《车辆跟车模型》PPT课件

第 四 章 车 辆 跟 驰 模 型 制 作 时 间 : 2007年 1月 20日 目 录 4.1 跟 驰 模 型 的 建 立 4.2 稳 定 性 分 析 4.3 稳 态 流 分 析 4.4 实 验 和 观 察 4.4.1 跟 驰 实 验 4.4.2 宏 观 观 测 :单 车 道 交 通 4.5 车 辆 自 动 跟 驰 4.6 结 论 n 本 章 着 重 讨 论 单 车 道 中 一 辆 车 紧 跟 另 一 辆 车 行 驶 的现 象 （ 车 辆 跟 驰 现 象 ） 。 研 究 这 个 问 题 有 很 重 要 的 意 义 ，因 为 车 辆 跟 驰 相 对 简 单 ， 所 以 该 方 面 的 研 究 较 多 ， 而 且 已成 功 建 立 了 数 学 模 型 。 车 辆 跟 驰 现 象 有 助 于 交 通 流 的 特性 的 了 解 。 车 辆 跟 驰 现 象 通 常 发 生 在 双 车 道 或 多 车 道 上 ，无 法 超 车 或 车 辆 被 限 制 在 单 车 道 上 行 驶 的 情 况 。n 跟 驰 理 论 所 研 究 的 参 数 之 一 就 是 车 辆 在 给 定 的 速 度 V下 跟 驰 行 驶 时 的 平 均 车 头 间 距 S， 平 均 车 头 间 距 则 可 以 用来 估 计 单 车 道 的 通 行 能 力 。 在 对 速 度 间 距 关 系 的 研 究 中 ， 单 车 道 通 行 能 力 的 估 计基 于 如 下 方 程 ： C=1000V/S （ 4.1）式 中 ， C单 车 道 的 通 行 能 力 （ 辆 /小 时 ） V速 度 （ 千 米 /小 时 ） S平 均 车 头 间 距 （ 米 ） 研 究 表 明 ， 速 度 间 距 的 关 系 可 由 下 式 表 示 ： S=+V+ V2 （ 4.2）式 中 ， 系 数 ， ， 可 取 不 同 的 值 ， 其 物 理 意 义 如 下 ： 有 效 的 车 辆 长 度 反 应 时 间 跟 驰 车 辆 最 大 减 速 度 的 二 倍 的 倒 数 附 加 项 V2保 证 了 足 够 的 间 距 ， 使 得 头 车 在 紧 急 停 车 的情 况 下 跟 驰 车 辆 不 与 之 发 生 碰 撞 ， 的 经 验 值 可 近 似 取0.023s/ft。 在 非 线 性 条 件 下 的 近 似 计 算 公 式 为 ： （ 4.3）式 中 ， ， 分 别 为 跟 车 和 头 车 的 最 大 减 速 度 。 以 上 提 到 的 速 度 间 距 模 型 适 用 于 交 通 流 中 车 辆 速 度相 同 或 近 似 相 同 ， 各 个 车 辆 保 持 相 同 的 间 距 （ 就 是 所 说 的稳 态 交 通 流 ） 。 )(5.0 11 lf aafa la 跟 驰 模 型 除 了 用 于 计 算 平 均 车 头 间 距 外 ， 还 可 用 于 从微 观 角 度 对 车 辆 跟 驰 现 象 进 行 分 析 ， 近 似 得 出 单 车 道 交 通流 的 宏 观 特 性 。 总 之 ， 跟 驰 理 论 是 连 接 车 辆 个 体 行 为 与 车队 宏 观 特 性 及 相 应 流 量 、 稳 定 性 的 桥 梁 。 第 一 节 跟 驰 模 型 的 建 立n 单 车 道 车 辆 跟 驰 理 论 认 为 ， 车 头 间 距 在 100125m以内 时 车 辆 间 存 在 相 互 影 响 。 该 理 论 认 为 ， 在 人 车 路 的系 统 中 ， 驾 驶 员 是 一 个 主 动 的 ， 可 预 测 的 控 制 因 素 。n 在 直 线 行 驶 、 无 超 车 的 情 况 下 ， 车 辆 跟 驰 行 为 可 归 为以 下 三 个 过 程 ：n 感 知 阶 段 ： 在 这 个 阶 段 ， 驾 驶 员 通 过 视 觉 收 集 相 关 信息 。 信 息 包 括 前 车 车 辆 的 行 为 和 跟 车 车 辆 的 行 为 ， 主 要 有前 车 的 速 度 ， 加 速 度 ， 车 间 距 离 ， 相 对 速 度 和 一 些 变 量（ 如 ： 碰 撞 时 间 ） 等 ； n 决 策 阶 段 ： 驾 驶 员 对 所 获 得 的 信 息 进 行 分 析 ， 决 定 驾驶 策 略 ， 与 驾 驶 员 对 车 辆 特 性 的 了 解 和 驾 驶 技 能 、 经 验 等有 关 。 n 控 制 阶 段 ： 驾 驶 员 根 据 自 己 的 决 策 和 头 车 及 道 路 的 状况 等 反 馈 信 息 ， 对 车 辆 进 行 操 纵 控 制 。n 跟 车 模 型 认 为 在 人 车 单 元 中 存 在 刺 激 反 应 关 系 。其 关 系 式 为 ： 反 应 =刺 激 （ 4.4） 其 中 ， 是 驾 驶 员 对 刺 激 的 反 应 系 数 。 驾 驶 员 接 受 的 刺 激 是 指 其 前 导 车 的 加 速 或 减 速 行 为 以及 随 之 产 生 的 两 车 之 间 的 速 度 差 或 车 间 距 离 的 变 化 ； 驾 驶员 的 反 应 是 指 根 据 前 车 所 作 的 加 速 或 减 速 运 动 而 对 后 车 进行 的 相 应 操 纵 及 其 效 果 。 一 般 认 为 ， 在 跟 车 模 型 中 ， 驾 驶 员 有 两 个 任 务 ： a） 紧随 前 面 的 车 辆 行 驶 ； b） 避 免 碰 撞 。 这 就 需 要 驾 驶 员 在 很 短 的 时 间 t内 保 持 较 小 的 平 均相 对 速 度 U， 即 ： (4.5) 保 持 较 小 的 值 。 从 而 使 得 “ 碰 撞 ” 时 间 ： （ 4.6） 很 大 ， 车 辆 间 距 在 时 间 t内 不 会 增 加 。 relc UtSt )( dttUtUUU tt tt relrelfl )(1 2/2/ n 由 于 相 对 速 度 在 避 免 碰 撞 方 面 所 起 的 重 要 作 用 ， 因 而在 刺 激 反 应 关 系 中 ， 相 对 速 度 成 为 首 要 的 考 虑 因 素 。 