考研数学三历真题及答案

2003年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、 填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（1）设 其导函数在x=0处连续，则的取值范围是_.（2）已知曲线与x轴相切，则可以通过a表示为_.（3）设a0，而D表示全平面，则=_.（4）设n维向量；E为n阶单位矩阵，矩阵 ， ，其中A的逆矩阵为B，则a=_.（5）设随机变量X 和Y的相关系数为, 若，则Y与Z的相关系数为_.（6）设总体X服从参数为2的指数分布，为来自总体X的简单随机样本，则当时，依概率收敛于_.二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（1）设f(x)为不恒等于零的奇函数，且存在，则函数(A) 在x=0处左极限不存在. (B) 有跳跃间断点x=0.(C) 在x=0处右极限不存在. (D) 有可去间断点x=0. （2）设可微函数f(x,y)在点取得极小值，则下列结论正确的是 (A) 在处的导数等于零. （B）在处的导数大于零.(C) 在处的导数小于零. (D) 在处的导数不存在. （3）设，则下列命题正确的是(A) 若条件收敛，则与都收敛.(B) 若绝对收敛，则与都收敛.(C) 若条件收敛，则与敛散性都不定.(D) 若绝对收敛，则与敛散性都不定. （4）设三阶矩阵，若A的伴随矩阵的秩为1，则必有(A) a=b或a+2b=0. (B) a=b或a+2b0.(C) ab且a+2b=0. (D) ab且a+2b0. （5）设均为n维向量，下列结论不正确的是(A) 若对于任意一组不全为零的数，都有，则线性无关.(B) 若线性相关，则对于任意一组不全为零的数，都有(C) 线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为s.(D) 线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关. （6）将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：=掷第一次出现正面，=掷第二次出现正面，=正、反面各出现一次，=正面出现两次，则事件(A) 相互独立. (B) 相互独立. (C) 两两独立. (D) 两两独立. 三、（本题满分8分）设试补充定义f(1)使得f(x)在上连续.四 、（本题满分8分）设f(u,v)具有二阶连续偏导数，且满足，又,求五、（本题满分8分）计算二重积分其中积分区域D=六、（本题满分9分）求幂级数的和函数f(x)及其极值.七、（本题满分9分）设F(x)=f(x)g(x), 其中函数f(x),g(x)在内满足以下条件： ，且f(0)=0, (1) 求F(x)所满足的一阶微分方程；(2) 求出F(x)的表达式.八、（本题满分8分）设函数f(x)在0，3上连续，在（0，3）内可导，且f(0)+f(1)+f(2)=3, f(3)=1.试证必存在，使九、（本题满分13分）已知齐次线性方程组其中 试讨论和b满足何种关系时，(1) 方程组仅有零解；(2) 方程组有非零解. 在有非零解时，求此方程组的一个基础解系.十、（本题满分13分）设二次型，中二次型的矩阵A的特征值之和为1，特征值之积为-12.(1) 求a,b的值；(2) 利用正交变换将二次型f化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵.十一、（本题满分13分）设随机变量X的概率密度为F(x)是X的分布函数. 求随机变量Y=F(X)的分布函数.十二、（本题满分13分）设随机变量X与Y独立，其中X的概率分布为 ，而Y的概率密度为f(y)，求随机变量U=X+Y的概率密度g(u).2003年考研数学（三）真题解析一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（1）设 其导函数在x=0处连续，则的取值范围是.【分析】 当0可直接按公式求导，当x=0时要求用定义求导.【详解】 当时，有显然当时，有，即其导函数在x=0处连续.（2）已知曲线与x轴相切，则可以通过a表示为 .【分析】 曲线在切点的斜率为0，即，由此可确定切点的坐标应满足的条件，再根据在切点处纵坐标为零，即可找到与a的关系.