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立 体 几 何第 七 章 第 44讲 立 体 几 何 中 的 向 量 方 法 (一 )证 明 平 行 与 垂 直 考 纲 要 求 考 情 分 析 命 题 趋 势1.理 解 直 线 的 方 向 向 量 与 平 面 法 向 量 的意 义 2 能 用 向 量 语 言 表 达 直 线 与 直 线 、 直线 与 平 面 、 平 面 与 平 面 的 垂 直 和 平 行 关系 3 能 用 向 量 方 法 证 明 有 关 直 线 和 平 面位 置 关 系 的 一 些 定 理 (包 括 三 垂 线 定 理 ). 2016山 东 卷 ， 172016浙 江 卷 ， 172016天 津 卷 ， 17 空 间 直 角 坐 标 系 、 空 间向 量 及 其 运 算 在 高 考 中主 要 作 为 解 题 工 具 ， 解决 直 线 、 平 面 的 平 行 、垂 直 位 置 关 系 的 判 定 等问 题 .分 值 ： 5 6分 板 块 一板 块 二板 块 三栏 目 导 航 非 零 1 思 维 辨 析 (在 括 号 内 打 “ ”或 “ ”)(1)直 线 的 方 向 向 量 是 唯 一 确 定 的 ( )(2)若 两 直 线 的 方 向 向 量 不 平 行 ， 则 两 直 线 不 平 行 ( )(3)若 两 平 面 的 法 向 量 平 行 ， 则 两 平 面 平 行 或 重 合 ( )(4)若 空 间 向 量 a平 行 于 平 面 ， 则 a所 在 直 线 与 平 面 平 行 ( ) C 3已 知 直 线 l的方向向量v (1,2,3)， 平 面 的 法 向 量 为 u (5,2， 3)， 则 l与 的位 置 关 系 是 _.解 析 v(1,2,3)，u(5,2，3)，1 52 23 (3)0， v u， l a或l .4设 u， v分 别 是 平 面 ， 的 法 向 量 ， u ( 2,2,5)， 当 v (3， 2,2)时 ， 与 的 位 置 关 系 为 _； 当 v (4， 4， 10)时 ， 与 的 位 置 关 系 为_.解 析 当v(3，2,2)时，u v，则 ，当v(4，4，10)时，u v，则 . l a或 l 5如 图 所 示 ， 在 正 方 体 ABCD A1B1C1D1中 ， O是 底 面 正 方 形 ABCD的 中 心 ， M是 D1D的 中 点 ， N是 A1B1的 中 点 ， 则 直 线 ON， AM的 位 置 关 系 是 _.异 面 垂 直 (1)恰当建立空间直角坐标系，准确表示各点与相关向量的坐标，是运用向量法证明平行和垂直的关键(2)证明直线与平面平行，只需证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零，或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面，或证直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行，然后说明直线在平面外即可这样就把几何的证明问题转化为向量运算一 利 用 空 间 向 量 证 明 平 行 问 题 【 例 1】 如 图 所 示 ， 平 面 PAD 平 面 ABCD， ABCD为 正 方形 ， PAD是 直 角 三 角 形 ， 且 PA AD 2， E， F， G分 别 是 线段 PA， PD， CD的 中 点 求 证 ： PB 平 面 EFG.证 明 平面PAD平面ABCD，且ABCD为正方形， AB，AP，AD两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，E(0,0,1)，F(0,1,1)，G(1,2,0) 二 利 用 空 间 向 量 证 明 垂 直 问 题证 明 垂 直 问 题 的 方 法(1)利用已知的线面垂直关系构建空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算其中灵活建系是解题的关键(2)证明直线与直线垂直，只需要证明两条直线的方向向量垂直；证明线面垂直，只需证明直线的方向向量与平面内不共线的两个向量垂直即可，当然，也可证直线的方向向量与平面的法向量平行；证明面面垂直：证明两平面的法向量互相垂直；利用面面垂直的判定定理，只要能证明一个平面内的一条直线的方向向量为另一个平面的法向量即可 【 例 2】 如 图 所 示 ， 正 三 棱 柱 (底 面 为 正 三 角 形 的 直 三 棱柱 )ABC A1B1C1的 所 有 棱 长 都 为 2， D为 CC1的 中 点 求 证 ：AB1 平 面 A1BD 【 例 3】 如 图 ， 在 三 棱 锥 P ABC中 ， AB AC， D为 BC的 中 点 ， PO 平 面ABC， 垂 足 O落 在 线 段 AD上 已 知 BC 8， PO 4， AO 3， OD 2.(1)证 明 AP BC；(2)若 点 M是 线 段 AP上 一 点 ， 且 AM 3.试 证 明 平 面 AMC 平 面 BMC 三 利 用 空 间 向 量 解 决 探 索 性 问 题对于“是否存在”型问题的探索方式有两种：一种是先根据条件作出判断，再进一步论证；另一种是利用空间向量，先假设存在点的坐标，再根据条件求该点的坐标，即找到“存在点”，若该点坐标不能求出，或有矛盾，则判定“不存在” 【 例 4】 如 图 ， 棱 柱 ABCD A1B1C1D1的 所 有 棱 长 都 等 于 2， ABC和 A1AC均为 60 ， 平 面 AA1C1C 平 面 ABCD(1)求 证 ： BD AA1；(2)在 直 线 CC1上 是 否 存 在 点 P， 使 BP 平 面 DA1C1.若 存 在 ， 求 出 点 P的 位 置 ， 若不 存 在 ， 请 说 明 理 由 2 如 图 所 示 ， 已 知 直 三 棱 柱 ABC A1B1C1中 ， ABC为 等 腰 直 角 三 角 形 ， BAC 90 ， 且 AB AA1， D， E， F分 别 为 B1A， C1C， BC的 中 点 ， 求 证 ：(1)DE 平 面 ABC；(2)B1F 平 面 AEF. 3 如 图 所 示 ， 在 四 棱 锥 P ABCD中 ， PC 平 面 ABCD， PC 2， 在 四 边 形ABCD中 ， B C 90 ， AB 4， CD 1， 点 M在 PB上 ， PB 4PM， PB与 平 面ABCD成 30 角 (1)求 证 ： CM 平 面 PAD；(2)求 证 ： 平 面 PAB 平 面 PAD 4 在 四 棱 锥 P ABCD中 ， PD 底 面 ABCD， 底 面 ABCD为 正 方 形 ， PD DC，E， F分 别 是 AB， PB的 中 点 (1)求 证 ： EF CD；(2)在 平 面 PAD内 求 一 点 G， 使 GF 平 面 PCB， 并 证 明 你 的 结 论 错因分析：写准点的坐标是关键，要利用中点、向量共线、相等来确定点的坐标利用ab证明直线平行需强调两直线不重合，证明直线与平面平行仍需强调直线在平面外易错点坐标系建立不恰当、点的坐标出错 【 例 1】 如 图 ， 在 棱 长 为 2的 正 方 体 ABCD A1B1C1D1中 ， E， F， M， N分 别 是棱 AB， AD， A1B1， A1D1的 中 点 ， 点 P， Q分 别 在 棱 DD1， BB1上 移 动 ， 且 DP BQ(02)(1)当 1时 ， 证 明 ： 直 线 BC1 平 面 EFPQ；(2)是 否 存 在 ， 使 平 面 EFPQ与 平 面 PQMN所 成 的 二 面 角 为 直 二 面 角 ？ 若 存 在 ，求 出 的 值 ； 若 不 存 在 ， 说 明 理 由
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