刺激 函 数 也 可 以 表 示 成 如 方 程 (4.15)的 形 式 。 即 在 给 定 的 时间 t内 ， 刺 激 依 赖 于 对 相 对 速 度 的 初 始 值 的 加 权 总 数 ： （ 4.7）n 其 中 ， (t)是 反 应 驾 驶 员 对 早 期 信 息 评 估 和 处 理 的 权重 函 数 。 驾 驶 员 权 衡 过 去 和 现 在 的 信 息 ， 从 而 在 未 来 的 一定 时 间 内 作 出 反 应 。 dttUttUUU tt tt relrelfl )()( /2/2/ / 图 4.1 相 对 速 度 刺 激 和 时 间 权 重 函 数 图 n 根 据 以 上 分 析 ， 刺 激 函 数 变 为 ： （ 4.11）n 反 应 时 间 或 延 误 的 主 要 影 响 因 素 为 驾 驶 员 对 刺 激 的 反应 。 驾 驶 员 得 到 刺 激 信 息 ， 然 后 在 未 来 的 一 段 时 间 内 作 出反 应 。 通 过 延 迟 刺 激 ， 驾 驶 员 得 到 较 新 的 信 息 。 n 驾 驶 员 通 过 加 速 器 和 制 动 踏 板 对 车 辆 进 行 直 接 控 制 ，而 且 可 以 根 据 惯 性 原 理 得 到 变 量 的 直 接 反 馈 信 息 ， 因 而 可以 将 反 应 函 数 看 作 跟 车 的 加 速 度 ： （ 4.13）( ) ( ) ( ) f fR t a t x t ( ) ( ) ( )l fS t U t T U t T 将 式 (4.11)和 式 (4.13)代 入 式 (4.4)， 该 刺 激 反 应 公 式转 化 为 ： （ 4.14） 或 写 成 ： （ 4.15） 方 程 （ 4.15） 是 对 跟 车 理 论 中 刺 激 反 应 问 题 复 杂 现 象的 简 单 描 述 。 跟 车 理 论 的 一 般 形 式 可 用 传 统 控 制 理 论 框 图 表 示 ， 见图 4.1a。 方 程 （ 4.15） 所 示 的 线 性 跟 驰 模 型 表 示 为 图 4.1b。完 善 的 跟 车 模 型 应 包 括 一 系 列 以 便 于 建 模 描 述 车 辆 及 道 路的 动 态 特 性 、 驾 驶 员 的 生 理 心 理 特 性 和 车 辆 间 的 配 合 。( ) ( ) ( )f l fx t T x t x t ( ) ( )f l fx x t T x t T 图 4.1a) 车 辆 跟 驰 框 架 图 图 4.1b) 线 形 跟 驰 模 型 框 架 图 第 二 节 稳 定 性 分 析n 本 节 讨 论 方 程 （ 4.15） 所 示 的 线 性 跟 车 模 型 的 两 类 波动 稳 定 性 ： 局 部 稳 定 性 和 渐 进 稳 定 性 。 局 部 稳 定 性 ： 关 注 跟 驰 车 辆 对 它 前 面 车 辆 运 行 波 动 的反 应 ， 即 关 注 车 辆 间 配 合 的 局 部 行 为 。n 渐 进 稳 定 性 ： 关 注 车 队 中 每 一 辆 车 的 波 动 特 性 在 车 队中 的 表 现 ， 即 车 队 的 整 体 波 动 性 。 如 头 车 的 波 动 在 车 队 中的 传 播 。 一 、 局 部 稳 定 性 n 通 过 第 一 节 的 分 析 ， 得 到 线 性 车 辆 跟 驰 模 型 方 程(4.15)。 在 线 性 跟 车 模 型 中 ， 和 分 别 表 示 t时 刻前 车 和 跟 车 的 位 移 。 反 应 时 间 为 T， 通 过 t=T变 换 ， 方 程(4.15)简 化 为 ： （ 4.16） n 这 里 C= T， 跟 随 车 辆 的 局 部 行 为 的 状 态 可 以 通 过 求解 拉 普 拉 斯 变 换 方 程 （ 4.16） 得 到 。 比 如 ， 初 始 时 头 车 和跟 车 以 恒 定 的 速 度 u运 行 ， 卡 欧 (Chow)给 出 了 跟 车 的 速 度 。由 于 卡 欧 （ Chow） 方 程 形 式 复 杂 ， 所 以 很 难 用 它 来 描 述物 理 特 性 。 )(tXl )(tX f( 1) ( ( ) ( ) f l fx C x t x 但 是 ， 如 果 给 定 跟 车 的 初 始 状 态 ， 那 么 跟 车 的 总 体 行 为 就 可 以 被 描 述出 来 。 一 般 认 为 初 始 状 态 是 头 车 和 跟 车 都 以 恒 定 的 速 度 u行 驶 ， 对 头 车 和跟 车 应 用 移 动 坐 标 系 Z（ t） ， 跟 车 的 加 速 度 简 化 为 ： （ 4.16a） 其 中 ， L-1表 示 拉 普 拉 斯 的 逆 变 形 。 由 于 是 一 个 不 变 的 函 数 ，所 以 拉 普 拉 斯 逆 变 换 主 要 由 来 决 定 。 特 殊 情 况 下 ， 有 ： （ 4.17） 类 似 地 ， 可 以 得 到 车 辆 速 度 和 车 辆 间 距 的 变 化 情 况 。 车 头 间 距 的 变 化可 由 方 程 （ 4.17） 得 出 。 0 sseC 1 00 | ( )|( ) ( 1) ( ( ) )( 1)! !nv n t nn n nx t u v u t u dtn 1 1 ( )sL C C se s )(2 sZCs l1)( sseC 因 此 ， 可 将 拉 普 拉 斯 逆 变 换 表 示 成 e e 。 对 于 不 同 的 C值 ， 跟 驰 行驶 两 车 的 运 动 情 况 可 分 为 四 类 ： a） 如 果 Ce-1(0.368)， a00， b0=0， 间 距 不 发 生 波 动 ， 振 幅 呈 指数 衰 减 ； b） 如 果 e-1 C /2， a0 0， b0 0， 间 距 发 生 波 动 ， 振 幅 呈 指数 衰 减 ； c） 如 果 C=/2， a0 =0， b0 0 ， 间 距 发 生 波 动 ， 振 幅 不 变 ； d） 如 果 C /2， a0 0， b0 0， 间 距 发 生 波 动 ， 振 幅 增 大 。 