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2022年高一自主招生考试数学试卷一、选择题（本大题共7小题，每小题6分，共42分，每小题只有一个选项正确，把正确的选项填在答题卡答题栏中）1. 方程的实数根的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】利用绝对值的意义，分为或两种情况，结合一元二次方程的解法求解即可【详解】当时，方程可化为，解得：；当时，方程可化为，解得：(不合题意舍去)，方程有3个实数根故选：C2. 依次将正整数1，2，3，的平方数排成一串：149162536496481100121144，排在第1个位置的数字是1，排在第5个位置的数字是6，排在第10个位置的数字是4，排在第898个位置的数字是（ ）A. 1B. 4C. 5D. 9【答案】B【解析】【分析】先分别找到占1个，2个，3个，4个，5个数位的平方数的个数，从而得出第898个位置的数字是的个位数字，求解即可【详解】到，结果都各占1个数位，共占133个数位；到，结果都各占2个数位，共占2612个数位；到，结果都各占3个数位，共占32266个数位；到，结果都各占4个数位，共占468272个数位；到，结果都各占5个数位，共占5109545个数位；此时31266272545898，而，所以，排在第898个位置的数字恰好应该是的个位数字，即为4故选：B3. 设抛物线与轴的两个交点的坐标为和，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】依题意、为方程的两根，即可得到，再代入计算可得.【详解】依题意、为方程的两根，所以，所以，所以.故选：A4. 若直角坐标系内两点M、N满足条件M、N都在函数y的图象上M、N关于原点对称，则称点对是函数y的一个“共生点对”（点对与看作同一个”共生点对”），已知函数，则函数y的“共生点对”有（ ）个A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】【分析】根据“共生点对”的概念知，函数的图象关于原点对称的图象与函数的图象的交点个数即为函数y的“共生点对”个数，结合函数图象分析即可.【详解】根据“共生点对”的概念知，作出函数的图象关于原点对称的图象与函数的图象如下图所示： 由图可知它们的交点有两个，所以函数y的“共生点对”有2对.故选：C.5. 如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足，连接CF交BD于点G连接BE交AG于点H若正方形的边长为4，则线段DH长度的最小值是（ ） A. B. C. 3D. 3.5【答案】A【解析】【分析】根据条件可证明ABE和DCF全等，ADG和CDG全等，从而得到13，然后求出AHB90，取AB的中点O，可得OHAB2，利用勾股定理列式求出OD，然后根据三角形的三边关系可知当O、D、H三点共线时，DH的长度最小.【详解】 在正方形ABCD中，在和中，在和中，取AB的中点，连接OH，OD，则，在Rt中，根据三角形的三边关系，当O、D、H三点共线时，DH的长度最小，最小值为故选：A6. 如图，一个边长分别是6，8，10的直角三角形的一个顶点与正方形的点A重合，另两个顶点在正方形的两边BC，CD上，则正方形的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据勾股定理逆定理可以证明AEF是直角三角形，利用正方形的性质可以证明FECEAB，然后利用相似三角形的性质可以得到CEBA34，设CE3x，则EBx，在EAB中，根据勾股定理可求出，即可求出正方形的面积【详解】AEF的三边为6，8，10，而，AEF为直角三角形，AEF90，FECAEB90，而四边形ABCD为正方形，B90，EABAEB90，FECEAB，又BC90，FECEAB，CEBAEFAE34设CE3x，则BA4x，EBx，三角形EBA为直角三角形，正方形的面积故选：D7. 如图，O是正方形ABCD对角线AC上一点，OEOD，OED45，E在AB上，结论：；若，则，其中正确结论的个数是（ ） A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D【解析】【分析】由题意DOE是等腰直角三角形，根据正方形的性质和三角形内角和定理，可判断；根据AODAEF，EAFOAD45，证明AODAEF，可判断；根据AEOEFO，AOEEOF，证明AEOEFO，可判断；利用勾股定理得出DE的长，再根据等腰直角三角形的性质，可判断【详解】OEOD，DOE90，OED45，DOE是等腰直角三角形，ODOE，ODE45.EAD90，AEDADE90，AED90ADE，AODDAOADO180，AOD4545ADE180，AOD90ADE，所以AODAED，故正确；AODAEF，EAFOAD45，AODAEF，ADODAFEF，故正确；AEOAEDDEOAED45，EFOAODEDOAOD45，又AODAED，AEOEFO，又AOEEOF，AEOEFO，即，故正确；ABAD6，BE4，AE2，DOE是等腰直角三角形，OEOD，故正确.故正确结论个数为4.故选：D.二、填空题（本大题共7小题，每小题7分，共49分）8. _【答案】【解析】【分析】根据立方差公式与根式的性质可求出结果.【详解】.故答案为：9. 若有四个不同的正整数a,b,c,d,满足,则_【答案】8087或8089【解析】【分析】根据a、b、c、d是四个不同的正整数,可知四个括号内的值分别是：1,-1,-2,3或1,-1,2,-3,据此可得出结论【详解】a、b、c、d是四个不同的正整数,四个括号内的值分别是：1,-1,-2,3或1,-1,2,-3四个括号内的值分别是：1,-1,-2,3时,不妨令,；四个括号内的值分别是：1,-1,2,-3时,不妨令,.故答案为：8087或808910 已知实数且满足，则_【答案】【解析】【分析】由题意可得是方程的两个实数根，由利用韦达定理可得答案.