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8.6立体几何中的向量方法(一)证明平行与垂直第八章立体几何数 学 苏 （ 理 ） 基 础 知 识 自 主 学 习 题 型 分 类 深 度 剖 析 思 想 方 法 感 悟 提 高 练 出 高 分 1.直 线 的 方 向 向 量 与 平 面 的 法 向 量 的 确 定(1)直 线 的 方 向 向 量 ： 在 直 线 上 任 取 一 向 量 作 为 它 的方 向 向 量 .(2)平 面 的 法 向 量 可 利 用 方 程 组 求 出 ： 设 a， b是 平 面 内 两不 共 线 向 量 ， n为 平 面 的 法 向 量 ， 则 求 法 向 量 的 方 程 组 为非 零 2.用 向 量 证 明 空 间 中 的 平 行 关 系(1)设 直 线 l1和 l2的 方 向 向 量 分 别 为 v1和 v2， 则 l1 l2(或 l1与 l2重合 ) .(2)设 直 线 l的 方 向 向 量 为 v， 与 平 面 共 面 的 两 个 不 共 线 向 量v1和 v2， 则 l 或 l .(3)设 直 线 l的 方 向 向 量 为 v， 平 面 的 法 向 量 为 u， 则 l 或l .(4)设 平 面 和 的 法 向 量 分 别 为 u1， u2， 则 .v1 v2 存 在 两 个 实 数 x， y， 使 v xv1 yv2v u u1 u2 3.用 向 量 证 明 空 间 中 的 垂 直 关 系(1)设 直 线 l1和 l2的 方 向 向 量 分 别 为 v1和 v2，则 l1 l2 .(2)设 直 线 l的 方 向 向 量 为 v， 平 面 的 法 向 量 为 u，则 l .(3)设 平 面 和 的 法 向 量 分 别 为 u1和 u2，则 .v1 v2 v1v2 0v uu1 u2 u1u2 0 u 思考辨析判 断 下 面 结 论 是 否 正 确 (请 在 括 号 中 打 “ ” 或 “ ” )(1)直 线 的 方 向 向 量 是 唯 一 确 定 的 .( )(2)平 面 的 单 位 法 向 量 是 唯 一 确 定 的 .( )(3)若 两 平 面 的 法 向 量 平 行 ， 则 两 平 面 平 行 .( )(4)若 两 直 线 的 方 向 向 量 不 平 行 ， 则 两 直 线 不 平 行 .( )(5)若 a b， 则 a所 在 直 线 与 b所 在 直 线 平 行 .( )(6)若 空 间 向 量 a平 行 于 平 面 ， 则 a所 在 直 线 与 平 面 平 行 .( ) 题 号 答 案 解 析1234 l 或 l 2 3 ( 4) 解析 解 析 思 维 升 华思 维 点 拨题 型 一 证 明 平 行 问 题例1 (2013浙 江 改 编 )如 图 ， 在四 面 体 A BCD中 ， AD 平 面BCD， BC CD， AD 2， BD2 ， M是 AD的 中 点 ， P是 BM的中 点 ， 点 Q在 线 段 AC上 ，且 AQ 3QC.证 明 ： PQ 平 面 BCD. 证 明 线 面 平 行 ， 可 以利 用 判 定 定 理 先 证 线线 平 行 ， 也 可 利 用 平面 的 法 向 量 .题 型 一 证 明 平 行 问 题例1 (2013浙 江 改 编 )如 图 ， 在四 面 体 A BCD中 ， AD 平 面BCD， BC CD， AD 2， BD2 ， M是 AD的 中 点 ， P是 BM的中 点 ， 点 Q在 线 段 AC上 ，且 AQ 3QC.证 明 ： PQ 平 面 BCD. 解 析 思 维 升 华思 维 点 拨 题 型 一 证 明 平 行 问 题例1 (2013浙 江 改 编 )如 图 ， 在四 面 体 A BCD中 ， AD 平 面BCD， BC CD， AD 2， BD2 ， M是 AD的 中 点 ， P是 BM的中 点 ， 点 Q在 线 段 AC上 ，且 AQ 3QC.证 明 ： PQ 平 面 BCD.证明方 法 一 如 图 ， 取 BD的 中 点 O， 以 O为 原 点 ，OD、 OP所 在 射 线 为 y、 z轴 的 正 半 轴 ，建 立 空 间 直 角 坐 标 系 O xyz.设 点 C的 坐 标 为 (x0， y0,0). 解 析 思 维 升 华思 维 点 拨 题 型 一 证 明 平 行 问 题例1 (2013浙 江 改 编 )如 图 ， 在四 面 体 A BCD中 ， AD 平 面BCD， BC CD， AD 2， BD2 ， M是 AD的 中 点 ， P是 BM的中 点 ， 点 Q在 线 段 AC上 ，且 AQ 3QC.