根 据 以 上 结 果 ， C值 不 同 ， 跟 驰 车 辆 运 动 情 况 也 就 不 同 。 要 使 跟 随车 辆 间 距 不 发 生 波 动 ， 必 需 满 足 C1/e 。 C继 续 增 大 时 ， 间 距 发 生 波 动且 振 幅 急 剧 衰 减 。 C /2时 ， 振 幅 就 会 发 生 一 定 程 度 的 衰 减 。ta0 tib0 关 于 波 动 行 为 的 这 些 结 果 可 以 应 用 于 跟 车 的 速 度 、 加 速度 和 车 头 间 距 。 因 此 ， 当 C1/e,即 车 头 间 距 不 发 生 波 动 的 情况 下 ， 车 速 由 U变 到 V车 头 间 距 变 化 量 为 : （ 4.18） 如 果 头 车 停 车 ， 其 最 终 速 度 V=0， 车 头 间 距 的 总 变 化 量为 -U/。 跟 车 为 了 避 免 与 头 车 发 生 碰 撞 ， 车 头 间 距 最 小 值 必须 为 U/。 另 外 ， 在 稳 态 交 通 流 的 限 制 下 ， 为 了 车 头 间 距 尽可 能 小 ， 应 取 尽 可 能 大 的 值 ， 其 理 想 值 为 (eT) -1可 能 小 。)(1 UVS 注 ： 2车 跟 随 1车 行 使 ， 反 应 时 间 T=1.5s， C=e-1， 两 车 的 初 始速 度 均 为 u 图 4.2为 利 用 计 算 机 模 拟的 方 法 给 出 的 相 关 运 动 参 数 曲线 。 C=e-1， 由 前 面 所 讲 可 知 ，属 第 一 类 ， 即 车 头 间 距 不 发 生波 动 的 情 况 。 头 车 先 减 速 行 使然 后 加 速 到 起 始 速 度 ， 采 用 恒定 的 加 速 度 和 减 速 度 。 实 线 代表 头 车 ， 虚 线 代 表 跟 车 。 由 于C 在 车 辆 局 部 稳 定 的 限 制 范 围内 ， 所 以 跟 车 的 加 速 度 和 速 度以 及 车 头 间 距 都 没 有 发 生 波 动 。 图 4.2 头 车 加 速 度 波 动 方 式 及 对 两 车 运 动 的 影 响 注 ： 该 图 与 图 4.2具 有 相 同 的 头 车 速 度 图 4.3 不 同 C值 对 应 的 车 头 间 距 变 化 图 4.3给 出 了 另 外 四 种 不同 C值 的 车 头 间 距 变 化 图 。 C分 别 取 阻 尼 波 动 、 恒 幅 波 动和 增 幅 波 动 几 种 情 况 的 值 。 当 C=0.5和 0.8时 ， 属第 二 种 情 况 ， 间 距 发 生 波 动 ，振 幅 急 剧 衰 减 ； C=1.57（ /2） 时 ， 属 第 三 种 情况 ， 间 距 发 生 波 动 ， 振 幅 不变 ： 当 C=1.60时 ， 属 第 四 种情 况 ， 间 距 发 生 波 动 ， 振 幅增 大 。 与 其 他 控 制 相 关 的 局 部 稳 定 性 由 于 驾 驶 员 无 法 对 相 对 加 速 度 或 车 头 间 距 的 高 阶 导 数 作出 正 确 的 估 计 ， 因 而 他 们 对 这 些 变 量 缺 乏 敏 感 性 。 所 以 车 辆跟 驰 方 程 采 用 如 下 形 式 ： （ 4.21） 其 中 ， m=0,1,2,3 跟 随 车 辆 的 加 速 度 是 车 辆 间 距 的 m 阶 导 数 。 m=1时 ， 为线 形 跟 车 模 型 。 当 给 定 m值 时 ， 可 以 得 到 方 程 4.21的 解 ： （ 4.22） 当 m为 偶 数 时 ， 方 程 无 解 。 因 此 ， 局 部 稳 定 性 仅 适 用 于 间距 、 相 对 速 度 等 的 奇 数 阶 导 数 ， 最 小 为 m=3。 结 果 显 示 ， 与车 头 间 距 变 化 相 关 的 加 速 度 是 不 稳 定 的 。0 smesC )()()1( flmmf xxdtdCx 二 、 渐 进 稳 定 性 n 在 讨 论 了 线 性 跟 车 模 型 的 局 部 稳 定 性 之 后 ， 下 面 通过 一 列 行 驶 的 车 队 来 讨 论 渐 进 稳 定 性 。 渐 进 稳 定 性 是 在 研究 一 列 车 队 速 度 波 动 的 傅 立 叶 系 数 时 得 到 的 。 一 列 长 度 为N的 车 队 的 方 程 为 ： （ 4.23） 其 中 ， n=0,1,2,3, Nn 这 些 方 程 的 求 解 依 赖 于 一 列 车 队 中 头 车 车 速 u（ t） 和参 数 和 T。 无 论 车 头 间 距 为 何 初 始 值 ， 如 果 发 生 振 幅 波动 ， 那 么 车 队 后 部 的 某 一 位 置 必 定 发 生 碰 撞 。 当 方 程(4.23)的 数 值 解 可 以 确 定 碰 撞 发 生 的 位 置 。 )()()( 11 txtxTtx nnn C=T 0.50.52(一 般 取 0.5)时 ， 就 可 保 证 车 辆 的 渐 进 稳 定 性 。 如图 4.4所 示 ， 渐 进 稳 定 性 的 标 准 将 两 个 参 数 确 定 的 区 域 分 成 了 稳 定 和 不稳 定 两 部 分 。 图 4.4 渐 进 稳 定 性 可 知 ， Te-1保 证 局 部 稳 定 性 的 同 时 也 可 以 保 证 渐 进 稳 定 性 。 为 了 说 明 以 上 的 渐 进 稳 定 性 理 论 ， 下 面 通 过图 示 给 出 两 组 利 用 计 算 机 模 拟 得 到 的 数 值 计 算结 果 。 注 ： 图 中 C采 用 三 个 不 同 的 值 。 t=0,车 头 间 距 为 21m。图 4.5 线 形 跟 驰 模 型 车 队 中 车 头 间 距 随 时 间 的 变 化 图 4.5列 出 了 一 列 8辆 车 组 成的 车 队 中 相 邻 车 辆 车 头 时 距 与 时间 的 关 系 。 