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2.2 排 序 不 等 式 1.了解排序不等式的数学思想和背景.2.了解排序不等式的结构与基本原理.3.理解排序不等式的简单应用. 1.排 序 不 等 式定义:设a1a2an,b1b2bn为两组实数,c1,c2,cn为b1,b2,bn的任一排列,称a1b1+a2b2+anbn为这两个实数组的顺序积之和(简称顺序和),称a1bn+a2bn-1+anb1为这两个实数组的反序积之和(简称反序和),称a1c1+a2c2+ancn为这两个实数组的乱序积之和(简称乱序和).定理(排序原理,又称为排序不等式)设a1a2an,b1b2bn为两组实数,c1,c2,cn为b1,b2,bn的任一排列,则有a 1bn+a2bn-1+anb1a1c1+a2c2+ancna1b1+a2b2+anbn,等号成立(反序和等于顺序和)a1=a2=an或b1=b2=bn.排序原理可简记作:反序和乱序和顺序和. 名 师 点 拨 (1)排序原理是对不同的两个数组来研究不同的乘积和的问题,能构造的和按数组中的某种“搭配”的顺序被分为三种形式:顺序和、反序和、乱序和,对这三种不同的搭配形式只需注重是怎样的“次序”,两种较为简单的是“顺与反”,而乱序和也就是不按“常理”的顺序了.对于排序原理的记忆,我们只需记住用特殊例子的方法来说大小关系.(2)学习排序不等式要抓住它的本质含义:两实数序列同方向单调(同时增加或同时减少)时所得两两乘积之和最大,反方向单调(一增一减)时所得两两乘积之和最小,注意等号成立的条件是其中一序列为常数序列. 【 做 一 做 1-1】 已知两组数a1a2a3a4a5,b1b2b3b4b5,其中a1=2,a2=7,a3=8,a4=9,a5=12,b1=3,b2=4,b3=6,b4=10,b5=11,将bi(i=1,2,3,4,5)重新排列记为c1,c2,c3,c4,c5,则a1c1+a2c2+a5c5的最大值和最小值分别是()A.132,6 B.304,212C.22,6 D.21,36解 析 :由排序不等式可知,最大值应为a1b1+a2b2+a3b3+a4b4+a5b5=304,最小值为a 1b5+a2b4+a3b3+a4b2+a5b1=212.答 案 :B 【 做 一 做 1-2】 设a1,a2,a3 (0,+),且a1,a2,a3的任一排列为 A.3 B.6 C.9 D.12 答 案 :A 2.切 比 晓 夫 不 等 式设a1,a2,an;b1,b2,bn为任意两组实数,上述两式中等号当且仅当a 1=a2=an或b1=b2=bn时成立. 【 做 一 做 2】 已知a1,a2,a3;b1,b2,b3 R,且a1a2a3,b1b2b3,则3(a1b1+a2b2+a3b3)(a1+a2+a3)(b1+b2+b3)(填“,0,因此可以直接构造两个数组证明.反 思可以直接利用ab0这一条件构造两个数组,用排序不等式 证明. 题型一 题型二 题型四题型三需 对 所 证 不 等 式 中 所 给 的 字 母 顺 序 作 出 假 设 的 情 况 题型一 题型二 题型四题型三反 思利用排序原理解答相关问题,必须构造出相应的数组,并且要排列出大小顺序,因此比较出数组中各数间的大小关系是解题的关键. 题型一 题型二 题型三 题型四对 所 证 不 等 式 中 字 母 的 大 小 顺 序 需 要 加 以 讨 论【 例 3】 若x0,求证:1+x+x2+x2n(2n+1)xn.分 析 :题目中只给出了x0,但对于x1,x1没有明确,因而需要进行分类讨论.证 明 :(1)当x1时,1xx2xn,由排序原理:顺序和反序和,得11+xx+x2x2+xnxn1xn+xxn-1+xn-1x+xn1,即1+x2+x4+x2n(n+1)xn.因为x,x2,xn,1为序列1,x,x2,xn的一个排列,所以再次由排序原理:乱序和反序和,得1x+xx 2+xn-1xn+xn11xn+xxn-1+xn-1x+xn1,得x+x3+x2n-1+xn(n+1)xn.将和相加,得1+x+x2+x2n(2n+1)xn. 题型一 题型二 题型三 题型四(2)当0 xxx2xn,但仍然成立,于是也成立.综合(1)(2),可知1+x+x2+xn(2n+1)xn.反 思在没有给定字母大小的情况下,要使用排序不等式,必须限定字母的大小顺序,而只有具有对称性的式子才可以直接限定字母的大小顺序,否则要根据具体情况分类讨论. 题型一 题型二 题型三 题型四 易 错 辨 析易 错 点 :应 用 排 序 不 等 式 时 ,因 忽 视 等 号 成 立 的 条 件 致 错 .【 例 4】 已知a1,a2,a3,b1,b2,b3 1,2,且a1,a2,a3不全相等,b1,b2,b3不全相等,试求式子a1b1+a2b2+a3b3的取值范围.错 解 :不妨设1a1a2a32,c1,c2,c3为b1,b2,b3的一个排列,且1c1c2c32,则a 1c3+a2c2+a3c1a1b1+a2b2+a3b3a1c1+a2c2+a3c3, 3a1b1+a2b2+a3b312. a1b1+a2b2+a3b3的取值范围为3,12.错 因 分 析 :由于a1,a2,a3不全相等,且b1,b2,b3也不全相等,故排序不等式中的等号不成立. 题型一 题型二 题型三 题型四正 解 :(以上解答同错解中的过程) 3a1b1+a2b2+a3b312.又 a1,a2,a3不全相等,且b1,b2,b3不全相等,等号不成立. a 1b1+a2b2+a3b3的取值范围为(3,12). 1 2 31设a,b (0,+),P=a3+b3,Q=a2b+ab2,则P与Q之间的大小关系是()A.PQ B.PQC.PQ D.PQ答 案 :B 1 2 32设a1,a2,an都是正数,b1,b2,bn是a1,a2,an的任一排列,则 答 案 :B 1 2 33车间里有5台机床同时出了故障,从第1台到第5台的修复时间依次为4 min,8 min,6 min,10 min,5 min,每台机床停产1 min损失5元,如果一次只能修理1台机床,则经合理安排损失最少为()元.A.420 B.400C.450 D.570解 析 :利用排序原理求得5台机床修复时间最少为84 min,所以最少损失为845=420元.答 案 :A
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