【详解】因为实数且满足，所以是方程即的两个实数根，可得，所以， ，所以，故答案为：.11. 如图，点M从点B出发以每秒3个单位长度的速度在BA上向点A运动，点N同时从点A出发向点C运动，其速度是每秒2个单位长度，当一点到达终点时，另一点也停止运动当t为_秒时，MNA为等腰三角形 【答案】或或.【解析】【分析】根据题意，分、和，三种情况分类讨论，结合三角形全等和相似，列出关系式，即可求解.【详解】解：由题可知，如图（1）所示，当时，解得； 如图（2）所示，当时，过点作于点，则，因为，所以，所以，所以，即，解得； 如图（3）所示，当时，过点作于点，则，因为，所以，所以，即，解得. 综上可得，当的值为或秒秒或秒时，能成为等腰三角形.故答案为：或或.12. 如图，点P为函数的图象上一点，且到两坐标轴距离相等，半径为，点是上的动点，点是的中点，则的最小值是_ 【答案】【解析】【分析】设，求得，连接交于点，连接，取的中点，连接，此时最小，结合，即可求解.【详解】因为点为函数的图象上一点，且到两坐标轴距离相等，所以可设，则，解得或（舍去），即点，即圆的方程为，如图所示，连接交于点，连接，取的中点，连接，此时最小，因为，点是的中点，所以，所以，当点运动到时，最小，又因为的半径为，所以的最小值为.故答案为：. 13. 如图，在ABC中，以AB为直径的圆交BC于点D，连接AD，点P是AD上一点，过点C作，延长BP交AC于E，交CF于F，若则_ 【答案】6【解析】【分析】作出辅助线，利用全等和相似关系得到方程，求出答案.【详解】因AB为直径，所以，因为，所以，延长交的延长线于点， 则，因为，所以，故，所以，因为，设，则由可得，由可得，又，故，解得，故.故答案为：614. 设自然数，且，则_【答案】16【解析】【分析】依题意可得，即可得到，从而得解.【详解】因为，即，即，所以，即，所以关于的方程有正整数解，所以，其中，解得，所以，又，因为、为自然数且，所以，解得，经检验符合题意，所以.故答案为：三、解答题（本大题共4小题，共59分，解答应写出必要的文字说明，演算或推演步骤）15. （1）解方程；（2）对于函数，若存在实数x0，使成立，则称x0为的固定点当时，求的固定点；若对于任意实数b，函数恒有两个不相同的固定点，求a的取值范围【答案】（1）；（2）1和3；【解析】【分析】（1）设，则原方程变为，化简整理得，求得的值，进而得原方程的解；（2）把的值代入方程，解方程即可得的不动点；根据方程有两解可得对b为任意实数恒成立，将其看成关于的二次函数，根据即可得结果【详解】（1）设，则原方程变为，得，化简整理得，即， ，当时，当时，原方程的解是.（2）当时，由，得，即，解得：或3，故1和3是的固定点；由题意，对于任意实数b，方程即总有两个不相等的实数解，对b为任意实数恒成立则，.16. 某校开展研学旅行活动，决定租几辆客车，要求每辆车乘坐相同的人数，每辆车至多乘坐32人如果租22座的客车，就有一人没座位，如果租截客量大于22的客车可以比原来少租一辆，而且所有师生刚好平均分乘这些客车上，问原来租几辆客车，师生共有多少人？【答案】原来租24辆客车，师生共有529人【解析】【分析】设原来租辆客车，实际租用的客车每辆车坐人，由题意得，且，从而得到，即可得到或，求出的值，即可得解.【详解】设原来租辆客车，实际租用的客车每辆车坐人，由题意得：，且，所以，因为是正整数，所以必须是正整数，于是或，当，即时，32，不合题意，舍去当，即时，符合题意，此时，所以原来租辆客车，师生共有人17. 如图，在矩形ABCD中，DE平分ADC时，将ABE沿AE折叠至AFE，点F恰好落在DE上 （1）求证：（2）如图，延长CF交AE于点G，交AB于点H求证：；求的值【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析；.【解析】【分析】（1）利用矩形的性质和翻折的性质可得AFDC，从而可证AFDDCE，得出结论；（2）利用等腰三角形两个底角相等，通过计算角度，可证明AHGCFE，由相似三角形的性质得，从而解决问题；利用等腰直角三角形的性质表示出EM，可得BM，CM的长，再利用AHGCFE，由相似三角形的性质得，求出GH即可得解【小问1详解】四边形ABCD矩形，ED平分ADC，将ABE沿AE折叠至AFE，ABEAFE，在AFD与DCE中，AFDDCE，.【小问2详解】AFDDCE，AHGCFE，.过点F作于M，如图， 设，a，在RtBCH中，AHGCFE，.18. 已知如图在RtOAB中，.若以O为坐标原点，OA所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点B在第一象限内将RtOAB沿OB折叠后，点A落在第一象限内的点C处. （1）求点C的坐标；（2）若抛物线经过C、A两点，求此抛物线的解析式；（3）若抛物线对称轴与OB交于点D，点P为线段DB上一点，过P作y轴的平行线，交抛物线于点M.问：是否存在点P，使得？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1） （2） （3）存在，P点的坐为【解析】【分析】（1）先求出OA的长度，根据折叠的性质求出OC，直接求解坐标即可；（2）将点A和C的坐标代入抛物线的解析式中，联立方程组求解即可；（3）先表示点P的坐标，从而表示点M坐标，利用建立方程求解，即可得到点P的坐标.【小问1详解】如图： 过点C作轴，垂足为H，因为在RtOAB中，所以，由折叠知，所以，则，所以C点坐标为；【小问2详解】因为抛物线经过、两点，所以，解得，所以此抛物线的解析式为；【小问3详解】存在.因为x顶点坐标为，即为点C，由题意轴，设垂足为N，因为，所以，所以，如图： 作，垂足为Q，垂足为E，把代入得：，所以，同理：，要使，只需，即，解得：（舍去），所以P点坐标为，所以存在满足条件的点P，使，此时P点的坐标为.
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