分 别 取 为 0.368， 0.5和 0.75。 头 车 n=1的 初 始 波 动 方式 与 图 4.2所 示 情 况 相 同 ， 即 先减 速 然 后 加 速 到 初 始 速 度 ， 因 此加 速 度 对 时 间 的 积 分 为 0。 第 一种 情 况 C=0.368（ 1/e） ， 为 不波 动 ， 局 部 稳 定 状 态 。 第 二 种 情况 下 C=0.5也 就 是 渐 进 稳 定 性 的极 限 处 ， 出 现 高 阻 尼 波 动 ， 振 幅随 着 波 动 在 车 辆 中 的 传 播 而 衰 减 。第 三 种 情 况 下 C=0.75和 图 4.6中C=0.8很 好 地 说 明 了 波 动 的 不 稳 定 性 。 注 ： 该 图 阐 述 了 线 性 跟 驰 模 型 公 式 （ 4.23） ， C=0.80图 4.6 9辆 车 车 队 的 渐 进 稳 定 性 （ C=0.80） 图 4.6（ C=0.80） 给 出 了 9辆 车组 成 的 车 队 中 每 一 辆 车 的 运 动 轨 迹 ，采 用 的 坐 标 系 是 移 动 坐 标 系 ， 坐 标原 点 的 速 度 与 车 队 的 初 始 速 度 u一致 。 当 t=0时 ， 所 有 的 车 辆 都 以 速 度u行 驶 ， 车 头 间 距 均 为 12m。 头 车 在t=0时 开 始 以 4km/h/sec的 减 速 度 减速 2s， 速 度 从 u变 成 u-8km/h， 之 后又 加 速 到 原 速 度 u。 所 以 头 车 的 这种 速 度 波 动 在 车 队 中 不 稳 定 的 传 播 ，在 头 车 发 生 第 一 次 波 动 后 大 约 24s时 ， 第 7辆 车 和 第 八 辆 车 间 的 距 离变 为 0， 即 车 头 间 距 等 于 车 辆 长 度 ， 此 时 发 生 碰 撞 。 次 最 近 车 辆 的 配 合 跟 驰 行 使 的 车 辆 除 受 次 最 近 车 辆 （ 直 接 在 前 面 的 车 辆 ）的 影 响 外 ， 还 会 受 次 最 近 车 辆 （ 在 前 面 的 第 二 辆 车 ） 的 影响 。 这 种 影 响 也 可 以 列 入 模 型 中 ， 那 么 跟 驰 模 型 可 以 写 成 ： （ 4.29） 其 中 ， 1 、 2分 别 为 跟 驰 车 辆 驾 驶 员 对 最 近 和 次 最 近 车 辆刺 激 的 反 应 强 度 系 数 。 （ 4.30） 当 w趋 近 于 0时 ， 有 （ 4.31） )()()()()( 222112 txtxtxtxTtx nnnnn )sin(/)(21)( 21 TTT 21)( 21 T 由 此 方 程 可 以 看 出 ， 次 最 近 车 辆 的 影 响 主 要 是 将 1增加 到 1 +2。 这 就 降 低 了 1的 作 用 ， 而 且 仍 然 可 以 保 持 渐进 稳 定 。 为 了 确 定 次 最 近 车 辆 的 影 响 程 度 ， 研 究 人 员 专 门 做 了三 车 跟 驰 实 验 ， 这 部 分 内 容 将 在 第 四 小 节 实 验 部 分 进 行 介绍 4.3 稳 态 流 分 析n 本 节 将 利 用 单 车 道 车 辆 跟 驰 模 型 讨 论 稳 定 流的 特 性 ， 针 对 不 同 的 交 通 流 状 态 对 跟 驰 模 型进 行 必 要 的 扩 充 和 修 正 ， 并 由 此 推 导 速 度 -间距 (速 度 -密 度 )， 流 量 -密 度 关 系 式 。 线 形 跟 弛 模 型 前 面 已 经 给 出 了 基 于 线 形 跟 驰 模 型 的 单 车 道 运 动 方 程 式 ： （ 4.32） 其 中 ， n = 1， 2， 3 运 动 过 程 中 车 队 将 有 一 种 稳 定 状 态 进 入 另 一 种 随 机 稳 定 的 状态 ， 为 了 使 两 种 稳 定 状 态 联 系 起 来 ， 现 假 设 在 t=0时 ， 每 一 辆 车的 速 度 为 Ui， 车 头 间 距 为 Si。 头 车 在 t=0时 速 度 开 始 改 变 （ 加 速或 减 速 ） ， 在 一 段 时 间 t后 其 最 终 速 度 变 为 Uf。1 1( ) ( ) ( )n n nt T t tx x x n 注 ： 车 队 从 一 种 稳 定 状 态 进 入 另 一 种 稳 定 的 状 态 ， 头 车 的 速 度 下 降 了 7.5m/s， 11辆 车 的 相 邻间 距 也 发 生 了 变 化 ， n 图 4. 8 11辆 车 的 相 邻 间 距 图 4.8描 述 了 在 这 种 状 态 下 具 体 数 量 的 变 化 。 在 从 车 速 Ui变 化 到 车 速 Uf的 过 程 中 ， 车 头 间 距 S从 Si变 为 Sf即 ： （ 4.33） 上 式 ， 可 以 从 跟 驰 方 程 式 中 得 到 。 公 式 4.33也 综 合 考 虑 了 公式 4.32中 的 基 本 因 素 。 这 个 公 式 只 有 在 反 应 时 间 T准 确 时 才 有效 ， 否 则 不 能 得 到 正 确 结 论 。 而 这 种 结 果 的 前 提 条 件 是 要 求 运动 方 程 式 中 的 交 通 流 是 稳 定 的 。 另 外 由 于 车 头 间 距 是 交 通 流 密度 K的 倒 数 ， 于 是 我 们 可 以 得 到 与 公 式 4.33对 应 的 速 度 -密 度 关系 式 ， 如 4.34所 示 ： 公 式 4.33和 4.34有 如 下 重 要 性 ： 1) 把 一 个 稳 定 状 态 和 另 一 个 随 机 稳 定 状 态 联 系 了 起 来 。 2) 建 立 了 包 含 车 辆 跟 驰 微 观 参 数 在 内 的 宏 观 交 通 流 变 量 之 间的 关 系 。 