线性微分方程解的结构

第 六 节 线 性 微 分 方 程 解 的 结 构 一 、 二 阶 线 性 微 分 方 程 ).()()( xfyxqyxpy ,0)( 时当 xf 二 阶 线 性 齐 次 微 分 方 程 ;二 阶 线 性 非 齐 次 微 分 方 程 ./ ,0)( 时当 xfn 阶 线 性 微 分 方 程 的 一 般 形 式 为 ).()()()( 1)1(1)( xfyxayxayxay nnnn ,0)( 时当 xf n 阶 线 性 齐 次 微 分 方 程 ; n 阶 线 性 非 齐 次 微 分 方 程 ./ ,0)( 时当 xf复 习 : 一 阶 线 性 方 程 )()( xQyxPy 通 解 : xexQe xxPxxP d)( d)(d)( xxPeCy d)( 非 齐 次 方 程 特 解齐 次 方 程 通 解 Y y 二 、 线 性 齐 次 微 分 方 程 的 解 的 结 构定 理 1 .)1(),( ,)1()()( 212211 21 的 解也 是是 任 意 常 数则 的 两 个 解是 方 程与若 函 数 CCyCyCy xyxy )1(0)()( yxQyxPy问 题 : 一 定 是 通 解 吗 ？2211 yCyCy 例 ： 设 y1 为 (1) 的 解 , 则 y2=2 y1 是 (1) 的 解 ,但是 , y=C 1 y1+C2 y2 不 为 (1) 的 通 解 .为 解 决 通 解 的 判 别 问 题 ,下 面 引 入 函 数 的 线 性 相 关与 线 性 无 关 概 念 . 定 义 )(,),(),( 21 xyxyxy n设 是 定 义 在 区 间 I 上 的 n 个 函 数 , , 21 nkkk 使 得Ixxykxykxyk nn ,0)()()( 2211 则 称 这 n个 函 数 在 I 上 线 性 相 关 , 否 则 称 为 线 性 无 关 .例 如 ： ,sin,cos,1 22 xx 在 ( , )上 都 有0sincos1 22 xx故 它 们 在 任 何 区 间 I 上 都 线 性 相 关 ;又 如 ： ,1 2xx 若 在 某 区 间 I 上 ,02321 xkxkk则 根 据 二 次 多 项 式 至 多 只 有 两 个 零 点 , 321 , kkk必 需 全 为 0 , 可 见2,1 xx故 在 任 何 区 间 I 上 都 线 性 无 关 .若 存 在 不 全 为 0 的 常 数 )(),( 21 xyxy 线 性 相 关 存 在 不 全 为 0 的 21,kk 使0)()( 2211 xykxyk .)( )(21 常 数xy xy)(),( 21 xyxy 线 性 无 关 )( )(21 xy xy 常 数思 考 : )(),( 21 xyxy若 中 有 一 个 恒 为 0, 则)(),( 21 xyxy 必 线 性 相 关两 个 函 数 在 区 间 I 上 线 性 相 关 与 线 性 无 关 的 充 要 条 件 : 定 理 2 如 果 )(1 xy 与 )(2 xy 是 方 程 (1)的 两 个 线 性 无 关的 特 解 , 那 么 2211 yCyCy 就 是 方 程 (1)的 通 解 . 例 如 ,0 yy ,sin,cos 21 xyxy 有 解,tan12 常 数且 xyy .sincos 21 为 方 程 的 通 解xCxCy 推 论 nyyy , 21 若 是 n 阶 线 性 齐 次 微 分 方 程 0)()()( 1)1(1)( yxayxayxay nnnn 的 n 个 线 性 无 关 解 , 则 方 程 的 通 解 为 )(11 为 任 意 常 数knn CyCyCy 三 、 线 性 非 齐 次 微 分 方 程 解 的 结 构 )(* xy设 是 二 阶 非 齐 次 方 程的 一 个 特 解 , )(*)( xyxYy Y (x) 是 相 应 齐 次 方 程 的 通 解 ,定 理 3 )()()( xfyxQyxPy 则是 非 齐 次 方 程 的 通 解 .证 将 )(*)( xyxYy 代 入 方 程 左 端 , 得)*( yY )*()( yYxP )*)(*)(*( yxQyxPy )()( YxQYxPY )(0)( xfxf )*()( yYxQ )(*)( xyxYy 故 是 非 齐 次 方 程 的 解 ,又 Y 中 含 有两 个 独 立 任 意 常 数 ,例 如 , 方 程 有 特 解 ,* xy ,sincos 21 xCxCY 对 应 齐 次 方 程 有 通 解因 此 该 方 程 的 通 解 为 xxCxCy sincos 21 因 而 是 通 解 .xyy 0 yy . , 0,1 的 通 解求 的 一 个 特 解为又的 两 个 解 为 二 阶 线 性 齐 次 方 程已 知例 xyy xyyxy yyee xx 例 2 设 是 二 阶 线 性 非 齐 次 方 程 的 三 个线 性 无 关 的 解 ， 试 用 表 示 方 程 的 通 解 .321 , yyy 321 , yyy 1322313 yyCyyCyy xx eCeCxy 21 例 3 已 知 y = x 及 y = sinx 为 某 二 阶 线 性 齐 次 方 程 的 解 , 求 该 方 程 .