020 Rzzyyxx 所 求 方 程 为特 殊 地 ： 球 心 在 原 点 时 方 程 为 . 2222 Rzyx 2 球 面 方 程 11 求 球 面 方 程 02642 222 zyxzyx 的 球 心 和 半 径 . 例 2解 2642222 zyxzyx ,0214)3()2()1( 222 zyx即 ,16)3()2()1( 222 zyx因 此 ， 球 心 为 (1,-2,3)， 半 径 为 R = 4. 12 F (x, y, z) = 0 Sx yzo定 义 : 若 曲 面 S与 三 元 方 程 F (x, y, z) = 0 有 如 下 关 系 :(1) S上 任 一 点 的 坐 标 都 满 足方 程 F (x, y, z) =0;(2)坐 标 满 足 方 程 F (x, y, z) =0的 点 都 在 S上 ;那 末 , 方 程 F (x, y, z) =0叫 做 曲 面 S的 方 程 , 而 曲 面 S叫 做 方 程 F (x, y, z) =0的 图 形 .二 、 曲 面 及 其 方 程 13 已 知 )3,2,1(A ， )4,1,2( B ， 求 线 段 AB的 垂 直 平 分 面 的 方 程 . 例 3解 设 ),( zyxM 是 所 求 平 面 上 任 一 点 ，根 据 题 意 有 |,| MBMA 222 )3()2()1( zyx ,)4()1()2( 222 zyx化 简 得 所 求 方 程 .07262 zyx 14 三 、 常 见 的 空 间 曲 面1 平 面 0 DCzByAx平 面 的 一 般 方 程 : 其 中 A,B,C 不 全 为 零 .,0z例 如 ： 面即 xoyx yoz ,1yx yoz (0,1,0) 15 三 、 常 见 的 空 间 曲 面1 平 面 0 DCzByAx平 面 的 一 般 方 程 : 其 中 A,B,C 不 全 为 零 .,0 yx例 如 ： ,2 zyxx yoz o y (2,0,0)x z (0,2,0)(0,0,2) 2 zyx 16 定 义观 察 柱 面 的 形 成 过程 : 平 行 于 定 直 线 并 沿 定 曲 线 C 移 动 的 直 线 L 所 形 成 的 曲 面 称 为 柱 面 .这 条 定 曲 线 C 叫 柱面 的 准 线 ， 动 直 线L叫 柱 面 的 母 线 .2 柱 面 播 放 17x y zo例 如 : 考 虑 方 程 x2 + y2 = R2 所 表 示 的 曲 面 .在 xoy面 上 , x2 + y2 = R2 表 示 以原 点 O为 圆 心 , 半 径 为 R的 圆 .曲 面 可 以 看 作 是 由 平 行于 z 轴 的 直 线 L沿 xoy面 上 的圆 x2 + y2 = R2 移 动 而 形 成 , 称该 曲 面 为 圆 柱 面 . o l 18 画 出 下 列 柱 面 的 图 形 :x oz y x oz y2xy 抛 物 柱 面 xy 平 面 19 方 程 F (x, y) = 0 表 示 :母 线 平 行 于 z 轴 的 柱 面 , 准 线 为 xoy 面 上 的 曲 线 0 0),(: z yxFC x oz y类 似 : 方 程 F (x, z) =0 表 示 :母 线 平 行 于 y 轴 的 柱 面 , 准 线为 xoz面 上 的 曲 线 C: F (x, z) = 0 , y = 0 .方 程 F (y, z) =0 表 示 :母 线 平 行 于 x 轴 的 柱 面 , 准 线 为 yoz面 上 的 曲 线 C: F (y, z) = 0 , x = 0 . 20 例 4 指 出 下 列 方 程 在 平 面 解 析 几 何 中 和 空 间 解 析 几何 中 分 别 表 示 什 么 图 形 ？