资源描述
第 三 章 数 学 归 纳 法 与 贝 努 利 不 等 式 3.1 数 学 归 纳 法 原 理 1.了解数学归纳法的原理.2.了解数学归纳法的应用范围.3.会用数学归纳法证明一些简单问题. 1.归 纳 法由有限多个个别的特殊事例得出一般结论的推理方法,通常称为归纳法.名 师 点 拨根据推理过程中考察的对象是涉及事物的一部分还是全部,归纳法分为不完全归纳法和完全归纳法.(1)不完全归纳法是根据事物的部分(而不是全部)特例得到一般结论的推理方法.不完全归纳法所得到的命题不一定是成立的,但它是一种重要的思考问题的方法,是研究数学问题的一把钥匙,是发现数学规律的一种重要手段.用不完全归纳法发现规律,用数学归纳法证明是解决问题的一种重要途径.(2)完全归纳法是一种在研究了事物的所有(有限种)特殊情况后得出一般结论的推理方法,又叫枚举法.与不完全归纳法不同,用完全归纳法得出的结论是可靠的.通常在事物包括的特殊情况不多时, 采用完全归纳法. 【 做 一 做 1-2】 从1=1,1-4=-(1+2),1-4+9=1+2+3,猜想第n个式子为. 2.数 学 归 纳 法一般地,当要证明一个命题对于不小于某正数n0的所有正整数n都成立时,可以用以下两个步骤:(1)证明当n=n0时命题成立;(2)假设当n=k(k N,且kn0)时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立.完成两个步骤后,就可以断定命题对于不小于n0的所有正整数都成立,这种证明方法称为数学归纳法. 名 师 点 拨 1.这两个步骤缺一不可,只完成步骤(1)而缺少步骤(2),就作出判断可能得出不正确的结论.因为单靠步骤(1),无法递推下去,即n取n0以后的数时命题是否正确,我们无法判定.同样,只有步骤(2)而缺少步骤(1),也可能得出不正确的结论.缺少步骤(1)这个基础,假设就失去了成立的前提,步骤(2)也就没有意义了.2.用数学归纳法证明有关问题的关键在第二步,即n=k+1时为什么成立?n=k+1时成立是利用假设n=k时成立,根据有关的定理、定义、公式、性质等数学结论推证出n=k+1时命题成立,而不是直接代入,否则n=k+1时也成假设了,命题并没有得到证明.3.用数学归纳法可证明有关的正整数问题,但并不是所有的正整数问题都用数学归纳法证明,学习时要具体问题具体分析. 【 做 一 做 2-1】 下列说法中不正确的是()A.数学归纳法中的两个步骤相互依存,缺一不可B.数学归纳法证明的是与正整数有关的命题C.数学归纳法证明的第一步是递推的基础,第二步是递推的依据D.数学归纳法中第一步必须从n=1开始答 案 :D 故当n=k+1时,不等式成立.上述的证明过程中,不正确的一步的序号为.解 析 :在(2)中,由n=k到n=k+1的证明,没有用上归纳假设,故(2)错误.答 案 :(2) 1.为 什 么 数 学 归 纳 法 能 够 证 明 无 限 多 正 整 数 都 成 立 的 问 题 呢 ?剖 析 :这是因为第一步首先验证了n取第一个值n0时命题成立,这样假设就有了存在的基础.假设当n=k时命题成立,根据假设和合理推证,证明出当n=k+1时命题也成立.这实质上是证明了一种循环.如验证了当n0=1时命题成立,又证明了当n=k+1时命题也成立,这就一定有当n=2时命题成立,当n=2时命题成立,则当n=3时命题也成立;当n=3时命题成立,则当n=4时命题也成立.如此反复,以至无穷.对所有nn0的正整数命题就都成立了.数学归纳法非常巧妙地解决了一种无限多的正整数问题,这就是数学方法的神奇. 2.什 么 时 候 可 以 运 用 数 学 归 纳 法 证 明 ,证 明 时 n0是 否 一 定 要 为 1?剖 析 :数学归纳法一般被用于证明某些涉及正整数n的命题,n可取无限多值,但不能简单地说所有涉及正整数n的命题都可以用数学归纳法证明,例如用数学归纳法证明 (n N*)的单调性就难以实现,一般说来,从n=k到n=k+1时,若问题中存在可利用的递推关系,则使用数学归纳法就较简单,否则使用数学归纳法就有困难.在运用数学归纳法时,要注意起点n并非一定取1,也可能取2等值,要看清题目,比如证明凸n边形的内角和f(n)=(n-2)180,这里面的n应不小于3,即n3,第一个值n 0=3. 题型一 题型二 题型三 题型四用 数 学 归 纳 法 证 明 恒 等 式【 例 1】 用数学归纳法证明:分 析 :用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的关键是第二步,要注意当n=k+1时等式两边的式子与n=k时等式两边的式子的联系,增加了哪些项,减少了哪些项,问题就会顺利解决. 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型四题型三用 数 学 归 纳 法 证 明 整 除 性 问 题【 例 2】 求证:an+1+(a+1)2n-1能被a2+a+1整除,n N*.