基本初等函数的图象与性质

第 二 讲 基 本 初 等 函 数 的 图 象 与 性 质 1.求函数的定义域主要考虑以下几点：分母不能为0；偶次根号下的式子不小于0；对数的真数大于0，底数大于0且不等于1；a0中a不等于0；注意实际问题中变量的范围等 2.函数的单调性是函数性质中最活跃的性质，它的运用主要体现在不等式方面，如比较大小，解抽象函数不等式等 判断函数的单调性的主要方法(研究函数的单调性应结合函数的单调区间，单调区间应是定义域的子集)： (1)定义法，即作差法(主要步骤为：取值作差变形判符号下结论)；(2)图象法；(3)单调性的运算性质(实质上是不等式的性质)；(4)复合函数的单调性判断法则；(5)导数法 3判断一个函数的奇偶性时，要注意函数的定义域是否关于原点对称若定义域关于原点不对称，那么该函数一定不具有奇偶性若奇函数yf(x)在x0处有定义，则f(0)0，灵活使用这一结论可以简化运算过程若函数f(x)是偶函数，则f(x)f(|x|)，利用这个性质，可以避免一些分类讨论，有利于灵活利用函数的单调性 4解决与分段函数有关的问题，最重要的就是掌握逻辑划分思想，即将问题分段解决，还要熟练掌握研究分段函数性质(奇偶性、单调性等)的一般方法；解决与抽象函数有关的问题时，最重要的是掌握赋值法，并善于根据题目条件寻找该函数的一个原型，帮助探求结论，找到解题的思路和方法 5函数的周期性的定义及常用结论 一般地，对于函数f(x)，如果对于定义域中的任意一个x的值， 若f(xT)f(x)(T0)，则f(x)是周期函数，T是它的一个周期； 若f(xa)f(xb)(ab)，则f(x)是周期函数，|ba|是它的一个周期； 若f(xa)f(x)(a0)，则f(x)是周期函数，2a是它的一个周期； 7对称性与周期性之间的关系 周期性与对称性是相互联系、紧密相关的一般地， 若f(x)的图象有两条对称轴xa和xb(ab)，则f(x)必为周期函数，且2|ba|是它的一个周期； 若f(x)的图象有两个对称中心(a,0)和(b,0)(ab)，则f(x)必为周期函数，且2|ba|是它的一个周期； 类型一函数的图象与性质 【例1】函 数 f(x) axm(1 x)n在 区 间 0,1上 的 图 象 如 图 所 示 ， 则 m， n 的 值 可 能 是 ( ) Am1，n1Bm1，n2 Cm2，n1 Dm3，n1 解析由于本题是选择题，可以用代入法来做，由图得，原函数的极大值点小于0.5. 答案B 解析：若0，则f()24，2.若 0，则f()4，4.答案：B 答案1 变式练习： 考点三：函数的奇偶性 考点四:函数的周期性 类型五抽象函数的相关性质及其应用 【例5】定 义 在 R 上 的 函 数 f(x)满 足 f(x y) f(x) f(y) 2xy(x， y R)， f(1) 2， 则 f( 3) _. 分析：先 用 特 殊 值 法 求 一 些 关 键 的 函 数 值 ， 再 利 用 函 数 值 的 递 推 关 系 ， 逐 步 靠 到 f( 3)上 去 解析：令xy0 f(0)0，令xy1 f(2)2f(1)26，令x2，y1 f(3)f(2)f(1)412，再令x3，y3 f(0)f(33)f(3)f(3)180 f(3)18f(3)6.答案：6 解析：211f(3)f(3)f(9)，由f(x)f(x8)2，可得fx(x8)f(9)，因为f(x)是定义在(0，)上的增函数，所以有x0且x80且x(x8)9，解得8x9.故选B.答案：B 怎样利用周期法解题 有些数学问题，表面上看与周期毫无关系，但实际上隐含着周期性，一旦提示了周期，问题便迎刃而解下面举例说明如下 【例1】设f(x)是(，)上的奇函数，f(x2)f(x)，当0 x1时，f(x)x，则f(7.5)等于() A0.5 B 0.5 C1.5 D1.5 解析 f(x2)f(x)，所以f(x4)f(x2)f(x) f(x)是以4为一个周期的函数由于f(x)是奇函数，且0 x 1时，f(x)x，可得f(7.5)f(240.5)f(0.5)f(0.5)0.5，故选B. 答案B D 答案：D 2(2011安徽)设f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)2x2x，则f(1)() A3 B1 C1 D3解析：由已知：f(1)f(1)， f(1)f(1)而f(1)2(1)2(1)3， f(1)3.答案：A 答案：A 答案：B B B