;2)1( x ;4)2( 22 yx .1)3( xy解 平 行 于 y轴 的 直 线 平 行 于 yoz面 的 平 面 圆 心 在 )0,0( ，半 径 为 2的 圆 以 z轴 为 中 心 轴 的 圆 柱 面 斜 率 为 1的 直 线 平 行 于 z轴 的 平 面 平 面 解 析 几 何 中 空 间 解 析 几 何 中2x 422 yx 1 xy方 程 21 3 二 次 曲 面三 元 二 次 方 程 0 321 321232221 dzcycxc yzbxzbxybzayaxa所 表 示 的 曲 面 称 为 二 次 曲 面 ， 其 中 ii ba , 不 全 为 零 。 二 次 曲 面 方 程 经 过 配 方 和 适 当 选 取 空 间 直 角 坐标 系 后 ， 可 以 化 成 如 下 几 种 标 准 形 式 . 22 zx yO用 坐 标 面 z = 0 , x = 0和 y = 0去 截 割 ,分 别 得 椭 圆 0 12222z byax 1222222 czbyax ,0 12222 x czby .0 12222 y czax (1) 椭 球 面 23 椭 球 面 的 几 种 特 殊 情 况 ： 旋 转 椭 球 面球 面球 面 方 程 可 写 为, )1( ba 1222222 czayax, )2( cba 1222222 azayax . 2222 azyx 24 (2) 单 叶 双 曲 面 x yoz 1222222 czbyax (3) 双 叶 双 曲 面x yo 1222222 czbyax 25ox z y(4) 椭 圆 锥 面 22222 zbyax 特 殊 情 况 ： ,ba 2222 zayx -圆 锥 面 . 26 (3) 椭 圆 锥 面 22222 zbyax 特 殊 情 况 ： ,ba 2222 zayx -圆 锥 面 .若 方 程 为 )0( 22 kyxkz则 图 形 如 右 图 ox z y 27x y zo zx yo(5) 椭 圆 抛 物 面zqypx 222 )( 同 号与 qp0,0 qp 0,0 qp 28x y zo(5) 椭 圆 抛 物 面 0,0 qp 特 殊 情 况 ： ,qppzyx 222 -旋 转 抛 物 面 .zqypx 222 )( 同 号与 qp 29 (6) 双 曲 抛 物 面 (马 鞍 面 )x yzozqypx 222 )( 同 号与 qp 30 x z yo(6) 双 曲 抛 物 面 (马 鞍 面 )zqypx 222 31 椭 圆 柱 面 12222 byax还 有 三 种 以 二 次 曲 线 为 准 线 的 柱 面 ：抛 物 柱 面 )0(22 ppyx双 曲 柱 面 12222 byax 32 四 、 平 面 区 域 的 概 念 及 其 解 析 表 示平 面 上 具 有 某 种 性 质 P的 点 的 集 合 ,称 为 平 面 点 集 ,P),(),( 具 有 性 质yxyxE 例 如 ,平 面 上 以 原 点 为 中 心 、 r为 半 径 的 圆 内所 有 点 的 集 合 可 表 示 为 ),( 222 ryxyxC xyo r记 作 33 设 ),( 000 yxP 是 xoy平 面 上 的 一 个 点 ， 是 某 一 正 数 ， 与 点 ),( 000 yxP 距 离 小 于 的 点 ),( yxP 的 全 体 ， 称 为 点 0P 的 邻 域 ， 记 为 ),( 0 PU ， 1.邻 域 0P),( 0 PU | 0 PPP .)()(|),( 2020 yyxxyx 点 0P 的 去 心 邻 域 ,记 作 ),( 0 PU ,即 )()(0),(),( 20200 yyxxyxPU 34 2.区 域不 包 含 边 界 的 区 域 称 为 开 区 域 .41|),( 22 yxyx例 如 ， xyo.41|),( 22 yxyx例 如 ， xyo 区 域 是 由 一 条 或 几 条 曲 线 (或 直 线 )所 围 成 的 平面 的 一 部 分 .