【详解】 由题设，在切点处有 ，有 又在此点y坐标为0，于是有 ,故 【评注】 有关切线问题应注意斜率所满足的条件，同时切点还应满足曲线方程.（3）设a0，而D表示全平面，则= .【分析】 本题积分区域为全平面，但只有当时，被积函数才不为零，因此实际上只需在满足此不等式的区域内积分即可.【详解】 = =【评注】 若被积函数只在某区域内不为零，则二重积分的计算只需在积分区域与被积函数不为零的区域的公共部分上积分即可.（4）设n维向量；E为n阶单位矩阵，矩阵 ， ，其中A的逆矩阵为B，则a= -1 .【分析】 这里为n阶矩阵，而为数，直接通过进行计算并注意利用乘法的结合律即可.【详解】 由题设，有 = = = =,于是有 ，即 ，解得 由于A0 ,故a=-1.（5）设随机变量X 和Y的相关系数为, 若，则Y与Z的相关系数为 .【分析】 利用相关系数的计算公式即可.【详解】 因为 = =E(XY) E(X)E(Y)=cov(X,Y),且于是有 cov(Y,Z)=【评注】 注意以下运算公式：，（6）设总体X服从参数为2的指数分布，为来自总体X的简单随机样本，则当时，依概率收敛于 .【分析】 本题考查大数定律：一组相互独立且具有有限期望与方差的随机变量，当方差一致有界时，其算术平均值依概率收敛于其数学期望的算术平均值：【详解】 这里满足大数定律的条件，且=，因此根据大数定律有 依概率收敛于二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（1）设f(x)为不恒等于零的奇函数，且存在，则函数(A) 在x=0处左极限不存在. (B) 有跳跃间断点x=0.(C) 在x=0处右极限不存在. (D) 有可去间断点x=0. D 【分析】 由题设，可推出f(0)=0 , 再利用在点x=0处的导数定义进行讨论即可.【详解】 显然x=0为g(x)的间断点，且由f(x)为不恒等于零的奇函数知，f(0)=0.于是有 存在，故x=0为可去间断点.【评注1】 本题也可用反例排除，例如f(x)=x, 则此时g(x)=可排除(A),(B),(C) 三项，故应选(D).【评注2】 若f(x)在处连续，则. （2）设可微函数f(x,y)在点取得极小值，则下列结论正确的是 (A) 在处的导数等于零. （B）在处的导数大于零.(C) 在处的导数小于零. (D) 在处的导数不存在. A 【分析】 可微必有偏导数存在，再根据取极值的必要条件即可得结论.【详解】 可微函数f(x,y)在点取得极小值，根据取极值的必要条件知，即在处的导数等于零, 故应选(A).【评注1】 本题考查了偏导数的定义，在处的导数即；而在处的导数即【评注2】 本题也可用排除法分析，取，在(0,0)处可微且取得极小值，并且有，可排除(B),(C),(D), 故正确选项为(A).（3）设，则下列命题正确的是(A) 若条件收敛，则与都收敛.(B) 若绝对收敛，则与都收敛.(C) 若条件收敛，则与敛散性都不定.(D) 若绝对收敛，则与敛散性都不定. B 【分析】 根据绝对收敛与条件收敛的关系以及收敛级数的运算性质即可找出答案.【详解】 若绝对收敛，即收敛，当然也有级数收敛，再根据，及收敛级数的运算性质知，与都收敛，故应选(B).（4）设三阶矩阵，若A的伴随矩阵的秩为1，则必有(A) a=b或a+2b=0. (B) a=b或a+2b0.(C) ab且a+2b=0. (D) ab且a+2b0. C 【分析】 A的伴随矩阵的秩为1, 说明A的秩为2，由此可确定a,b应满足的条件.【详解】 根据A与其伴随矩阵A*秩之间的关系知，秩(A)=2，故有 ，即有或a=b.但当a=b时，显然秩(A), 故必有 ab且a+2b=0. 应选(C).【评注】 n（n阶矩阵A与其伴随矩阵A*的秩之间有下列关系：（5）设均为n维向量，下列结论不正确的是(A) 若对于任意一组不全为零的数，都有，则线性无关.(B) 若线性相关，则对于任意一组不全为零的数，都有(C) 线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为s.(D) 线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关. B 【分析】 本题涉及到线性相关、线性无关概念的理解，以及线性相关、线性无关的等价表现形式. 应注意是寻找不正确的命题.【详解】(A): 若对于任意一组不全为零的数,都有 ，则必线性无关，因为若线性相关，则存在一组不全为零的数,使得 ，矛盾. 