1( )f i f iS S U U 1 1 1 2 1( )f ik k u u （ 4.34） 对 于 停 车 流 而 言 ， 车 速 Ui =0， 相 应 的 车 头 间 距 S0由 车 辆 长 度 和车 辆 间 的 相 对 距 离 构 成 。 对 应 于 S0的 密 度 被 称 为 “ 阻 塞 密 度 ” 。给 定 密 度 ， 对 于 任 意 交 通 状 态 ， 速 度 为 U， 密 度 为 K， 式 4.34可以 写 为 ： （ 4.35） 将 此 公 式 与 单 车 道 交 通 （ 林 肯 隧 道 内 ） 实 验 观 测 结 果 对 比 。 得到 图 4.9所 示 的 速 度 密 度 关 系 ， 并 且 得 到 了 的 估 计 值 为 0.6S-1。 参 数 预 示 了 林 肯 隧 道 的 渐 进 稳 定 交 通 流 的 一 个 上 限 约 束 为T0.83秒 。 1 1( )ju k k 注 ： 曲 线 是 根 据 林 肯 隧 道 实 验 的 数 据 ，用 最 小 二 乘 法 拟 和 得 出 的 。 图 4.9 速 度 密 度 关 系 图 图 4.10 标 准 流 量 与 标 准 密 度 间 的 关 系 但 是 上 面 分 析 和 所 得 结 论 并 不 合 理 ， 速 度 -间 距 关 系 的 方程 式 表 现 出 了 理 论 的 缺 陷 。 由 于 模 型 是 线 性 的 ， 并 不 能 很 合理 的 描 述 交 通 流 流 量 和 密 度 这 两 个 基 本 参 数 的 变 化 特 征 。 图4.10引 入 了 标 准 化 的 流 量 和 标 准 化 密 度 ， 其 中 标 准 密 度 来 源于 稳 态 流 理 论 中 公 式 4.35。 从 而 可 以 得 到 ： （ 4.36） 公 式 4.36的 缺 陷 在 于 前 提 条 件 要 求 流 量 与 密 度 为 定 性 关系 ， 从 而 引 出 对 线 性 跟 驰 方 程 式 的 修 正 。(1 )jkq uk k 非 线 性 跟 驰 模 型 线 性 跟 驰 模 型 假 定 驾 驶 员 的 反 应 强 度 与 车 间 距 离 无 关 ， 即 对 给 定 的 相对 速 度 ， 不 管 车 间 距 小 还 是 大 反 应 强 度 都 是 相 同 的 。 实 际 上 ， 对 于 给 定 的相 对 速 度 ， 驾 驶 员 的 反 应 强 度 应 该 随 车 间 距 离 的 减 小 而 增 大 。 为 了 考 虑 这一 因 素 ， 我 们 可 以 认 为 反 应 强 度 系 数 并 非 常 量 ， 而 是 与 车 头 间 距 成 反 比 的 ，由 此 得 出 如 下 的 非 线 形 跟 弛 模 型 。 1.车 头 间 距 倒 数 模 型 跟 弛 模 型 的 方 程 ： n=1， 2， 3， （ 4.38） 式 中 1为 一 个 新 参 数 ， 假 定 为 常 量 ， 并 把 它 作 为 敏 感 系 数 。 11 11( ) () ()() ()n n nn nx t T x t x tx t x t 1 1 1/ () () ()n nst x t x t 同 前 ， 假 定 这 些 参 数 是 来 自 稳 态 流 的 。 方 程 通 过 积 分 得 到速 度 -密 度 的 关 系 式 ： （ 4.39）及 流 量 -密 度 关 系 式 ： （ 4.40） 由 此 可 知 u=0时 ， 车 头 间 距 等 于 车 辆 的 有 效 车 长 ，即 。 利 用 图 4.9和 图 4.10中 的 数 据 ， 结 合 交 通 流 参 数 的 稳 态 关 系 式 ，可 以 得 到 图 4.11和 4.12。 用 最 小 二 乘 法 对 数 据 进 行 拟 合 ， 得 到的 稳 态 关 系 下 1和 的 值 分 别 为 27.7km/h和 142veh/km。 在 道 路 处 于 最 大 交 通 量 时 ， 对 应 的 车 流 密 为 。在 林 肯 隧 道 的 实 例 中 ， 道 路 通 行 能 力 约 为 1400veh/h。1 ln( / )ju k k 1 ln( / )jq k k k1L k 1u 1 je k1 l je k 图 4.9 速 度 密 度 关 系 图（ 用 最 小 二 乘 法 拟 合 ） 图 4.10 标 准 流 量 与 标 准 密 度 间的 关 系 图 （ 参 数 由 图 4-9拟合 ） 分 析 公 式 4.40， 在 k=0时 正 切 值 dq/dk趋 近 无 穷 大 ， 这 是 不 合理 的 。 实 际 上 ， 在 低 密 度 下 ， 车 头 间 距 很 大 ， 车 辆 之 间 的 跟 弛 现象 已 变 得 很 微 弱 了 ， 正 是 模 型 的 这 一 特 征 ， 提 供 了 模 型 的 另 一 种修 改 形 式 ， 即 正 比 于 速 度 间 距 倒 数 模 型 。2.正 比 于 速 度 间 距 倒 数 模 型 跟 弛 模 型 的 方 程 为 ： n=1， 2， 3（ 4.41） 2为 新 参 数 ， 假 定 为 常 量 。 22 1 1( )/ () ()n n nx t T x t x t 2 11 121( )( ) () ()() ()nn n nn nx t Tx t T x t x tx t x t 如 前 所 述 ， 可 以 给 出 如 下 的 稳 态 方 程 ： （ 4.42）和 （ 4.43） 式 中 为 uf自 由 速 度 ， 即 密 度 趋 于 零 时 的 速 度 ， km为 是 最 大流 量 时 的 密 度 （ 最 佳 密 度 ） 。 在 这 些 前 提 下 ， 敏 感 系 数 2可 以认 为 和 km-1一 致 。 该 模 型 给 出 了 在 密 度 为 零 时 的 极 限 速 度 uf 。