证 明 ： PQ 平 面 BCD. 解 析 思 维 升 华思 维 点 拨 题 型 一 证 明 平 行 问 题例1 (2013浙 江 改 编 )如 图 ， 在四 面 体 A BCD中 ， AD 平 面BCD， BC CD， AD 2， BD2 ， M是 AD的 中 点 ， P是 BM的中 点 ， 点 Q在 线 段 AC上 ，且 AQ 3QC.证 明 ： PQ 平 面 BCD.又 PQ 平 面 BCD， 所 以 PQ 平 面 BCD.方 法 二 在 线 段 CD上 取 点 F， 使 得 DF 3FC， 连 结 OF，同 证 法 一 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 ，写 出 点 A、 B、 C的 坐 标 ， 设 点 C坐 标 为 (x 0， y0,0). 解 析 思 维 升 华思 维 点 拨 题 型 一 证 明 平 行 问 题例1 (2013浙 江 改 编 )如 图 ， 在四 面 体 A BCD中 ， AD 平 面BCD， BC CD， AD 2， BD2 ， M是 AD的 中 点 ， P是 BM的中 点 ， 点 Q在 线 段 AC上 ，且 AQ 3QC.证 明 ： PQ 平 面 BCD. 解 析 思 维 升 华思 维 点 拨 题 型 一 证 明 平 行 问 题例1 (2013浙 江 改 编 )如 图 ， 在四 面 体 A BCD中 ， AD 平 面BCD， BC CD， AD 2， BD2 ， M是 AD的 中 点 ， P是 BM的中 点 ， 点 Q在 线 段 AC上 ，且 AQ 3QC.证 明 ： PQ 平 面 BCD.又 PQ 平 面 BCD， OF平 面 BCD， PQ 平 面 BCD. 解 析 思 维 升 华思 维 点 拨 用 向 量 证 明 线 面 平 行 的 方 法 有(1)证 明 该 直 线 的 方 向 向 量 与平 面 的 某 一 法 向 量 垂 直 ；(2)证 明 该 直 线 的 方 向 向 量 与平 面 内 某 直 线 的 方 向 向 量 平 行 ；(3)证 明 该 直 线 的 方 向 向 量 可以 用 平 面 内 的 两 个 不 共 线 的 向量 线 性 表 示 .题 型 一 证 明 平 行 问 题例1 (2013浙 江 改 编 )如 图 ， 在四 面 体 A BCD中 ， AD 平 面BCD， BC CD， AD 2， BD2 ， M是 AD的 中 点 ， P是 BM的中 点 ， 点 Q在 线 段 AC上 ，且 AQ 3QC.证 明 ： PQ 平 面 BCD. 解 析 思 维 升 华思 维 点 拨 跟踪训练1 (2014湖 北 )如 图 ， 在 棱 长 为 2的 正方 体 ABCD A1B1C1D1中 ， E， F， M， N分 别是 棱 AB， AD， A1B1， A1D1的 中 点 ， 点 P， Q分别 在 棱 DD1 ， BB1 上 移 动 ， 且 DP BQ(00)， 7分 设 n1 (x， y， z)为 平 面 ACE的 法 向 量 ， 温 馨 提 醒规 范 解 答 又 n2 (1,0,0)为 平 面 DAE的 一 个 法 向 量 ， 9分 11分 温 馨 提 醒规 范 解 答 14分 因 为 E为 PD的 中 点 ，三 棱 锥 E ACD的 体 积 温 馨 提 醒规 范 解 答 (1)利 用 向 量 法 证 明 立 体 几 何 问 题 ， 可 以 建 坐 标 系 或 利 用 基底 表 示 向 量 ；(2)建 立 空 间 直 角 坐 标 系 时 ， 要 根 据 题 中 条 件 找 出 三 条 互 相垂 直 的 直 线 ；(3)利 用 向 量 除 了 可 以 证 明 线 线 平 行 、 垂 直 ， 线 面 、 面 面 平行 、 垂 直 外 ， 还 可 以 利 用 向 量 求 夹 角 、 距 离 ， 从 而 解 决 线段 长 度 问 题 、 体 积 问 题 等 . 温 馨 提 醒规 范 解 答 方 法 与 技 巧 1.用 向 量 法 解 决 立 体 几 何 问 题 ， 是 空 间 向 量 的 一 个 具 体应 用 ， 体 现 了 向 量 的 工 具 性 ， 这 种 方 法 可 把 复 杂 的 推 理证 明 、 辅 助 线 的 作 法 转 化 为 空 间 向 量 的 运 算 ， 降 低 了 空间 想 象 演 绎 推 理 的 难 度 ， 体 现 了 由 “ 形 ” 转 “ 数 ” 的 转化 思 想 .2.