可见（A）成立.(B): 若线性相关，则存在一组，而不是对任意一组不全为零的数，都有 (B)不成立.(C) 线性无关,则此向量组的秩为s；反过来，若向量组的秩为s，则线性无关，因此(C)成立.(D) 线性无关,则其任一部分组线性无关，当然其中任意两个向量线性无关，可见(D)也成立.综上所述，应选(B).【评注】 原命题与其逆否命题是等价的. 例如，原命题：若存在一组不全为零的数，使得成立，则线性相关. 其逆否命题为：若对于任意一组不全为零的数，都有，则线性无关. 在平时的学习过程中，应经常注意这种原命题与其逆否命题的等价性.（6）将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：=掷第一次出现正面，=掷第二次出现正面，=正、反面各出现一次，=正面出现两次，则事件(A) 相互独立. (B) 相互独立. (C) 两两独立. (D) 两两独立. C 【分析】按照相互独立与两两独立的定义进行验算即可，注意应先检查两两独立，若成立，再检验是否相互独立.【详解】 因为，且 ，可见有，.故两两独立但不相互独立；不两两独立更不相互独立，应选(C).【评注】 本题严格地说应假定硬币是均匀的，否则结论不一定成立.三 、（本题满分8分）设试补充定义f(1)使得f(x)在上连续.【分析】 只需求出极限，然后定义f(1)为此极限值即可.【详解】 因为 = = = = =由于f(x)在上连续，因此定义 ，使f(x)在上连续.【评注】 本题实质上是一求极限问题，但以这种形式表现出来，还考查了连续的概念.在计算过程中，也可先作变量代换y=1-x，转化为求的极限，可以适当简化.四 、（本题满分8分）设f(u,v)具有二阶连续偏导数，且满足，又,求【分析】 本题是典型的复合函数求偏导问题：，直接利用复合函数求偏导公式即可，注意利用【详解】 ，故 ，所以 =【评注】 本题考查半抽象复合函数求二阶偏导.五 、（本题满分8分）计算二重积分其中积分区域D=【分析】 从被积函数与积分区域可以看出，应该利用极坐标进行计算.【详解】 作极坐标变换：，有 =令，则 .记 ，则 = = = =因此 ，【评注】 本题属常规题型，明显地应该选用极坐标进行计算，在将二重积分化为定积分后，再通过换元与分步积分（均为最基础的要求），即可得出结果，综合考查了二重积分、换元积分与分步积分等多个基础知识点.六、（本题满分9分）求幂级数的和函数f(x)及其极值.【分析】 先通过逐项求导后求和，再积分即可得和函数，注意当x=0时和为1. 求出和函数后，再按通常方法求极值.【详解】 上式两边从0到x积分，得由f(0)=1, 得令，求得唯一驻点x=0. 由于 ，可见f(x)在x=0处取得极大值，且极大值为 f(0)=1.【评注】 求和函数一般都是先通过逐项求导、逐项积分等转化为可直接求和的几何级数情形，然后再通过逐项积分、逐项求导等逆运算最终确定和函数.七、（本题满分9分）设F(x)=f(x)g(x), 其中函数f(x),g(x)在内满足以下条件： ，且f(0)=0, (3) 求F(x)所满足的一阶微分方程；(4) 求出F(x)的表达式.【分析】 F(x)所满足的微分方程自然应含有其导函数，提示应先对F(x)求导，并将其余部分转化为用F(x)表示，导出相应的微分方程，然后再求解相应的微分方程.【详解】 (1) 由 = = =(2-2F(x),可见F(x)所满足的一阶微分方程为(2) = =将F(0)=f(0)g(0)=0代入上式，得 C=-1.于是【评注】 本题没有直接告知微分方程，要求先通过求导以及恒等变形引出微分方程的形式，从题型来说比较新颖，但具体到微分方程的求解则并不复杂，仍然是基本要求的范围.八、（本题满分8分）设函数f(x)在0，3上连续，在（0，3）内可导，且f(0)+f(1)+f(2)=3, f(3)=1.试证必存在，使【分析】 根据罗尔定理，只需再证明存在一点c，使得，然后在c,3上应用罗尔定理即可. 条件f(0)+f(1)+f(2)=3等价于，问题转化为1介于f(x)的最值之间，最终用介值定理可以达到目的.【详解】 因为f(x)在0，3上连续，所以f(x)在0，2上连续，且在0，2上必有最大值M和最小值m，于是 ， ， .故由介值定理知，至少存在一点，使 因为f(c)=1=f(3), 且f(x)在c,3上连续，在(c,3)内可导，所以由罗尔定理知，必存在，使【评注】 介值定理、微分中值定理与积分中值定理都是常考知识点，且一般是两两结合起来考. 