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1.5.3 反 证 法 和 放 缩 法 1.理解反证法在证明不等式中的应用,掌握用反证法证明不等式的方法.2.掌握放缩法证明不等式的原理,并会用其证明不等式. 1.反 证 法假 设 要 证 明 的 命 题 是 不 正 确 的 ,然 后 利 用 公 理 ,已 有 的 定 义 、 定理 ,命 题 的 条 件 逐 步 分 析 ,得 到 和 命 题 的 条 件 (或 已 证 明 过 的 定 理 ,或明 显 成 立 的 事 实 )矛 盾 的 结 论 ,从 而 得 出 原 来 结 论 是 正 确 的 ,这 种 方法 称 作 反 证 法 .名 师 点 拨用反证法证明不等式必须把握以下几点:(1)必须否定结论,即肯定结论的反面,当结论的反面呈现多样性时,必须罗列出各种情况,缺少任何一种可能,反证法都是不完全的.(2)反证法必须从否定结论进行推理,即应把结论的反面作为条件,且必须根据这一条件进行推证.否则,仅否定结论,不从结论的反面出发进行推理,就不是反证法.(3)推导出的矛盾可能多种多样,有的与已知矛盾,有的与假设矛盾,有的与已知事实相违背,推导出的矛盾必须是明显的. 【 做 一 做 1-1】 应 用 反 证 法 推 出 矛 盾 的 推 导 过 程 中 要 把 下 列 哪些 作 为 条 件 使 用 ( ) 结 论 相 反 的 判 断 ,即 假 设 ; 原 命 题 的 条 件 ; 公 理 、 定 理 、 定义 等 ; 原 结 论 .A. B. C. D. 答 案 :C【 做 一 做 1-2】 实 数 a,b,c不 全 为 0的 等 价 条 件 为 ( )A.a,b,c均 不 为 0B.a,b,c中 至 多 有 一 个 为 0C.a,b,c中 至 少 有 一 个 为 0D.a,b,c中 至 少 有 一 个 不 为 0答 案 :D 2.放 缩 法在 证 明 不 等 式 时 ,有 时 需 要 将 所 需 证 明 的 不 等 式 的 值 适 当 放 大(或 缩 小 ),使 它 由 繁 化 简 ,达 到 证 明 目 的 ,这 种 方 法 称 为 放 缩 法 .其 关键 在 于 放 大 (缩 小 )要 适 当 .名 师 点 拨用放缩法证明不等式时,常见的放缩依据或技巧是不等式的传递性.缩小分母、扩大分子,分式的值增大;缩小分子、扩大分母,分式的值减小;每一次缩小其和变小,但需大于所求;每一次扩大其和变大,但需小于所求,即不能放缩不够或放缩过头,同时放缩有时需便于求和. A.M=1 B.M1 D.M与 1的 大 小 关 系 不 确 定解 析 :分母全换成210,共有210个单项.答 案 :B【 做 一 做 2-2】 lg 9lg 11与 1的 大 小 关 系 是 .答 案 :lg 9lg 111 1.反 证 法 中 的 数 学 语 言 是 什 么 ?剖 析 :反证法适宜证明“存在性问题,唯一性问题”,带有“至少有一个”或“至多有一个”等字样的问题,或者说“正难则反”,直接证明有困难时,常采用反证法.下面我们列举一下常见的涉及反证法的文字语言及其相对应的否定假设:对某些数学语言的否定假设要准确,以免造成原则性的错误,有时在使用反证法时,对假设的否定也可以举一定的特例来说明矛盾,尤其在一些选择题中,更是如此. 2.放 缩 法 的 尺 度 把 握 等 问 题 有 哪 些 ?剖 析 :(1)放缩法的理论依据主要有:不等式的传递性;等量加不等量为不等量;同分子(分母)异分母(分子)的两个分式大小的比较;基本不等式与绝对值不等式的基本性质;三角函数的有界性等.(2)放缩法使用的主要方法:放缩法是不等式证明中最重要的变形方法之一,放缩必须有目标,而且要恰到好处,目标往往要从证明的结论考查.常用的放缩方法有增项、减项、利用分式的性质、利用不等式的性质、利用已知不等式、利用函数的性质进行放缩等.比如, 题型一 题型二 题型三 题型四用 反 证 法 证 明 否 定 性 结 论 命 题 分 析 :“不能同时”包含情况较多,而其否定“同时大于”仅有一种情况,因此适宜用反证法证明. 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四反 思 (1)当证明的结论中含有“不是”“不都”“不存在”等词语时,适于应用反证法,因为此类问题的反面比较具体.(2)用反证法证明不等式时,推出的矛盾有三种表现形式:与已知矛盾;与假设矛盾;与显然成立的事实相矛盾. 题型一 题型二 题型四题型三用 反 证 法 证 明 “至 多 ”“至 少 ”类 问 题 分 析 :问题从正面证明不易入手,适合应用反证法证明. 题型一 题型二 题型四题型三假设不成立, 则|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|a2+ab+b2=a+b,故a+b1.因为(a+b)24ab, 题型一 题型二 题型三 题型四反 思用放缩法证明不等式的过程中,往往采用添项或减项的“添舍”放缩,拆项对比的分项放缩,函数的单调性放缩等.放缩时要注意适度,否则不能同向传递. 题型一 题型二 题型三 题型四 易 错 辨 析易 错 点 :在 证 明 不 等 式 时 ,因 不 按 不 等 式 的 性 质 变 形 ,从 而 导 致 证 明过 程 错 误 . 1 2 3 4 51用 反 证 法 证 明 :若 整 系 数 一 元 二 次 方 程 ax2+bx+c=0(a0)有 有 理 根 ,那 么 a,b,c中 至 少 有 一 个 偶 数 .下 列 假 设 中 正 确 的 是 ( )A.假 设 a,b,c都 是 偶 数B.假 设 a,b,c都 不 是 偶 数C.假 设 a,b,c中 至 多 有 一 个 偶 数D.假 设 a,b,c中 至 多 有 两 个 偶 数答 案 :B 1 2 3 4 52设 x,y (0,+),且 xy-(x+1)=1,则 ( ) 答 案 :B 1 2 3 4 5A.都 大 于 2B.都 小 于 2C.至 少 有 一 个 不 大 于 2D.至 少 有 一 个 不 小 于 2 答 案 :D 1 2 3 4 5答 案 : 1 2 3 4 55若 正 数 a,b满 足 ab 1+a+b,则 a+b的 最 小 值 为 .
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