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2.3 平 均 值 不 等 式 (选 学 ) 1.了解算术平均,几何平均,调和平均的概念.2.理解定理的意义及作用,了解定理的推证过程.3.能够灵活应用定理证明求解一些简单问题. 1.有 关 概 念 2.定 理定理1(算术几何平均值不等式,简称平均值不等式)(2)推论1:设a 1,a2,an为n个正数,且a1a2an=1,则a1+a2+ann,且等号成立a1=a2=an=1.(3)推论2:设C为常数,且a1,a2,an为n个正数,则当a1+a2+an=nC时,a1a2anCn,且等号成立a1=a2=an. 定理2 定理3 加权平均不等式 【 做 一 做 1】 下列命题是假命题的是() 答 案 :A 【 做 一 做 2】 已知x,y,z (0,+),且2x+3y+5z=6,则xyz的最大值为. 平 均 值 不 等 式 的 应 用 条 件 是 什 么 ?剖 析 :“一正”:不论是三个数的或者n个数的平均值不等式,都要求这三个数或者n个数都是正数,否则不等式是不成立的;“二定”:包含两类求最值问题,一是已知n个正数的和为定值(即a1+a2+an为定值),求其积a1a2an的最大值,二是已知乘积a1a2an为定值,求其和a1+a2+an的最小值;“三相等”:取等号的条件是a1=a2=an,不能只有其中一部分相等. 题型一 题型二 题型三 题型四利 用 平 均 值 不 等 式 证 明 不 等 式 分 析 :观察求证式子的结构,通过变形转化为用平均值不等式证明. 题型一 题型二 题型三 题型四反 思不等式的证明方法较多,关键是从式子的结构入手进行分析, 找到证明不等式的突破口,使其出现平均值不等式的形式. 题型一 题型二 题型四题型三 利 用 平 均 值 不 等 式 求 最 值 分 析 :对于x2(1-5x),视x2与1-5x为两项,其和不可能为定值,应把x2拆为两项x,x,故x,x,(1-5x)这三项同时配系数才能使和为定值. 题型一 题型二 题型四题型三反 思本题采用的方法是拆项,把x2变为x,x,再配系数的方法,请思考采用下面的变形错在什么地方? 题型一 题型二 题型三 题型四平 均 值 不 等 式 的 应 用【 例 3】 某同学在电脑城组装了一台电脑,总费用为3 600元.假定在电脑的使用过程中,维修费平均为:第一年200元,第二年400元,第三年600元,依等差数列逐年递增,问:这台电脑使用多少年报废最合算?分 析 :要求电脑使用多少年报废最合算,实际上是求使用多少年的平均费用最少,这种年平均费用一般由两部分组成:一部分是电脑成本的平均值,另一部分是电脑维修费用的平均值.这样,电脑的最值报废年限,即:年平均消耗费用=年均成本费+年均维修费,电脑最佳报废年限=年均消耗费用最低的年限.因此,需建立年平均费用y与使用年数x的函数关系式. 题型一 题型二 题型三 题型四所以当x=6(年)时,y有最小值,即这台电脑使用6年报废最合算. 题型一 题型二 题型三 题型四 易 错 辨 析易 错 点 :忽 视 应 用 平 均 值 不 等 式 求 最 值 应 具 备 的 “一 正 、 二 定 、 三相 等 ”而 致 错 . 题型一 题型二 题型三 题型四 1 2 3 41若x,y R,且xy0,x2y=2,则xy+x2的最小值是.答 案 :3 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 44求证:在表面积一定的长方体中,以正方体的体积最大.证 明 :设长方体的三条相交于同一顶点的棱长分别为x,y,z,则长方体的体积为V=xyz,表面积A=2xy+2yz+2zx,根据平均值不等式,
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