本题是典型的结合介值定理与微分中值定理的情形.九、（本题满分13分）已知齐次线性方程组其中 试讨论和b满足何种关系时，(1) 方程组仅有零解；(2) 方程组有非零解. 在有非零解时，求此方程组的一个基础解系.【分析】方程的个数与未知量的个数相同，问题转化为系数矩阵行列式是否为零，而系数行列式的计算具有明显的特征：所有列对应元素相加后相等. 可先将所有列对应元素相加，然后提出公因式，再将第一行的（-1）倍加到其余各行，即可计算出行列式的值.【详解】 方程组的系数行列式 =(1) 当时且时，秩(A)=n，方程组仅有零解.(2) 当b=0 时，原方程组的同解方程组为 由可知，不全为零. 不妨设，得原方程组的一个基础解系为，当时，有，原方程组的系数矩阵可化为（将第1行的-1倍加到其余各行，再从第2行到第n行同乘以倍） （将第n行倍到第2行的倍加到第1行，再将第1行移到最后一行）由此得原方程组的同解方程组为 ， .原方程组的一个基础解系为【评注】 本题的难点在时的讨论，事实上也可这样分析：此时系数矩阵的秩为 n-1(存在n-1阶子式不为零)，且显然为方程组的一个非零解，即可作为基础解系.十、（本题满分13分）设二次型，中二次型的矩阵A的特征值之和为1，特征值之积为-12.(3) 求a,b的值；(4) 利用正交变换将二次型f化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵.【分析】 特征值之和为A的主对角线上元素之和，特征值之积为A的行列式，由此可求出a,b 的值；进一步求出A的特征值和特征向量，并将相同特征值的特征向量正交化（若有必要），然后将特征向量单位化并以此为列所构造的矩阵即为所求的正交矩阵.【详解】 （1）二次型f的矩阵为设A的特征值为 由题设，有，解得 a=1,b= -2.(2) 由矩阵A的特征多项式 ，得A的特征值对于解齐次线性方程组，得其基础解系 ，对于，解齐次线性方程组，得基础解系由于已是正交向量组，为了得到规范正交向量组，只需将单位化，由此得，令矩阵，则Q为正交矩阵. 在正交变换X=QY下，有，且二次型的标准形为【评注】 本题求a,b，也可先计算特征多项式，再利用根与系数的关系确定：二次型f的矩阵A对应特征多项式为设A的特征值为，则由题设得，解得a=1,b=2.十一、（本题满分13分）设随机变量X的概率密度为F(x)是X的分布函数. 求随机变量Y=F(X)的分布函数.【分析】 先求出分布函数F(x) 的具体形式，从而可确定Y=F(X) ,然后按定义求Y 的分布函数即可.注意应先确定Y=F(X)的值域范围，再对y分段讨论.【详解】 易见，当x8 时，F(x)=1.对于，有设G(y)是随机变量Y=F(X)的分布函数. 显然，当时，G(y)=0；当时，G(y)=1. 对于，有 = =于是，Y=F(X)的分布函数为【评注】 事实上，本题X为任意连续型随机变量均可，此时Y=F(X)仍服从均匀分布:当y f (a).(B) 至少存在一点，使得 f (b).(C) 至少存在一点，使得.(D) 至少存在一点，使得= 0. D (12) 设阶矩阵与等价, 则必有(A) 当时, . (B) 当时, .(C) 当时, . (D) 当时, . (13) 设阶矩阵的伴随矩阵 若是非齐次线性方程组 的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组的基础解系(A) 不存在. (B) 仅含一个非零解向量.(C) 含有两个线性无关的解向量. (D) 含有三个线性无关的解向量. (14) 设随机变量服从正态分布, 对给定的, 数满足, 若, 则等于(A) . (B) . (C) . (D) . 三、解答题(本题共9小题，满分94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)(15) (本题满分8分)求.(16) (本题满分8分)求，其中D是由圆和所围成的平面区域(如图).(17) (本题满分8分)设f (x) , g(x)在a , b上连续，且满足，x a , b)，.证明：.(18) (本题满分9分)设某商品的需求函数为Q = 100 5P，其中价格P (0 , 20)，Q为需求量.(I) 求需求量对价格的弹性( 0)；(II) 推导(其中R为收益)，并用弹性说明价格在何范围内变化时，降低价格反而使收益增加.(19) (本题满分9分)设级数的和函数为S(x). 