《连续函数的运算》PPT课件

1 1.9 连 续 函 数 的 运 算 与初 等 函 数 的 连 续 性四 则 运 算 的 连 续 性反 函 数 与 复 合 函 数 的 连 续 性小 结 思 考 题 作 业初 等 函 数 的 连 续 性 第 一 章 函 数 与 极 限 2 定 理 1 ),()()()1( xgxf 函 数差和如 , ,),(cos,sin 内 连 续在 xx,tanx故 ,)(),( 0处 连 续在 点若 函 数 xxgxf 则),()()2( xgxf 乘 积 函 数由 于 )( )(,0)()3( 0 xg xfxg 则 商 函 数如 果 xcot一 、 四 则 运 算 的 连 续 性 也 在 点 x0连 续 ; 在 其 定 义 域 内 连 续 . 在 点 x0连 续 ; 在 点 x0连 续 . 3 如 , 上在 2,2sin xy xy arcsin xy arccos xy arctan 结 论 : 反 三 角 函 数 在 其 定 义 域 内 皆 连 续定 理 2故同 理 , 上在 1,1xy cotarc 内在 ),( 内在 ),( 上在 1,1 二 、 反 函 数 与 复 合 函 数 的 连 续 性单 调 增 加 且 连 续 ,单 调 的 连 续 函 数 必 有 单 调 的 连 续 反 函 数 .也 是 单 调 增 加 且 连 续 .单 调 减 少 且 连 续 .单 调 增 加 且 连 续 .单 调 减 少 且 连 续 . 4 此 定 理 对 计 算 某 些 极 限 是 很 方 便 的 .定 理 3 设 函 数 是 由 函 数 与 函 数复 合 而 成 , .)( 0o gfDxU 而 函 数 连 续 ,则 )(lim0 ufuu)(lim0 xgfxx证 ,0,)(lim 0 0 uxgxx 又 ,0对 于 ,0 .)()( 0 成 立恒 有 ufuf ,0,0 0 时使 当 xx .)( 0 成 立恒 有 uxg ,)( 0连 续在 点 uuuf 0uu )( xgfy )(ufy )(xgu ,)(lim 00 uxgxx 若)(ufy 0uu在 ).( 0uf,0 时使 当 uu 5将 上 两 步 合 起 来 :,0 )()( 0ufuf .成 立 )()(lim 00 ufxgfxx .f ,0 ,0对 于 ,0 .)()( 0 成 立恒 有 ufuf ,0 ,0 0 时使 当 xx .)( 0 成 立恒 有 uxg 0uu 时使 当 )()( 0ufxgf ,0 ,0 0 时使 当 xx 成 立恒 有 )(lim0 xgxx ,0 时使 当 uu 6 定 理 3 ,)(lim 00 uxgxx 若 ,)( 0连 续在 点函 数 uuf)(lim0 xgfxx则 有 )( 0uf .f )(lim0 xgxx注 1.定 理 的 条 件 ： 内 层 函 数 有 极 限 ， 外 层 函数 在 极 限 值 点 处 连 续 可 得 类 似 的 定 理换 成将 xxx 0.23. 该 定 理 的 意 义 在 于 ： 极 限 符 号 可 以 与函 数 符 号 互 换 ， 即 极 限 号 可 以 穿 过 外 层 函数 符 号 直 接 取 在 内 层 。 4. ( ( ) .u x变 量 代 换 的 理 论 依 据 7 f与lim意 义例解 可 交 换 次 序 ;xx x 11sinlim求由 )(lim xgx usin所 以 xx x11sinlim ,连 续在 eusin xx x11lim 2. 变 量 代 换 )(xgu 的 理 论 依 据 . )(xg xx x 11lim ,exlimsn1. 