/ mk kfu u e / mk kfq u ke 为 了 更 完 整 地 说 明 交 通 流 在 低 密 度 下 交 通 流 的 速 度 与 车 辆 密度 大 小 无 关 ， 速 度 -密 度 关 系 应 该 进 行 适 度 调 整 ， 即 写 成 如 下 形式 ： 当 时 （ 4.44）和 当 时 （ 4.45） 式 中 kf是 车 辆 之 间 将 要 产 生 影 响 时 的 密 度 ， 超 过 此 值 ， 交 通流 速 度 随 着 密 度 的 增 加 而 减 小 。 如 果 假 定 影 响 刚 发 生 时 的 间 距120m， 那 么 k f的 值 近 似 为 8veh/km。 描 述 速 度 -密 度 关 系 的 经 验 模型 ： 速 度 -密 度 关 系 的 格 林 希 尔 治 线 性 模 型 ， 就 可 以 近 似 的 表 示这 种 关 系 。 fu u 0 fk k exp ff mk ku u k fk k 3.格 林 希 尔 治 模 型跟 弛 方 程 为 ： n=1， 2， 3， （ 4.49） 21( ) ( )fn nu Lx t x t 1 1 21( ) () ()() ()fn n nn nuLx t T x t x tx t x t 4.模 型 的 统 一 表 示 总 结 上 述 的 各 种 跟 驰 理 论 方 程 ， 可 以 得 到 如 下 的 通 式 ： （ 4.51）其 中 的 反 应 强 度 系 数 取 以 下 几 种 形 式 ： 为 常 数 ， 。 反 比 与 车 头 间 距 ， 即 。 正 比 于 车 速 ， 反 比 与 车 头 间 距 的 平 方 ， 即 。 反 比 与 车 头 间 距 的 平 方 ， 即 。这 些 模 型 可 以 看 作 参 数 一 般 形 式 的 具 体 化 ,即 ： （ 4.52） 其 中 ： 是 通 过 实 验 确 定 的 常 数 ， 为 指 数 且 0, 0。 就 稳 态而 言 ， 式 4.51和 4.52给 出 了 跟 驰 模 型 的 基 本 形 式 。 1 1( ) ( ) ( )n n nx t T x t x t 0 1/s 2 2 /u s 23/s , 11( )/ ( ) ( ) lml m n nna t T x t x tx l m,l ma 交 通 流 基 本 参 数 关 系 式 的 一 般 表 示 将 方 程 4.51对 时 间 积 分 ， 可 以 得 到 ： （ 4.53） 式 中 ： u交 通 流 的 稳 态 速 度 ， S为 稳 态 车 头 间 距 ， a， b积 分 常 量 ， 可 由 下 式 确 定 （ 或 ） ： 当 时 ， （ 4.54） 当 时 ， （ 4.55） 积 分 常 数 的 确 定 依 赖 于 具 体 的 和 值 ( )， 而 且 与两 个 边 界 条 件 的 满 足 情 况 有 关 ， 下 面 分 几 种 情 况 进 行 讨 论 。1( ) ( )mf u a f s b ( ) pf x p l mp lp l ( ) l ppf x x( ) lnpf x xl m 0, 0l m (1) 的 情 况 ,两 边 界 条 件 均 满 足 , a、 b值 可 由 下 式 求 得 ： 和 （ 4.56）(2) 的 情 况 ， 仅 满 足 第 一 个 边 界 条 件 ， 可 得 到 b的 值为 ， a的 值 ， 可 以 通 过 实 验 数 据 拟 合 求 得 。(3) 的 情 况 仅 满 足 第 二 个 边 界 条 件 ， 可 得 到 a、 b的 值 ，具 有 如 下 关 系 ： （ 4.57）(4) 的 情 况 ， 两 边 界 条 件 均 不 满 足 ， a、 b的 值 ， 只 能通 过 具 体 实 验 的 数 据 拟 合 求 得 。 利 用 公 式 4.53， 4.54， 4.55， 4.56， 4.57以 及 稳 态 交 通流 的 特 性 ， 可 以 得 到 速 度 、 密 度 和 流 量 间 关 系 。 在 前 面 已给 出 了 一 些 例 子 。 图 4.13和 4.14为 取 不 同 和 值 时 所 对 应 流量 密 度 关 系 曲 线 。 这 些 流 量 曲 线 的 参 数 通 过 和 进 行 标 准 化 。1,0 1l m ( )/ ()m f la f u f L ( )m fb f u1,0 1l m ( ) lb af L 1,0 1l m 1, 1l m ( )m fb f u maxnq q/n fk k k 注 ： 根 据 稳 态 交 通 流 4.51和 4.52公 式 ， m=0， L 取 不 同 的 值 时 所 对 应 的 流 量 密 度 关 系 曲 线 。 图 4.13 标 准 流 量 与 标 准 密 度 关 系 图 图 4.14 标 准 流 量 与 标 准 密 度 关 系 图 （ m=1） 从 上 图 中 可 以 看 到 ， 这 些 模 型 大 部 分 与 稳 态 流 的 定 性 描述 相 一 致 。 如 果 模 型 参 数 选 择 适 当 ， 基 本 上 可 以 用 来 拟 合 图4.9的 数 据 ， 如 图 4.13、 4.14所 示 。 公 式 4.51和 4.52给 出 了 跟 驰 模 型 的 一 般 形 式 ， L 和 m不 一定 必 须 整 数 值 ， 也 可 取 非 整 数 值 ， 例 如 从 芝 加 哥 的 艾 森 豪 威尔 高 速 公 路 的 相 关 数 据 中 ， 人 们 提 出 了 m =0.8和 L =2.8模 型 。 实 际 上 在 早 期 对 稳 态 流 和 跟 驰 现 象 的 研 究 中 ， 各 种 各 样的 L和 m值 都 得 到 过 。 当 m=0和 L=0， 为 简 单 线 性 跟 弛 模 型 。1934年 通 过 对 交 通 流 照 片 资 料 拟 合 得 到 了 m=0和 =2的 模 型 (Greenshields 1935)， 这 个 模 型 也 可 以 引 入 与 跟 弛 特 性 有 关的 知 觉 因 素 来 改 善 它 (Pipes and Wojcik 1968； Fox and Lehman 1967； Michaels 1963)。 