求：(I) S(x)所满足的一阶微分方程；(II) S(x)的表达式.(20)(本题满分13分) 设, , , , 试讨论当为何值时, () 不能由线性表示;() 可由唯一地线性表示, 并求出表示式; () 可由线性表示, 但表示式不唯一, 并求出表示式. (21) (本题满分13分) 设阶矩阵 .() 求的特征值和特征向量;() 求可逆矩阵, 使得为对角矩阵.(22) (本题满分13分) 设，为两个随机事件,且, , , 令求() 二维随机变量的概率分布;() 与的相关系数 ; () 的概率分布. (23) (本题满分13分) 设随机变量的分布函数为其中参数. 设为来自总体的简单随机样本,() 当时, 求未知参数的矩估计量;() 当时, 求未知参数的最大似然估计量; () 当时, 求未知参数的最大似然估计量. 2004年考研数学（三）真题解析一、 填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）(1) 若，则a =，b =.【分析】本题属于已知极限求参数的反问题.【详解】因为，且，所以，得a = 1. 极限化为，得b = 4.因此，a = 1，b = 4.【评注】一般地，已知 A，(1) 若g(x) 0，则f (x) 0；(2) 若f (x) 0，且A 0，则g(x) 0.(2) 设函数f (u , v)由关系式f xg(y) , y = x + g(y)确定，其中函数g(y)可微，且g(y) 0，则.【分析】令u = xg(y)，v = y，可得到f (u , v)的表达式，再求偏导数即可.【详解】令u = xg(y)，v = y，则f (u , v) =，所以，.(3) 设，则.【分析】本题属于求分段函数的定积分，先换元：x 1 = t，再利用对称区间上奇偶函数的积分性质即可.【详解】令x 1 = t，.【评注】一般地，对于分段函数的定积分，按分界点划分积分区间进行求解. (4) 二次型的秩为 2 .【分析】二次型的秩即对应的矩阵的秩, 亦即标准型中平方项的项数, 于是利用初等变换或配方法均可得到答案.【详解一】因为于是二次型的矩阵为 ,由初等变换得 ,从而 , 即二次型的秩为2. 【详解二】因为, 其中 .所以二次型的秩为2. (5) 设随机变量服从参数为的指数分布, 则 .【分析】 根据指数分布的分布函数和方差立即得正确答案.【详解】 由于, 的分布函数为故.【评注】本题是对重要分布, 即指数分布的考查, 属基本题型.(6) 设总体服从正态分布, 总体服从正态分布,和 分别是来自总体和的简单随机样本, 则 .【分析】利用正态总体下常用统计量的数字特征即可得答案.【详解】因为 , ,故应填 .【评注】本题是对常用统计量的数字特征的考查.二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）(7) 函数在下列哪个区间内有界.(A) (1 , 0).(B) (0 , 1).(C) (1 , 2).(D) (2 , 3). A 【分析】如f (x)在(a , b)内连续，且极限与存在，则函数f (x)在(a , b)内有界.【详解】当x 0 , 1 , 2时，f (x)连续，而，所以，函数f (x)在(1 , 0)内有界，故选(A).【评注】一般地，如函数f (x)在闭区间a , b上连续，则f (x)在闭区间a , b上有界；如函数f (x)在开区间(a , b)内连续，且极限与存在，则函数f (x)在开区间(a , b)内有界. (8) 设f (x)在( , +)内有定义，且，则(A) x = 0必是g(x)的第一类间断点.(B) x = 0必是g(x)的第二类间断点.(C) x = 0必是g(x)的连续点.(D) g(x)在点x = 0处的连续性与a的取值有关. D 【分析】考查极限是否存在，如存在，是否等于g(0)即可，通过换元，可将极限转化为.【详解】因为= a(令)，又g(0) = 0，所以，当a = 0时，即g(x)在点x = 0处连续，当a 0时，即x = 0是g(x)的第一类间断点，因此，g(x)在点x = 0处的连续性与a的取值有关，故选(D).【评注】本题属于基本题型，主要考查分段函数在分界点处的连续性.(9) 设f (x) = |x(1 x)|，则(A) x = 0是f (x)的极值点，但(0 , 0)不是曲线y = f (x)的拐点.(B) x = 0不是f (x)的极值点，但(0 , 0)是曲线y = f (x)的拐点.