解 ,0)()( yxQyxPy设 方 程 为 ,为 其 解xy )1(,0)()( xxQxP有,sin 为 其 解xy )2(,0)(sin)(cossin xxQxxPx有 解 得 ：联 立 ,)2(,)1( ,cossin sin)(,cossin sin)( xxx xxxQxxx xxP ,0cossin sincossin sin: yxxx xxyxxx xy故 所 求 方 程 为 .)2( ;)(),()1( :, ,1)()( 2此 方 程 的 通 解的 表 达 式 试 求的 齐 次 方 程 有 一 特 解 为 对 应有 一 特 解 为设 xfxp x xxfyxpy 例 4解 (1) 由 题 设 可 得 ： ),()1)(2 ,02)(2 23 xfxxpx xxp解 此 方 程 组 ， 得 .3)(,1)( 3xxfxxp (2) 原 方 程 为 .31 3xyxy ,1 221的 两 个 线 性 无 关 的 特 解 程是 原 方 程 对 应 的 齐 次 方显 见 xyy 是 原 方 程 的 一 个 特 解 ，又 xy 1* 由 解 的 结 构 定 理 得 方 程 的 通 解 为.1221 xxCCy 定 理 4 设 非 齐 次 方 程 (2)的 右 端 )(xf 是 几 个 函 数 之 和 , 如 )()()()( 21 xfxfyxQyxPy 而 *1y 与 *2y 分 别 是 方 程 , )()()( 1 xfyxQyxPy )()()( 2 xfyxQyxPy 的 特 解 , 那 么 *2*1 yy 就 是 原 方 程 的 特 解 . (非 齐 次 方 程 之 解 的 叠 加 原 理 ) n 阶 线 性 微 分 方 程 ).()()()( 1)1(1)( xfyxPyxPyxPy nnnn 二 阶 非 齐 次 线 性 方 程 的 解 的 结 构 可 以 推 广 : 定 理 设 *y 是 n 阶 非 齐 次 线 性 方 程 )()()( )1(1)( xfyxPyxPy nnn 的 一 个 特 解 , Y是 与 其 对 应 的 齐 次 方 程 的 通 解 , 那 么 *yYy 是 n 阶 非 齐 次 线 性 微 分 方 程 的 通 解 . 四 、 小 结主 要 内 容2、 二 阶 线 性 微 分 方 程 解 的 结 构 定 理1、 函 数 的 线 性 相 关 与 线 性 无 关 ； 思 考 题已 知 31 y ， 22 3 xy ， xexy 23 3 都 是 微 分方 程 )1(6)22()2()2( 22 xyxyxyxx 的 解 ， 求 此 方 程 所 对 应 齐 次 方 程 的 通 解 . 解 321 , yyy 都 是 微 分 方 程 的 解 ,23 xeyy 212 xyy 是 对 应 齐 次 方 程 的 解 ,212 23 xeyy yy x 常 数所 求 通 解 为 .221 xCeC x )()( 122231 yyCyyCy 补 充 内 容 可 观 察 出 一 个 特 解 0)()( yxQyxPy ,0)()()1( xxQxP若 ;xy特 解,0)()(1)2( xQxP若 ;xey特 解,0)()(1)3( xQxP若 .xey 特 解 一 、 验 证 21 xey 及 22 xxey 都 是 方 程0)24(4 2 yxyxy 的 解 ,并 写 出 该 方 程 的 通 解 . 二 、 证 明 下 列 函 数 是 相 应 的 微 分 方 程 的 通 解 :1、 ),(ln 212221 是 任 意 常 数ccxxcxcy 是 方 程 0432 yyxyx 的 通 解 ；2、 ),(2)(1 2121 是 任 意 常 数cceececxy xxx 是 方 程 xexyyyx 2 的 通 解 . 练 习 题 三 、 已 知 xexy )(1 是 齐 次 线 性 方 程 02)12()12( yyxyx 的 一 个 解 ,求 此 方 程 的 通 解 . 四 、 已 知 齐 次 线 性 方 程 02 yyxyx 的 通 解 为xxcxcxY ln)( 21 ,求 非 齐 次 线 性 方 程xyyxyx 2 的 通 解 . 练 习 题 答 案 一 、 2)( 21 xexCCy .三 、 )12(21 xCeCy x . 四 、 221 )(ln21ln xxxxCxCy . 一 、 二 阶 线 性 微 分 方 程 概 念 当 重 力 与 弹 性 力 抵 消 时 , 物 体 处 于 平 衡 状 态 , 例 质 量 为 m的 物 体 自 由 悬 挂 在 一 端 固 定 的 弹 簧 上 ,力 作 用 下 作 往 复 运 动 , xx o解 阻 力 的 大 小 与 运 动 速 度下 拉 物 体 使 它 离 开 平 衡 位 置 后 放 开 , 若 用 手 向物 体 在 弹 性 力 与 阻取 平 衡 时 物 体 的 位 置 为 坐 标 原 点 ,如 图 建 立 坐 标 系 .设 时 刻 t 物 体 位 移 为 x = x(t).1. 弹 性 恢 复 力物 体 所 受 的 力 有 : ,xcf 成 正 比 , 方 向 相 反 .建 立 位 移 满 足 的 微 分 方 程 .2. 阻 力 ,ddtxR 据 牛 顿 第 二 定 律 得 ,dddd 22 txxctxm ,2 mck ,2 mn 令 则 得 有 阻 尼 自 由 振 动 方 程 :.0dd2dd 222 xktxntx