在 定 理 的 条 件 下 ,定 理 3 ,)(lim 00 uxgxx 若 ,)( 0连 续在 点函 数 uuf)(lim0 xgfxx则 有 )( 0uf .f )(lim0 xgxx.sine 8 例 .)1ln(lim0 x xx 求 .1 xx x 10 )1(lim eln解 x x)1ln( 这 里 xx 1)1ln( 0 x在 不 连 续 ,但 ,)1(lim 10 ex xx uln ,连 续在 eu 所 以x xx )1ln(lim0 xx x 10 )1ln(lim ln定 理 3 ,)(lim 00 uxgxx 若 ,)( 0连 续在 点函 数 uuf)(lim0 xgfxx则 有 )( 0uf .f )(lim0 xgxx 9 例 .1lim0 xe xx 求 .1 0lim t解 ,1 tex 令 ),1ln( tx 则,0时当 x tt t 10 )1ln( 1lim .0txexx 1lim0 t )1ln( t xex 1,0 x 10 v 利 用 连 续 性 求 极 限 练 习 例 8 求 x xax )1(loglim0 练 习 解 x xax )1(loglim0 xax x 10 )1(loglim aea ln1log 解 解 a ll 解练 习 例 9 求 x axx 1lim0 令 a x1t 解 xaxx 1lim0 at tat ln)1(loglim0 t 则 xlog a(1t) x0时 t0 于 是 11 定 理 4 设 函 数 是 由 函 数与 函 数 复 合 而 成 , .)( 0 gfDxU 若 函 数连 续 , 而 函 数连 续 , 则 复 合 而 成也 连 续 .是 由 连 续 函 数因 此 复 合 而 成 例 xy 1sin uy sin 内 连 续在 ),( xu 1 内 连 续在 ),0()0,( xy 1sin .),0()0,( 内 连 续在 )( xgfy )(ufy )(xgu 0)( xxxgu 在 ,)( 00 uxg 且0)( uuufy 在 )( xgfy 0 xx 在 点注 意 定 理 4是 定 理 3的 特 殊 情 况 . 12 三 角 函 数 及 反 三 角 函 数(1) )1,0( aaay x 内在 ),( )1,0(log aaxy a 内在 ),0( (2)(3) 是 连 续 的 ;三 、 初 等 函 数 的 连 续 性单 调 且 连 续 ;指 数 函 数对 数 函 数单 调 且 连 续 ; xy xaa log ,uay xu alog内在 ),0( (均 在 其 定 义 域 内 连 续 )(4) 幂 函 数 连 续 ;讨 论 不 同 值 .在 它 们 的 定 义 域 内基 本 初 等 函 数 在 定 义 域 内 是 连 续 的 . 13定 义 区 间 是 指 包 含 在 定 义 域 内 的 区 间 . 基 本 初 等 函 数 在 定 义 区 间 内 连 续连 续 函 数 经 四 则 运 算 仍 连 续连 续 函 数 的 复 合 函 数 连 续 一 切 初 等 函 数在 定 义 区 间 内连 续1. 初 等 函 数 仅 在 其 定 义 区 间 内 连 续 , 如 , ,1cos xy ,4,2,0: xD这 些 孤 立 点 的 邻 域 内 没 有 定 义 .注 在 其 定 义 域 内 不 一 定 连 续 ; )(lim 0 xfxx2. 初 等 函 数 求 极 限 的 方 法 代 入 法 . )( 0 定 义 区 间x0 x )(f 14 例 .1sinlim1 xx e求 1sin 1 e原 式 .1sin e例 .11lim 20 xxx 求解解 )11( )11)(11(lim 2 220 xx xxx原 式 11lim 20 xxx 20 .0 15 函数 g(x)h(x) 称为幂指函数 , 它的定义域一般应要求 g(x) 0. 幂 指 函 数 求 极 限时, 幂指函数 g(x)h(x) 也是连续函数.当 g(x) 与 h(x) 均为连续函数, 且 g(x) 0 16 幂 指 函 数 求 极 限 的 方 法 换底（e）公式法：由定理 3 容易得到下面几个幂指函数的极限公式：则设 ,)(lim ,0)(lim 00 xhxg xxxx )()(lim)( 00 )(1(lim xgxhxhxx xxexg 则为有限数设 , ) ,0( )(lim , )(lim 00 babxhaxg xxxx .)(lim )(0 bxhxx axg 则设 ,)(lim ,1)(lim 00 xhxg xxxx 1)()(lim)( 00 )(lim xgxhxhxx xxexg 17eeex xxxx x 1111lim111 1lim(3) )1 ( eeex xxxx x 1sin1lim10 0)sin1(lim )1 ( (2)(1) 1) ,5( 5)52(lim 2cos20 baxx xx例 .)21(lim sin30 xxx 解 : 原 式 ex 0lim )21ln(sin3 xx ex 0lim x3 6ex2 18 四 、 小 结连 续 函 数 的 和 差 积 商 的 连 续 性 ;复 合 函 数 的 连 续 性 :初 等 函 数 的 连 续 性 :求 极 限 的 又 一 种 方 法 .