2022-2023学年广东省东莞市高一（下）期中数学试卷【含答案】

2022-2023学年广东省东莞市高一（下）期中数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知i为虚数单位，则复数3i-2在复平面内对应的点在（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限2一个田径队，有男运动员56人，女运动员42人，比赛后，立即用分层抽样的方法，从全体队员中抽出一个容量为7的样本进行尿样兴奋剂检查，其中男运动员应抽的人数为（）A4B3C2D13如图，用斜二测画法所画的一个平面图形的直观图是一个边长为a的正方形OABC，则原平面图形的周长为（）A10aB8aC6aD4a4在ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点则（）ABCD5如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75，30，此时气球的高度是60m，则河流的宽度BC等于（）AmBmCmDm6卡拉夫金字塔（如图1）由埃及第四王朝法老卡夫拉建造，可通往另一座河谷的神庙和狮身人面像，是世界上最紧密的建筑之一。从外侧看，金字塔的形状可以抽象成一个正四棱锥（如图2），其中，点E为SB的中点，则SA，CE所成角的余弦值为（）ABCD7已知三棱锥SABC的四个顶点都在球O的球面上，且SABC2，SBAC，SCAB，则球O的体积是（）ABCD8已知在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且c5，点O为其外接圆的圆心，已知，则边a（）A5B6C7D8二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9下列四个命题中正确的是（）A若两条直线互相平行，则这两条直线确定一个平面B若两条直线相交，则这两条直线确定一个平面C若四点不共面，则这四点中任意三点都不共线D若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线10为丰富老年人的业余生活，某小区组建了合唱、朗诵、脱口秀、舞蹈、太极拳五个兴趣社团，该小区共有2000名老年人，每位老人依据自己兴趣爱好最多可参加其中一个，各个社团的人数比例的饼状图如图所示，其中参加朗诵社的老人有8名，参加太极拳社团的有12名，则（）A这五个社团的总人数为100B脱口秀社团的人数占五个社团总人数的20%C这五个社团总人数占该小区老年人数的4%D从这五个社团中任选一人，其来自脱口秀社团或舞蹈社团的概率为40%11在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，有如下命题，其中正确的是（）A若sin2Asin2B，则ABC为等腰三角形B若sinAsinB，则ABC若，则ABC是钝角三角形D若a3+b3c3，则ABC为锐角三角形12已知圆锥的底面半径为1，高为，S为顶点，A，B为底面圆周上两个动点，则（）A圆锥的体积为B圆锥的侧面展开图的圆心角大小为C圆锥截面SAB的面积的最大值为D从点A出发绕圆锥侧面一周回到点A的无弹性细绳的最短长度为三、填空题：本大题共4小题，每小题5分13已知复数z满足|z|1，则|z3i|的最大值为 14已知向量在向量方向上的投影向量为，且，则 15如图1，一个正三棱柱容器，底面边长为1，高为2，内装水若干，将容器放倒，把一个侧面作为底面，如图2，这时水面恰好为中截面，则图1中容器内水面的高度是 16已知三棱锥PABC的棱长均为4，先在三棱锥PABC内放入一个内切球O1，然后再放入一个球O2，使得球O2与球O1及三棱锥PABC的三个侧面都相切，则球O2的表面积为 四、解答题：本大题共6个大题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17已知复数z（2m2m1）+（m2+2m3）i，mR（1）当m取什么值时，复数z是纯虚数；（2）当复数z在复平面内对应的点位于第四象限时，求m的取值范围18在斜三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足asinA+4bsinCcos2AbsinB+csinC（1）求角A的大小；（2）若a2，且BC上的中线AD长为，求斜三角形ABC的面积19在直角梯形ABCD中，已知ABCD，DAB90，AB4，ADCD2，对角线AC交BD于点O，点M在AB上，且满足OMBD（1）求的值；（2）若N为线段AC上任意一点，求的最小值20如图，洪泽湖湿地为拓展旅游业务，现准备在湿地内建造一个观景台P，已知射线AB，AC为湿地两边夹角为120的公路（长度均超过2千米），在两条公路AB，AC上分别设立游客接送点M，N，从观景台P到M，N建造两条观光线路PM，PN，测得AM2千米，AN2千米（1）求线段MN的长度；（2）若MPN60，求两条观光线路PM与PN之和的最大值21如图，在棱长为4的正方体ABCDA1B1C1D1中，E是DD1上的动点，F是CD的中点（1）求三棱锥BAB1E的体积；（2）若E是DD1的中点，求证：BF平面AB1E22如图，四边形ABCD为正方形，ED平面ABCD，FBED，ABED2FB2（1）求证：AC平面BDEF；（2）求BC与平面AEF所成角的正弦值 