(C) x = 0是f (x)的极值点，且(0 , 0)是曲线y = f (x)的拐点.(D) x = 0不是f (x)的极值点，(0 , 0)也不是曲线y = f (x)的拐点. C 【分析】由于f (x)在x = 0处的一、二阶导数不存在，可利用定义判断极值情况，考查f (x)在x = 0的左、右两侧的二阶导数的符号，判断拐点情况.【详解】设0 0，而f (0) = 0，所以x = 0是f (x)的极小值点.显然，x = 0是f (x)的不可导点. 当x ( , 0)时，f (x) = x(1 x)，当x (0 , )时，f (x) = x(1 x)，所以(0 , 0)是曲线y = f (x)的拐点.故选(C).【评注】对于极值情况，也可考查f (x)在x = 0的某空心邻域内的一阶导数的符号来判断. (10) 设有下列命题：(1) 若收敛，则收敛.(2) 若收敛，则收敛.(3) 若，则发散.(4) 若收敛，则，都收敛.则以上命题中正确的是(A) (1) (2).(B) (2) (3).(C) (3) (4).(D) (1) (4). B 【分析】可以通过举反例及级数的性质来说明4个命题的正确性.【详解】(1)是错误的，如令，显然，分散，而收敛.(2)是正确的，因为改变、增加或减少级数的有限项，不改变级数的收敛性.(3)是正确的，因为由可得到不趋向于零(n )，所以发散.(4)是错误的，如令，显然，都发散，而收敛. 故选(B).【评注】本题主要考查级数的性质与收敛性的判别法，属于基本题型. (11) 设在a , b上连续，且，则下列结论中错误的是(A) 至少存在一点，使得 f (a).(B) 至少存在一点，使得 f (b).(C) 至少存在一点，使得.(D) 至少存在一点，使得= 0. D 【分析】利用介值定理与极限的保号性可得到三个正确的选项，由排除法可选出错误选项.【详解】首先，由已知在a , b上连续，且，则由介值定理，至少存在一点，使得；另外，由极限的保号性，至少存在一点使得，即. 同理，至少存在一点使得. 所以，(A) (B) (C)都正确，故选(D).【评注】 本题综合考查了介值定理与极限的保号性，有一定的难度.(12) 设阶矩阵与等价, 则必有(A) 当时, . (B) 当时, .(C) 当时, . (D) 当时, . D 【分析】 利用矩阵与等价的充要条件: 立即可得.【详解】因为当时, , 又 与等价, 故, 即, 故选(D). 【评注】本题是对矩阵等价、行列式的考查, 属基本题型.(13) 设阶矩阵的伴随矩阵 若是非齐次线性方程组 的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组的基础解系(A) 不存在. (B) 仅含一个非零解向量.(C) 含有两个线性无关的解向量. (D) 含有三个线性无关的解向量. B 【分析】 要确定基础解系含向量的个数, 实际上只要确定未知数的个数和系数矩阵的秩.【详解】 因为基础解系含向量的个数=, 而且根据已知条件 于是等于或. 又有互不相等的解, 即解不惟一, 故. 从而基础解系仅含一个解向量, 即选(B).【评注】本题是对矩阵与其伴随矩阵的秩之间的关系、线性方程组解的结构等多个知识点的综合考查.(14) 设随机变量服从正态分布, 对给定的, 数满足, 若, 则等于(A) . (B) . (C) . (D) . C 【分析】 利用标准正态分布密度曲线的对称性和几何意义即得.【详解】 由, 以及标准正态分布密度曲线的对称性可得. 故正确答案为(C).【评注】本题是对标准正态分布的性质, 严格地说它的上分位数概念的考查.三、解答题(本题共9小题，满分94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)(15) (本题满分8分)求.【分析】先通分化为“”型极限，再利用等价无穷小与罗必达法则求解即可.【详解】=.【评注】本题属于求未定式极限的基本题型，对于“”型极限，应充分利用等价无穷小替换来简化计算.(16) (本题满分8分)求，其中D是由圆和所围成的平面区域(如图).【分析】首先，将积分区域D分为大圆减去小圆，再利用对称性与极坐标计算即可.【详解】令，由对称性，.所以，.【评注】本题属于在极坐标系下计算二重积分的基本题型，对于二重积分，经常利用对称性及将一个复杂区域划分为两个或三个简单区域来简化计算. (17) (本题满分8分)设f (x) , g(x)在a , b上连续，且满足，x a , b)，.