当 m=0和 =1， 可 通 过 可 变 流 量 类 推 出 稳 态 流 的 关 系(Greenberg 1959)， 同 时 引 入 跟 车 实 验 的 检 验 和 驾 驶 员 相 关 速度 影 响 的 因 素 是 变 化 的 且 这 种 变 化 与 车 距 变 化 成 反 比 的 假 设 ，即 ： m=0和 =1模 型 (Herman et al. 1959)。 一 个 稳 态 交 通 流 的推 断 方 程 (Drew 1965)和 随 后 在 休 斯 顿 和 德 克 萨 斯 州 的 Gulf高速 公 路 的 测 试 得 到 m=0和 =3/2模 型 。 考 虑 到 趋 近 低 密 度 的 自 由 速 度 因 素 ， 获 得 m=0和 =2的 模型 (Edie 1961)。 还 有 m=0和 =3模 型 ， 该 模 型 从 芝 加 哥 的 艾 森豪 威 尔 高 速 公 路 的 相 关 数 据 分 析 中 获 得 (Drake et al. 1967)。通 过 对 与 模 型 相 关 观 察 资 料 的 进 一 步 分 析 ， 指 出 反 应 强 度 系数 可 能 在 大 约 1800veh/h的 单 车 道 上 产 生 不 同 的 值 。 4.4 实 验 和 观 测 这 部 分 主 要 介 绍 和 讨 论 已 经 实 施 的 实 验 ， 这 些 实 验 都 试 图 弄 清车 辆 的 跟 驰 模 型 是 否 近 似 于 单 车 道 上 的 交 通 流 特 性 。 这 些 实 验 被分 成 两 种 截 然 不 同 的 类 型 。 第 一 种 类 型 与 车 辆 跟 驰 模 型 和 变 量 的 详 细 测 量 之 间 的 比 较 有关 。 第 二 种 类 型 与 宏 观 交 通 流 特 性 的 测 量 有 关 ， 主 要 研 究 在 单 车 道的 交 通 环 境 下 车 队 的 速 度 、 密 度 、 流 量 以 及 它 们 之 间 的 相 互 关 系 。 最 后 ， 在 微 观 和 宏 观 两 个 方 面 ， 对 以 前 章 节 中 所 提 到 模 型 与 其所 代 表 的 体 系 进 行 了 验 证 。 4.4.1 车 辆 跟 驰 实 验1） 初 步 测 试 轨 道 实 验 2） 隧 道 行 车 实 验3） 公 交 跟 驰 实 验4） 三 车 跟 驰 实 验 a) Kometani 和 Sasaki 实 验5） 各 种 实 验 b) Forbes 等 人 的 实 验 c) 俄 亥 俄 州 实 验 d) Constantine和 Young的 研 究 第 一 个 实 验 试 图 对 一 个 曾 使 用 的 线 性 车 辆 跟 驰 模 型 进 行 初 步评 估 （ 1958） 。 在 随 后 的 几 年 ， 利 用 两 辆 车 、 三 辆 车 和 公 交 做 了很 多 具 有 各 种 目 的 的 实 验 。 大 部 分 实 验 是 在 测 试 轨 道 设 备 和 车 道上 实 施 的 。 在 这 些 实 验 中 ， 同 时 记 录 了 车 头 间 距 、 相 对 速 度 、 跟 驰 车 辆的 速 度 、 跟 驰 车 辆 的 加 速 度 ， 并 用 时 间 信 号 来 保 证 每 个 变 量 和 其它 变 量 的 同 步 。 车 辆 跟 驰 实 验 的 分 析 ， 一 般 是 通 过 把 相 等 的 时 间 间 隔 内 收集 到 的 资 料 变 成 数 据 来 进 行 的 ， 然 后 利 用 线 性 跟 驰 模 型 ， 获 得参 数 和 T的 估 计 来 完 成 相 关 分 析 。 数 据 是 不 连 续 ， 反 映 时 间 ，同 样 呈 现 出 不 连 续 值 。 相 关 系 数 是 最 大 值 ， 并 在 0.85到 0.95的范 围 内 显 著 下 降 ， 反 应 时 间 与 给 定 的 司 机 有 关 是 其 原 因 之 一 。 初 步 测 试 轨 道 实 验 这 个 实 验 是 由 Chandler等 人 在 1958年 完 成 的 ， 目 的 是 为 了 获得 在 线 性 跟 驰 模 型 中 参 数 的 估 计 以 及 这 个 模 型 的 初 步 评 估 。 八 位男 性 驾 驶 员 参 与 了 这 项 在 一 英 里 测 试 轨 道 设 备 上 实 施 的 研 究 。 初 步 实 验 的 结 果 见 表 4.1， 其 中 成 就 是 ： 给 出 了 的 估 计 ；C=T为 渐 近 的 稳 定 边 界 值 ； 平 均 间 距 和 平 均 速 度 。 反 应强 度 系 数 的 平 均 值 是 0.368s-1， T的 平 均 值 接 近 于 0.5是 渐 进 稳 定边 界 的 极 限 。 利 用 和 平 均 间 距 的 值 得 到 每 个 对 象 的 值 为 12.1 m/sec ，它 是 常 量 的 一 个 估 计 值 。 每 个 驾 驶 员 的 值 除 以 平 均 间 距 的 值 结 果 并 不 同 ， 是 因 为 每 一 个 驾 驶 员 是 在 稍 微 不 同 的 状 态 下 驾驶 的 ， 在 图 4.15中 说 明 了 这 点 。 1,0a 表 4.1 车 辆 跟 驰 模 型 的 结 果 图 4.15 强 度 系 数 和 平 均 车 头 间距 倒 数 的 关 系 图 隧 道 行 车 实 验 为 了 进 一 步 建 立 车 辆 跟 驰 模 型 的 有 效 性 并 建 立 评 估 ， 参 数 应 该在 交 通 流 特 性 被 很 好 掌 握 的 真 实 的 运 营 环 境 中 获 得 ， 于 是 一 系 列的 实 验 在 林 肯 、 荷 兰 和 纽 约 的 Queens Mid-Town隧 道 实 施 。 在 30个 实 验 中 用 到 了 10不 同 的 驾 驶 员 。 