参考答案与试题解析一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1【解答】选：B2【解答】选：A3【解答】【解答】解：由直观图还原得到原图形，如图，OABCa，OB2a，BOA90，ABOC3a，原图形的周长为8a，故选：B4【解答】解：因为ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，所以，故选：A5【解答】解：由题可得ACB30，所以，则AC120，在ABC中，BAC753045，ABC105，由正弦定理可得，即，解得故选：D6【解答】选：C7【解答】解：将三棱锥放入长方体中，设长方体的长宽高分别为a，b，c，如图所示：则，故a2+b2+c28，球O的半径R，故体积为R3故选：D8【解答】解：如图，c5，O为ABC的外接圆圆心，a249，a7故选：C二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分）9【解答】解：公理2的推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面，选项A正确；公理2的推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面，选项B正确；空间四点不共面，则其中任何三点不共线，否则由公理2的推论1：直线与直线外一点确定一个平面，这空间四点共面，所以选项C正确；若两条直线没有公共点，可以互相平行，不一定是异面直线，选项D错误故选：ABC10【解答】解：由于参加朗诵社团的同学有8名，该社团人数占比为10%，社团总人数为80人，故A错误；合唱团人数为8030%24，舞蹈社团人数为8025%20人，脱口秀社团的人数为80241220816，脱口秀社团的人数占有五个社团总人数的20%，故B正确；五个社团总人数占该校学生人数的4%，故C正确；脱口秀社团的人数占五个社团总人数的20%，舞蹈社团的人数占五个社团总人数的25%，这两个社团人数占五个社团总人数的45%，从这五个社团中任选一人，其来自脱口秀社团或舞蹈社团的概率为45%，故D错误故选：BC11【解答】解：由sin2Asin2B可得2A2B或2A+2B，所以AB或A+B，A错误；若sinAsinB，则ab，所以AB，B正确；若，则C为钝角，ABC是钝角三角形，C正确；D项：a3+b3c3，则c最大，1（）3+（）3（）2+（）2，a2+b2c2，C为锐角，又知C为最大角，ABC为锐角三角形，D正确故选：BCD12【解答】解：对于A：因为圆锥的底面半径为1，高为，所以体积，故A正确；对于B：设圆锥的母线为l，则，设圆锥的侧面展开图的圆心角为，由弧长公式得：l2r，即22，解得：，故B错误；对于C：显然当圆锥截面SAB为轴截面时，其面积最大，此时，故C正确；对于D：由B可得该圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，所以从点A出发绕圆锥侧面一周回到点A的无弹性细绳的最短长度为4，故D错误；故选：AC三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13【解答】解：满足|z|1的点在复平面内以原点为圆心，以1为半径的圆上，|z3i|的几何意义为单位圆上的点到定点P（0，3）的距离，如图：则|z3i|的最大值为4故答案为：414【解答】答案为：-1815【解答】解：在图2中，水中部分是四棱柱，四棱柱底面积为S，高为2，四棱柱的体积为V2a，设图1中容器内水面高度为h，则V，解得h图1中容器内水面的高度是故答案为：16【解答】解：如图所示：依题意得，底面ABC的外接圆半径为，点P到平面ABC的距离为，所以，所以，设球O1的半径为R，所以，则，得，设球O2的半径为r，则，又，得，所以球O2的表面积为故答案为：四、解答题（本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17【解答】解：（1）z是纯虚数，2m2m10且m2+2m30，解得；（2）复数z在复平面内对应的点位于第四象限，解得3m故m的取值范围为（3，）18【解答】解：（1）asinA+4bsinCcos2AbsinB+csinC，由正弦定理可得，a2+4bccos2Ab2+c2，cos2AcosA，三角形ABC为斜三角形，A不为直角，即cosA0，cosA，又A（0，），A；（2）A，a2，由余弦定理可得4b2+c2bc，BC上的中线AD长为，可得BDCD1，在ABD中，由余弦定理可得cosADB，在ACD中，由余弦定理可得cosADC，又cosADBcos（ADC）cosADC，整理可得b2+c28，由解得bc2，SABCbcsinA19【解答】解：方法一（1）在梯形ABCD中，因为ABCD，AB2CD，所以AO2OC，；（2）令，则，即，令，则，所以当时，有最小值方法二（1）以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系；则A（0，0），B（4，0），C（2，2），D（0，2）；则，由相似三角形易得设M（，0），则，得则，（2）设N（a，a），显然0a2，所以当时，有最小值20【解答】解：（1）在AMN中，由余弦定理得，MN2AM2+AN22AMANcos120（2分），所以千米 （4分）（2）设PMN，因为MPN60，所以PNM120在PMN中，由正弦定理得，（6分）因为，所以PM4sin（1200），PN4sin（8分）因此PM+PN4sin（1200）+4sin（10分）（13分）因为0120，所以30+30150所以当+300900，即600时，PM+PN取到最大值（15分）答：两条观光线路距离之和的最大值为千米（16分）21【解答】解：（1）在正方体ABCDA1B1C1D1中，DD1平面ABB1A1所以点E在DD1上运动时，到平面ABB1A1的距离为4，；证明：（2）连接A1B交AB1于点M，连接EM，EF，D1C，因为EFD1C，且，MBD1C，且，所以，所以四边形MEFB是平行四边形，所以BFME，又因为BF平面AB1E，ME平面AB1E，所以BF平面AB1E22【解答】证明：（1）连接BD交AC于O，四边形ABCD为正方形，ACBD，又ED平面ABCD，AC平面ABCD，则EDAC又FBED，B，D，E，F四点共面，EDBDD，且ED，BD平面BDEF，AC平面BDEF；解：（2）BCAD，BC与平面AEF所成角就是AD与平面AEF所成角，在AEF中，可以求得，根据余弦定理得，AEF（0，），设点D到平面AEF的距离为d，由DE平面ABCD知DEAB，而ADAB，ADDED，AB平面ADE，FBED，FB平面ADE，ED平面ADE，FB平面ADE，则点F到平面ADE的距离为AB长2，又，由VDAEFVFADE，得，即，解得，故BC与平面AEF所成角的正弦值为