证明：.【分析】令F(x) = f (x) g(x)，将积分不等式转化为函数不等式即可.【详解】令F(x) = f (x) g(x)，由题设G(x) 0，x a , b，G(a) = G(b) = 0，.从而 ，由于 G(x) 0，x a , b，故有，即 .因此 .【评注】引入变限积分转化为函数等式或不等式是证明积分等式或不等式的常用的方法.(18) (本题满分9分)设某商品的需求函数为Q = 100 5P，其中价格P (0 , 20)，Q为需求量.(I) 求需求量对价格的弹性( 0)；(II) 推导(其中R为收益)，并用弹性说明价格在何范围内变化时，降低价格反而使收益增加.【分析】由于 0，所以；由Q = PQ及可推导.【详解】(I) .(II) 由R = PQ，得 .又由，得P = 10.当10 P 1，于是，故当10 P 0时，需求量对价格的弹性公式为.利用需求弹性分析收益的变化情况有以下四个常用的公式： ，(收益对价格的弹性).(19) (本题满分9分)设级数的和函数为S(x). 求：(I) S(x)所满足的一阶微分方程；(II) S(x)的表达式.【分析】对S(x)进行求导，可得到S(x)所满足的一阶微分方程，解方程可得S(x)的表达式.【详解】(I) ，易见 S(0) = 0，.因此S(x)是初值问题的解.(II) 方程的通解为 ，由初始条件y(0) = 0，得C = 1.故，因此和函数.【评注】本题综合了级数求和问题与微分方程问题，2002年考过类似的题.(20)(本题满分13分) 设, , , , 试讨论当为何值时, () 不能由线性表示;() 可由唯一地线性表示, 并求出表示式; () 可由线性表示, 但表示式不唯一, 并求出表示式. 【分析】将可否由线性表示的问题转化为线性方程组是否有解的问题即易求解.【详解】 设有数使得 . (*)记. 对矩阵施以初等行变换, 有.() 当时, 有 .可知.故方程组(*)无解, 不能由线性表示.() 当, 且时, 有, 方程组(*)有唯一解： , , 此时可由唯一地线性表示, 其表示式为 () 当时, 对矩阵施以初等行变换, 有，, 方程组(*)有无穷多解，其全部解为 , , ， 其中为任意常数可由线性表示, 但表示式不唯一,其表示式为 【评注】本题属于常规题型, 曾考过两次(1991, 2000).(21) (本题满分13分) 设阶矩阵 .() 求的特征值和特征向量;() 求可逆矩阵, 使得为对角矩阵.【分析】这是具体矩阵的特征值和特征向量的计算问题, 通常可由求解特征方程和齐次线性方程组来解决.【详解】() 当时， ,得的特征值为，对，解得，所以的属于的全部特征向量为(为任意不为零的常数)对，得基础解系为，故的属于的全部特征向量为(是不全为零的常数)当时，,特征值为，任意非零列向量均为特征向量() 当时，有个线性无关的特征向量，令，则当时，对任意可逆矩阵, 均有 【评注】本题通过考查矩阵的特征值和特征向量而间接考查了行列式的计算, 齐次线性方程组的求解和矩阵的对角化等问题, 属于有一点综合性的试题. 另外,本题的解题思路是容易的, 只要注意矩阵中含有一个未知参数, 从而一般要讨论其不同取值情况.(22) (本题满分13分) 设，为两个随机事件,且, , , 令求() 二维随机变量的概率分布;() 与的相关系数 ; () 的概率分布. 【分析】本题的关键是求出的概率分布，于是只要将二维随机变量的各取值对转化为随机事件和表示即可【详解】 () 因为 ，于是，则有，( 或)，即的概率分布为：0 1 0 1()方法一：因为，所以与的相关系数 方法二： X, Y的概率分布分别为 X 0 1 Y 0 1 P P 则，DY=, E(XY)=,故 ，从而() 的可能取值为：0，1，2 ，即的概率分布为：0 1 2 【评注】本题考查了二维离散随机变量联合概率分布，数字特征和二维离散随机变量函数的分布等计算问题，属于综合性题型(23) (本题满分13分) 设随机变量的分布函数为其中参数. 设为来自总体的简单随机样本,() 当时, 求未知参数的矩估计量;() 当时, 求未知参数的最大似然估计量; () 当时, 求未知参数的最大似然估计量. 【分析】本题是一个常规题型, 只要注意求连续型总体未知参数的矩估计和最大似然估计都须已知密度函数, 从而先由分布函数求导得密度函数.【详解】 当时, 的概率密度为() 由于令 , 解得 , 所以, 参数的矩估计量为 .