两 个 定 理 ; 两 点 意 义 .反 函 数 的 连 续 性 ;定 义 区 间 与 定 义 域 的 区 别 ; 19 nn an nana )21( 12lnlim,21 则设 常 数 11 2ln ae 解 nn an nan )21( 12lnlim lnnn an )21( 11limln )21()21( 11limln ann an )21( 1 a .21 1 a nn an nan )21( 12lim1 ln1 2 ea 20 作 业习 题 1-9 (68页 ) 1. 3. 4. 5. 21 ._3cotlim4 0 xxx、一 、 填 空 题 : ._sinlim1 0 x xx 、 ._3sin2sinlim2 0 xxx、._2sinlim5 xxx、 ._)1(lim6 10 xx x、练 习 题 （ 基 础 型 ）._cotlim3 0 x xx、 arc 217 lim( ) _xx xx 、 18 lim(1 ) _xx x 、 xx x 2tan4 )(tanlim2 、xx xx sin2cos1lim1 0 、 xx ax ax )(lim3 、二 、 求 下 列 各 极 限 : nn nn )11(lim4 2、 22 练 习 题 答 案 23 1.求 下 列 极 限cot0 1(3) lim( )1 xx xx 0 (1 ) 1(4)limx xx sin0(5)lim sinx xx e ex x tan(6)lim sin 2x xx 1(9) lim (3 9 )x x xx 1 1(8)lim cos sin xx x x 1 0(10)lim , , , . 3x x x xx a b c a b c 为 正 常 数 （提高型）0 arcsin (1) lim x xx 1 (2) lim 2 sin 2n nn x tan 2lim (sin ) xx x(7) 24 习 题 解 答 xxxx 1)93(lim.1 xxxxx 11 131)9(lim xxx xx 313311lim9 99 0 e2. 原 式 = 221sin1coslim xx xx 22sin1lim xx x 122sinlim22sinlim xxxx xx e原 极 限 25 3. . , , ,3lim 10为正常数其中求极限cbacba xxxxx 解 . 1 型的极限这是 ,3 )1()1()1( 13 xxxxxx cbacba ,3 )1()1()1( )( 则令 xxx cbax xxxxxxxxx xcba )()(1010 )(1(lim 3lim .3)lnln(ln31 abce cba 26 4. xxx 1)1(lim0 xe xx 1lim )1ln(0 )1ln(1( )1ln( xe x x xx )1ln(lim0 xx 1)1( 5. xx xexx sinsinlim0 xxee xxxx sin 1lim sinsin0 1 27 6. xxx 2sintanlim 212lim xxx 只 记 住 了 重 要 极 限 的 形 式 ， 而 没 有 掌 握 其 实 质xxx 2sintanlim )22sin( )tan(lim0 ttxt t 令 ttt 2sintanlim0 212lim0 ttt 28 07.limx xxx cot11 0lim x xxx cot)121( e )1(ln 12 xx xx12 2e)(lim 12sincos0 xxxxx 1 29 tan 28. lim (sin ) xx x 2 2 2 lim tan lnsintan tan ln(sin )2 2lim tan ln(1 sin 1) lim tan (sin 1) 0lim (sin ) lim e 1xx x x xx x xx xx x x xx ee e e 提 示 ：