两 种 思 路 ： (1)选 好 基 底 ， 用 向 量 表 示 出 几 何 量 ， 利 用空 间 向 量 有 关 定 理 与 向 量 的 线 性 运 算 进 行 判 断 .(2)建 立空 间 坐 标 系 ， 进 行 向 量 的 坐 标 运 算 ， 根 据 运 算 结 果 的 几何 意 义 解 释 相 关 问 题 . 失 误 与 防 范 用 向 量 知 识 证 明 立 体 几 何 问 题 ， 仍 然 离 不 开 立 体几 何 中 的 定 理 .如 要 证 明 线 面 平 行 ， 只 需 要 证 明 平面 外 的 一 条 直 线 和 平 面 内 的 一 条 直 线 平 行 ， 即 化归 为 证 明 线 线 平 行 ， 用 向 量 方 法 证 明 直 线 a b，只 需 证 明 向 量 a b( R)即 可 .若 用 直 线 的 方 向 向量 与 平 面 的 法 向 量 垂 直 来 证 明 线 面 平 行 ， 仍 需 强调 直 线 在 平 面 外 . 2 3 4 5 6 7 8 9 1011.设 平 面 的 法 向 量 为 a (1,2， 2)， 平 面 的 法 向 量 为 b( 2， h， k)， 若 ， 则 h k的 值 为 _. h 4， k 4， h k 0. 0 2 3 4 5 6 7 8 9 101 AB与 平 面 CDE平 行 或 在 平 面 CDE内 .平 行 或 在 平 面 内 2 3 4 5 6 7 8 9 1013.已 知 A(4,1,3)， B(2， 5,1)， C(3,7， 5)， 则 平 行 四 边 形ABCD的 顶 点 D的 坐 标 是 _.所 以 x 5， y 13， z 3， 即 D(5,13， 3).(5,13， 3) 2 3 4 5 6 7 8 9 1014.已 知 a (2， 1,3)， b ( 1,4， 2)， c (7,5， )，若 a， b， c三 向 量 共 面 ， 则 实 数 _.解析由 题 意 得 c ta b (2t ， t 4， 3t 2)， 2 3 4 5 6 7 8 9 1015.如 图 ， 在 长 方 体 ABCDA1B1C1D1中 ，AB 2， AA1 ， AD 2 ， P为 C1D1的中 点 ， M为 BC的 中 点 .则 AM与 PM所 成 的角 为 _.解析以 D点 为 原 点 ， 分 别 以 DA， DC， DD1所 在 直 线 为 x轴 ， y轴 ， z轴 ， 建 立 如 图 所 示的 空 间 直 角 坐 标 系 D xyz， 2 3 4 5 6 7 8 9 101 答案90 3 4 5 6 7 8 9 101 26.已 知 平 面 内 的 三 点 A(0,0,1)， B(0,1,0)， C(1,0,0)， 平 面 的一 个 法 向 量 n ( 1， 1， 1)， 则 不 重 合 的 两 个 平 面 与 的 位 置 关 系 是 _.解析设 平 面 的 法 向 量 为 m (x， y， z)， m (1,1,1)， m n， m n， .平 行 3 4 5 6 7 8 9 101 27.设 点 C(2a 1， a 1,2)在 点 P(2,0,0)、 A(1， 3,2)、 B(8， 1， 4)确 定 的 平 面 上 ， 则 a _.则 (2a 1， a 1,2) x( 1， 3,2) y(6， 1,4) ( x 6y， 3x y,2x 4y)， 3 4 5 6 7 8 9 101 2答案16 3 4 5 6 7 8 9 101 28.设 u ( 2,2， t)， v (6， 4,4)分 别 是 平 面 ， 的 法 向 量 ，若 ， 则 t _.解析 ， u v， uv 0， 12 8 4t 0， t 5.5 3 4 5 6 7 8 9 101 29.如 图 ， 四 边 形 ABCD为 正 方 形 ， PD 平面 ABCD， PD QA， QA AB PD.证 明 ：平 面 PQC 平 面 DCQ.证明如 图 ， 以 D为 坐 标 原 点 ， 线 段 DA的 长为 单 位 长 ， 射 线 DA、 DP、 DC分 别 为 x轴 、 y轴 、 z轴 的 正 半 轴 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 D xyz. 3 4 5 6 7 8 9 101 2又 DQ DC D， 故 PQ 平 面 DCQ，又 PQ平 面 PQC， 平 面 PQC 平 面 DCQ. 10.