() 对于总体的样本值, 似然函数为当时, , 取对数得 ,对求导数，得，令，解得，于是的最大似然估计量为 ( ) 当时, 的概率密度为对于总体的样本值, 似然函数为当时, 越大，越大, 即的最大似然估计值为,于是的最大似然估计量为 2005年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（1）极限= .（2） 微分方程满足初始条件的特解为_.（3）设二元函数，则_.（4）设行向量组，线性相关，且，则a=_.（5）从数1,2,3,4中任取一个数，记为X, 再从中任取一个数，记为Y, 则=_.（6）设二维随机变量(X,Y) 的概率分布为 X Y 0 1 0 a 1 b 已知随机事件与相互独立，则a= ， b= .二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（7）当a取下列哪个值时，函数恰好有两个不同的零点.(A) 2. (B) 4. (C) 6. (D) 8. （8）设,其中，则(A) . （B）.(C) . (D) . （9）设若发散，收敛，则下列结论正确的是 (A) 收敛，发散 . （B） 收敛，发散.(C) 收敛. (D) 收敛. （10）设,下列命题中正确的是(A) f(0)是极大值，是极小值. （B） f(0)是极小值，是极大值.（C） f(0)是极大值，也是极大值. (D) f(0)是极小值，也是极小值. （11）以下四个命题中，正确的是(A) 若在（0，1）内连续，则f(x)在（0，1）内有界. （B）若在（0，1）内连续，则f(x)在（0，1）内有界. （C）若在（0，1）内有界，则f(x)在（0，1）内有界. (D) 若在（0，1）内有界，则在（0，1）内有界. （12）设矩阵A= 满足，其中是A的伴随矩阵，为A的转置矩阵. 若为三个相等的正数，则为(A) . (B) 3. (C) . (D) . （13）设是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为，则，线性无关的充分必要条件是(A) . (B) . (C) . (D) . （14） 设一批零件的长度服从正态分布，其中均未知. 现从中随机抽取16个零件，测得样本均值，样本标准差，则的置信度为的置信区间是(A) (B) (C)(D) 三 、解答题（本题共9小题，满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（15）（本题满分8分）求（16）（本题满分8分）设f(u)具有二阶连续导数，且，求（17）（本题满分9分）计算二重积分，其中.（18）（本题满分9分）求幂级数在区间(-1,1)内的和函数S(x).（19）（本题满分8分）设f(x),g(x)在0，1上的导数连续，且f(0)=0,.证明：对任何a,有（20）（本题满分13分）已知齐次线性方程组 （i） 和（ii） 同解，求a,b, c的值.（21）（本题满分13分）设为正定矩阵，其中A,B分别为m阶，n阶对称矩阵，C为矩阵.(I) 计算，其中；（II）利用(I)的结果判断矩阵是否为正定矩阵，并证明你的结论.（22）（本题满分13分）设二维随机变量(X,Y)的概率密度为求：（I） (X,Y)的边缘概率密度；（II） 的概率密度 ( III ) （23）（本题满分13分）设为来自总体N(0,)的简单随机样本，为样本均值，记求：（I） 的方差； （II）与的协方差 （III）若是的无偏估计量，求常数c. 2005年考研数学（三）真题解析一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（1）极限= 2 .【分析】 本题属基本题型，直接用无穷小量的等价代换进行计算即可.【详解】 =（2） 微分方程满足初始条件的特解为 .【分析】 直接积分即可.【详解】 原方程可化为 ，积分得 ，代入初始条件得C=2，故所求特解为 xy=2.（3）设二元函数，则 .【分析】 基本题型，直接套用相应的公式即可.【详解】 , ,于是 .（4）设行向量组，线性相关，且，则a= .【分析】 四个4维向量线性相关，必有其对应行列式为零，由此即可确定a.【详解】 由题设，有 , 得，但题设，故（5）从数1,2,3,4中任取一个数，记为X, 再从中任取一个数，记为Y, 则= .【分析】 本题涉及到两次随机试验，想到用全概率公式, 且第一次试验的各种两