30个 实 验 ： 16个 在 林 肯 隧 道 ， 10个 在 荷 兰 隧 道 ， 4个 在Queens Mid- Town隧 道 。 最 终 获 得 了 线 性 模 型 的 参 数 值 ， 例 如 ：= a0,0和 。 在 反 应 强 度 系 数 = a0,0和 反 应 时 间 T的 关 系 图 （ 图4.16） 中 显 示 了 在 隧 道 中 完 成 实 验 的 结 果 。 实 线 把 这 两 个 参 数 的区 域 划 分 成 渐 进 稳 定 区 域 和 不 稳 定 区 域 。 对 于 分 别 在 林 肯 隧 道 和 荷 兰 隧 道 中 完 成 的 实 验 ， 图 4.17和4.18是 反 应 强 度 系 数 和 平 均 车 头 间 距 倒 数 的 关 系 图 。 两 条 直 线 都是 用 最 小 二 乘 法 拟 合 出 来 的 ， 并 且 都 经 过 原 点 。 斜 率 都 是 的估 计 分 别 为 29.21 km/h 和 32.68km/h。 1,0a 很 有 趣 注 意 到 ： 很 多 驾 驶 员 进 入 不 稳 定 区 域 ， 并 且 有 些 驾 驶 员 得 到 了 相 对大 的 反 应 强 度 系 数 和 反 应 时 间 。 反 应 相 对 较 慢 的 驾 驶 员 ， 补 偿 性 倾 向 性 易 于 具有 快 速 操 作 时 间 和 用 较 强 的 刹 车 造 成 较 大 的 减 速 。 从 概 率 统 计 上 来 看 ， 已 经 确定 这 样 的 驾 驶 员 时 常 易 于 发 生 “ 追 尾 事 件 ” 图 4.16反 应 强 度 系 数 与 反 应 时 间 T的 关 系 图 图 4.17 荷 兰 隧 道 实 验 中 反 应 强 度 系 数 和 平 均 间 距 倒 数 的 关 系 图 图 4.18 林 肯 隧 道 实 验 中 反 应 强 度 系 数 和 平 均 间 距 倒 数 的 关 系 图 公 交 跟 驰 实 验 一 系 列 的 实 验 被 实 施 ， 以 用 来 确 定 由 公 交 车 形 成 的 交 通 流的 变 化 动 态 特 性 ， 是 否 显 著 不 同 于 汽 车 形 成 的 交 通 流 。 这 些 实 验用 到 了 一 个 4公 里 测 试 追 踪 设 备 ， 53位 乘 客 的 公 共 汽 车 。 实 验 中 用 了 22位 驾 驶 员 ,完 成 了 线 性 模 型 (L=0； m=0),车 头 间距 倒 数 模 型 (L=1； m=0)以 及 正 比 于 速 度 的 间 距 平 方 倒 数 模 型(L=2； m=1)的 时 间 依 赖 相 关 分 析 。 得 到 的 结 果 类 似 于 隧 道 分 析 ：几 乎 对 于 所 有 的 驾 驶 员 和 三 个 受 检 验 模 型 中 的 任 何 一 个 模 型 ， 都与 车 头 间 距 是 高 度 相 关 的 。 分 析 时 考 虑 到 间 距 倒 数 的 影 响 ， 这 样 在 稳 定 区 域 内 的 情 况 就会 提 高 大 约 75%， 并 且 这 个 模 型 (L=1； m=0)最 适 宜 这 些 数 据 ， 分析 的 结 果 见 图 4.19。 图 4.19 一 般 反 应 强 度 系 数 和 反 应 时 间 T的 关 系 图 一 些 驾 驶 员 不 止 参 加 过 一 次 测 试 ， 小 圆 圈 代 表 由 10位 公交 驾 驶 员 参 加 的 实 验 。 实 线 把 图 分 为 渐 进 稳 定 和 不 稳 定 两 个区 域 。 虚 线 是 局 部 稳 定 和 不 稳 定 区 域 的 边 界 。 图 4.20 一 般 反 应 强 度 系 数 和 平 均 间 距 倒 数 的 关 系 图 关 系 图 中 ， 显 示 了 由 最 小 二 乘 法 拟 合 出 来 的 直 线 。 斜 率 是 间距 倒 数 对 应 的 一 般 反 应 强 度 系 数 的 一 个 估 计 值 。 小 圆 点 和 小 圆 圈是 两 种 不 同 实 验 方 式 的 数 据 点 。 图 4.21一 般 反 应 强 度 系 数 和 平 均 速 度 -平 均 间 距 平 方 倒 数 的 关 系 图 关 系 图 中 显 示 了 由 最 小 二 乘 法 拟 合 出 来 的 直 线 。 斜 率 是 速 度-间 距 平 方 倒 数 对 应 的 一 般 反 应 强 度 系 数 的 一 个 估 计 值 。 小 圆 点和 小 圆 圈 是 两 种 不 同 实 验 方 式 的 数 据 点 。 三 车 跟 驰 实 验 跟 驰 行 驶 的 车 辆 除 了 受 最 近 车 辆 的 影 响 之 外 ， 还 会 受 到次 最 近 车 辆 的 影 响 。 为 了 确 定 次 最 近 车 辆 的 影 响 程 度 ， 研 究人 员 专 门 做 了 三 车 跟 驰 实 验 。 通 过 对 实 验 内 结 果 的 分 析 ， 认 为 在 车 辆 跟 弛 行 驶 过 程中 ， 只 有 最 近 车 辆 对 跟 弛 车 辆 有 明 显 的 影 响 ， 次 最 近 车 辆 的影 响 可 以 忽 略 不 记 。 Ohio State 仿 真 研 究 根 据 Ohio State模 拟 器 完 成 的 一 系 列 实 验 ， 提 出 了 一 种 相对 简 单 的 ， 用 于 稳 态 交 通 流 的 车 辆 跟 驰 模 型 。 这 个 模 型 通 过 记录 相 对 速 度 -间 距 关 系 的 方 法 很 容 易 被 理 解 ， 其 结 果 如 图 4.22所 示 ： n 图 4.22 相 对 速 度 和 间 距 的 关 系 图 假 设 驾 驶 员 在 点 “ 1” ,意 识 到 他 正 以 一 个 高 于 前 导 车 辆的 速 度 行 驶 ， 并 且 为 了 避 免 负 的 相 对 速 度 变 得 太 大 或 间 距 变得 太 小 ， 他 决 定 减 速 。 过 了 一 段 时 间 后 ， 在 “ A” 点 ， 驾 驶员 开 始