包 含 边 界 的 区 域 称 为 闭 区 域 35 xyo用 不 等 式 (组 )表 示 区 域 :0|),( yxyx xyoa b)(xfy )(xgy ),()(|),( bxaxfyxgyxD 36 用 不 等 式 (组 )表 示 区 域 : ),()(|),( dycyxyyxD xyocd )(yx )(yx 37 练 习 ：P324 习 题 七 38 定 义三 、 柱 面观 察 柱 面 的 形成 过 程 :平 行 于 定 直 线 并 沿 定 曲 线 移 动 的 直 线 所 形 成 的 曲 面 称 为 柱 面 . C LCL这 条 定 曲 线 叫 柱 面 的 准 线， 动 直 线 叫柱 面 的 母 线 . 39 定 义三 、 柱 面观 察 柱 面 的 形成 过 程 :平 行 于 定 直 线 并 沿 定 曲 线 移 动 的 直 线 所 形 成 的 曲 面 称 为 柱 面 . C L这 条 定 曲 线 叫 柱 面 的 准 线， 动 直 线 叫柱 面 的 母 线 .CL 40 定 义三 、 柱 面观 察 柱 面 的 形成 过 程 :平 行 于 定 直 线 并 沿 定 曲 线 移 动 的 直 线 所 形 成 的 曲 面 称 为 柱 面 . C L这 条 定 曲 线 叫 柱 面 的 准 线， 动 直 线 叫柱 面 的 母 线 .CL 41 定 义三 、 柱 面观 察 柱 面 的 形成 过 程 :平 行 于 定 直 线 并 沿 定 曲 线 移 动 的 直 线 所 形 成 的 曲 面 称 为 柱 面 . C L这 条 定 曲 线 叫 柱 面 的 准 线， 动 直 线 叫柱 面 的 母 线 .CL 42 定 义三 、 柱 面观 察 柱 面 的 形成 过 程 :平 行 于 定 直 线 并 沿 定 曲 线 移 动 的 直 线 所 形 成 的 曲 面 称 为 柱 面 . C L这 条 定 曲 线 叫 柱 面 的 准 线， 动 直 线 叫柱 面 的 母 线 .CL 43 定 义三 、 柱 面观 察 柱 面 的 形成 过 程 :平 行 于 定 直 线 并 沿 定 曲 线 移 动 的 直 线 所 形 成 的 曲 面 称 为 柱 面 . C L这 条 定 曲 线 叫 柱 面 的 准 线， 动 直 线 叫柱 面 的 母 线 .CL 44 定 义三 、 柱 面观 察 柱 面 的 形成 过 程 :平 行 于 定 直 线 并 沿 定 曲 线 移 动 的 直 线 所 形 成 的 曲 面 称 为 柱 面 . C L这 条 定 曲 线 叫 柱 面 的 准 线， 动 直 线 叫柱 面 的 母 线 .CL 45 定 义三 、 柱 面观 察 柱 面 的 形成 过 程 :平 行 于 定 直 线 并 沿 定 曲 线 移 动 的 直 线 所 形 成 的 曲 面 称 为 柱 面 . C L这 条 定 曲 线 叫 柱 面 的 准 线， 动 直 线 叫柱 面 的 母 线 .CL 46 定 义三 、 柱 面观 察 柱 面 的 形成 过 程 :平 行 于 定 直 线 并 沿 定 曲 线 移 动 的 直 线 所 形 成 的 曲 面 称 为 柱 面 . C L这 条 定 曲 线 叫 柱 面 的 准 线， 动 直 线 叫柱 面 的 母 线 .CL 47 定 义三 、 柱 面观 察 柱 面 的 形成 过 程 :平 行 于 定 直 线 并 沿 定 曲 线 移 动 的 直 线 所 形 成 的 曲 面 称 为 柱 面 . C L这 条 定 曲 线 叫 柱 面 的 准 线， 动 直 线 叫柱 面 的 母 线 .CL 48 定 义三 、 柱 面观 察 柱 面 的 形成 过 程 :平 行 于 定 直 线 并 沿 定 曲 线 移 动 的 直 线 所 形 成 的 曲 面 称 为 柱 面 . C L这 条 定 曲 线 叫 柱 面 的 准 线， 动 直 线 叫柱 面 的 母 线 .CL 49 定 义三 、 柱 面观 察 柱 面 的 形成 过 程 :平 行 于 定 直 线 并 沿 定 曲 线 移 动 的 直 线 所 形 成 的 曲 面 称 为 柱 面 . C L这 条 定 曲 线 叫 柱 面 的 准 线， 动 直 线 叫柱 面 的 母 线 .CL 50