如 图 ， 在 底 面 是 矩 形 的 四 棱 锥 P ABCD中 ， PA 底 面 ABCD， E， F分 别 是 PC，PD的 中 点 ， PA AB 1， BC 2.(1)求 证 ： EF 平 面 PAB；3 4 5 6 7 8 9 101 2证明以 A为 原 点 ， AB所 在 直 线 为 x轴 ， AD所 在 直 线 为 y轴 ， AP所 在 直 线 为 z轴 ， 建 立 如图 所 示 的 空 间 直 角 坐 标 系 ， 3 4 5 6 7 8 9 101 2则 A(0,0,0)， B(1,0,0)， C(1,2,0)， D(0,2,0)， P(0,0,1)， 3 4 5 6 7 8 9 101 2又 AB 平 面 PAB， EF 平 面 PAB， EF 平 面 PAB. 3 4 5 6 7 8 9 101 2(2)求 证 ： 平 面 PAD 平 面 PDC.又 AP AD A， DC 平 面 PAD. DC平 面 PDC， 平 面 PAD 平 面 PDC. 1.如 图 ， 正 方 形 ABCD与 矩 形 ACEF所 在 平 面互 相 垂 直 ， AB ， AF 1， M在 EF上 ， 且AM 平 面 BDE， 则 M点 的 坐 标 为 _.解析设 M点 的 坐 标 为 (x， y,1)， AC BD O，2 3 4 51 2 3 4 51 152.如 图 ， 在 正 方 体 ABCDA1B1C1D1中 ， 棱 长 为a， M、 N分 别 为 A1B和 AC上 的 点 ， A1M AN ， 则 MN与 平 面 BB1C1C的 位 置 关 系 是_. 2 3 4 51 2 3 4 51 MN 平 面 B1BCC1.答案平 行 2 3 4 51 3.在 正 方 体 ABCDA1B1C1D1中 ， P为 正 方形 A1B1C1D1四 边 上 的 动 点 ， O为 底 面 正 方形 ABCD的 中 心 ， M， N分 别 为 AB， BC的中 点 ， 点 Q为 平 面 ABCD内 一 点 ， 线 段D1Q与 OP互 相 平 分 ， 则 满 足 的实 数 有 _个 . 2 3 4 51 解析建 立 如 图 的 坐 标 系 ，设 正 方 体 的 边 长 为 2， 则 P(x， y,2)， O(1,1,0)，又 知 D1(0,0,2)， Q(x 1， y 1,0)， 而 Q在 MN上 ， xQ yQ 3， x y 1， 即 点 P坐 标 满 足 x y 1. 有 2个 符 合 题 意 的 点 P， 即 对 应 有 2个 . 答案22 3 4 51 4.如 图 所 示 ， 已 知 直 三 棱 柱 ABCA1B1C1中 ， ABC为 等 腰 直 角 三 角 形 ， BAC 90 ，且 AB AA1， D、 E、 F分 别 为 B1A、 C1C、BC的 中 点 .求 证 ：(1)DE 平 面 ABC；证明如 图 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 A xyz，令 AB AA1 4， 2 3 4 51 则 A(0,0,0)， E(0,4,2)， F(2,2,0)， B(4,0,0)， B1(4,0,4).取 AB中 点 为 N， 连 结 CN，则 N(2,0,0)， C(0,4,0)， D(2,0,2)，又 NC平 面 ABC， DE 平 面 ABC.故 DE 平 面 ABC. 2 3 4 51 (2)B1F 平 面 AEF.又 AF EF F， B1F 平 面 AEF.2 3 4 51 5.在 四 棱 锥 PABCD中 ， PD 底 面 ABCD， 底 面 ABCD为 正方 形 ， PD DC， E、 F分 别 是 AB、 PB的 中 点 .(1)求 证 ： EF CD；证明如 图 ， 分 别 以 DA、 DC、 DP所 在 直 线 为x轴 、 y轴 、 z轴 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 ，设 AD a， 则 D(0,0,0)、A(a,0,0)、 B(a， a,0)、 2 3 4 51 2 3 4 51 (2)在 平 面 PAD内 求 一 点 G， 使 GF 平 面 PCB， 并 证 明 你 的 结 论 .若 使 GF 平 面 PCB， 则2 3 4 51 2 3 4 51
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