分 析 :对于多项式A,B,如果A=BC,C也是多项式,那么A能被B整除.若A,B都能被C整除,则A+B,A-B也能被C整除.证 明 :(1)当n=1时,a1+1+(a+1)21-1=a2+a+1,命题显然成立.(2)假设当n=k(k N*,且k1)时,ak+1+(a+1)2k-1能被a2+a+1整除,则当n=k+1时,ak+2+(a+1)2k+1=aak+1+(a+1)2(a+1)2k-1=aa k+1+(a+1)2k-1+(a+1)2(a+1)2k-1-a(a+1)2k-1=aak+1+(a+1)2k-1+(a2+a+1)(a+1)2k-1.由归纳假设,得上式中的两项均能被a2+a+1整除,故当n=k+1时命题成立.根据(1)(2)可知,对一切n N*,命题成立. 题型一 题型二 题型四题型三反 思证明整除性问题的关键是“凑项”,采用增项、减项、拆项、因式分解等手段,凑出当n=k时的情形,从而利用归纳假设使问题得证. 题型一 题型二 题型三 题型四用 数 学 归 纳 法 证 明 几 何 问 题【 例 3】 平面内有n个圆,任意两个圆都相交于两点,任意三个圆不相交于同一点,求证:这n个圆将平面分成f(n)=n2-n+2个部分(n N*).分 析 :因为f(n)为n个圆把平面分割成的区域数,那么再有一个圆和这n个圆相交,就有2n个交点,这些交点将增加的这个圆分成2n段弧,且每一段弧又将原来的平面区域一分为二,所以增加一个圆后,平面分成的区域数增加2n,即f(n+1)=f(n)+2n.有了上述关系,数学归纳法的第二步证明可迎刃而解. 题型一 题型二 题型三 题型四证 明 :(1)当n=1时,一个圆将平面分成两个部分,且f(1)=1-1+2=2,所以n=1时命题成立.(2)假设n=k(k N*,且k1)时命题成立,即k个圆把平面分成f(k)=k2-k+2个部分,则当n=k+1时,在k+1个圆中任取一个圆O,剩下的k个圆将平面分成f(k)个部分,而圆O与k个圆有2k个交点,这2k个点将圆O分成2k段弧,每段弧将原平面一分为二,故得f(k+1)=f(k)+2k=k2-k+2+2k=(k+1) 2-(k+1)+2.故当n=k+1时,命题成立.根据(1)(2)可知,对一切n N*,命题成立. 题型一 题型二 题型三 题型四反 思对于用数学归纳法证明几何问题,可以先从有限情形中归纳出一个变化的过程,或者说体会出是怎样变化的,再去证明.也可以用“递推”的办法,比如本题,当n=k+1时的结果已知道:f(k+1)=(k+1)2-(k+1)+2,用f(k+1)-f(k)就可得到增加的部分,然后从有限的情况来理解如何增加的,也就好理解了. 题型一 题型二 题型三 题型四 易 错 辨 析易 错 点 :在 应 用 数 学 归 纳 法 证 明 有 关 问 题 时 ,两 步 缺 一 不 可 ,且 最 易出 错 的 地 方 是 在 第 二 步 证 明 中 未 用 归 纳 假 设 .【 例 4】 已知在数列an中,a1=3,其前n项和Sn满足Sn=6-2an+1,计算a2,a3,a4,然后猜想出an的表达式,并用数学归纳法证明你的结论.错 解 :当n2时,an=Sn-Sn-1=6-2an+1-(6-2an) 题型一 题型二 题型三 题型四错 因 分 析 :本题在证明时出现的主要错误是未用归纳假设. 题型一 题型二 题型三 题型四 1 2 3 4 51下列代数式中,n N*,则可能被13整除的是()A.n3+5n B.34n+1+52n+1C.62n-1+1 D.42n+1+3n+2解 析 :当n=1时,只有D项能被13整除.答 案 :D 1 2 3 4 52若凸n边形有f(n)条对角线,则凸(n+1)边形的对角线的条数f(n+1)为()A.f(n)+n+1 B.f(n)+nC.f(n)+n-1 D.f(n)+n-2解 析 :从凸n边形到凸(n+1)边形,对角线增加了(n-1)条.答 案 :C 1 2 3 4 53下列四个判断中,正确的是()A.式子1+k+k2+kn(n N*),当n=1时为1B.式子1+k+k2+kn-1(n N*),当n=1时为1+k解 析 :对于选项A,n=1时,式子应为1+k;选项B中,n=1时,式子应为1;答 案 :C 1 2 3 4 54已知在数列an中,a1=1,a2=2,an+1=2an+an-1(n N*),用数学归纳法证明a4n能被4整除,假设a4k能被4整除,则下一步证明.答 案 :a4k+4能被4整除 1 2 3 4 55某同学用数学归纳法证明等式1+2+22+2n-1=2n-1的过程如下:(1)当n=1时,左边=1,右边=1,等式成立;(2)假设当n=k(k N*,且k1)时,等式成立,即1+2+22+2k-1=2k-1;即当n=k+1时等式成立.根据(1)(2)可知,对任意正整数n等式成立.以上证明过程的错误是.答 案 :第(2)步未用归纳假设
展开阅读全文