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看清问题实质- 方能正确的解决问题初学古典概率问题由于没有掌握古典概率的两个重要特征，以及对概念、性质掌握模糊，常常出现下面的错误，下面就具体剖析。一分不清有序、无序产生错误例 1、从 3 台甲型电脑和2 台乙型电脑中任选两台，求两种品牌都齐全的概率。错解：从 5 台中任取2 台，所有结果有5 4 20（种），记事件 A 为“一台为甲型另一台为乙型”，甲型从3 台中取1 台，乙型从2 台中取1 台，故事件A 所包含的基本事件数为3 2 6，所以63P( A).剖析：上面的解法由于没能分清有序还是无序，导致出现重复计数，所以出现了重复计算错误，其实，从 5 台中任取2 台，按顺序（ x，y）记录结果， x 有 5 种可能， y 有 4 种可能，但（ x，y）和（ y，x）是相同的，所以试验的所有结果应是54 2 10（种）。正解：从 5 台中任取2 台，所有结果有5 410 （种），记事件 A 为“一台为甲型另一台为乙型”，2甲型从 3 台中取 1 台，乙型从 2 台中取 1 台，故其包含的基本事件有32 6（种），所以 P( A)3 .5例 2、从甲、乙、丙三人中任选两名代表，甲被选中的概率为【】A 、 1B、 1 .C、 2D、 1233错解： P（甲）21 . 故选 B.63剖析：基本事件总数求错，这是错把选出的两个人看成有序造成的，即将所有的基本事件看作6个，认为（甲、乙）与（乙，甲）是基本事件中的两种，事实上，（甲、乙）之间没有顺序，故这里的所有基本事件为（甲、乙） 、（甲，丙）、（乙、丙），此处不分顺序。正解：由上面分析知，基本事件共3 个，甲被选中的事件有2 个，依等可能性事件的概率的求法知，甲被选中的概率为P（甲） 2 ，故选 C.3二放回与不放回例 3. 一个盒子里有点数分别为 1，2， 3， 4 的 4 张牌，有放回的连续抽取两次，求“两张牌点数之和不小于 6 的概率”。错解：所有的基本事件可以表示为：(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(2,2)(2,3)(2,4)(3,3)(3,4) (4,4)基本事件共有 10 个，其中符合题意的如划线所示，共有4 个。所以 P(两张牌点数之和不小于 6 的概率 )4210。5剖析：本题是放回抽样，而错解是按照不放回抽样求解的，实质上两种抽样区别很大，不放回抽样与放回抽样的区别主要体现在以下四个方面:(1) 不放回抽样是指每次抽出样品不放回,下次再抽样时 ,样品结构发生变化,总数比前次少一 ;而放回抽样是指每次抽出的样品放回,下次再抽样时,样品结构和总数保持不变.(2 ) 对不放回抽样来说:事件 A =“不放回地逐个取k 个样品 ”与事件 B =“一次任取 k 个样品 “的概率相等,即 P(A) =P(B) ; 而对放回抽样来说: 事件 A =“放回地逐个取 k 个样品 ”与事件 B =“一次任取 k 个样品 ”的概率一般是不相等的,即 P(A) P(B) .(3) 不放回抽样不可重计数;而放回抽样可重计数 .第 1页正解：从4 张卡片中任意抽出一张卡片，放回后再抽出一张卡片，其所有可能的结果组成的基本事件空间为： = （ 1， 1），（1，2），（1，3），（ 1，4），（ 2，1），（ 2， 2），（2，3），（ 2，4），（ 3，1），（ 3，2），（ 3， 3），（ 3， 4），（ 4， 1），（ 4，2），（ 4，3），（ 4， 4） ，共 16 个基本事件其中事件发生的个数包括：(2,4)， (3,3)， (3,4)， (4,2)， (4,3)，(4,4) 共有 6 个。所以 P(两张牌点数之和不小于6 的概率 )63 。168三 .对基本事件有关概念理解错误例 4、在猜拳游戏中，每人出示的手势有三种：石头、剪刀、布，甲、乙、丙三人进行猜拳游戏，试问战成平手的概率是多少？错解：甲、乙、丙三人每人可出示3 种手势，故共有33 种可能。三人战成平手是指出示相同的手势，故战成平手的概率为P31 .329剖析：上述错解是对实际问题的理解致误，实际上三人战成平手是指三人出示相同的手势或都出示不同的手势。正解：甲、乙、丙每人可出示3 种手势，故共有 33 种可能。三人战成平手是指三人出示相同的手势或都出示不同的手势，故共有33 2 1 9 种可能。故战成平手的概率为四 .忽视古典概率的等可能产生错误例 5、设口袋中有大小相同，除颜色外完全相同的黑球和白球各2 个，现从口袋中随机地取出两个小球，求取出的两球是“一黑一白”的这一事件的概率。错解：因为口袋中的小球是大小相同，除颜色外完全相同的2 个黑球与 2 个白球，所以取出的两个小球的可能为：黑黑、白白、黑白、白黑四种情形，即基本事件数为n 4，其中取出的小球是“一黑一白”的事件数为m 2，故有古典概型的计算公式可得：出现“一黑一白”的这一事件的概率为Pm21 .n42剖析：表面上看本题的解答中似乎无懈可击，其实本题的答案是错误的，错因在于忽视了使用概m率公式 P( A)的前提条件是事件 A 发生是等可能的， 而本题解答中的 “一白一黑” 是不等可能的。 n正解 ;所以总的情形应有： “黑 1 黑 2”、“白 1 黑 1”、“白 2 黑 1”、“白 2 黑 2”、“白 1 黑 2”、“白 1 白2”六种情形，因此所求事件的所有可能情形有n 6 种，其中取出的两个小球是“一白一黑”的事件数为 m 4 种，即 n 6， m 4，故其概率应为 Pm42 .n63例 6.在两个袋内分别装有标记数字0， 1， 2， 3， 4， 5 的 6 张卡片，今从每个袋中任取一张卡片，求所得两数之和等于 7 的概率。错解：从每个袋中任取一张卡片，共有6 6=36 种可能，记“所得两数之和等于7”为事件 B，则事件 B 中包含 2 个基本事件（即 2+5=3+4=7 ），故所求概率为 P( B)21 .3618剖析：上面的求解在计算两数之和为7 的事件个数时，忽视古典概率的等可能性，即错误认为事件 B 中包含 2 个基本事件，实际上是四种情况，即（2， 5）、（ 5， 2）、（ 3， 4）、（ 4， 3）。正解：本题的基本事件为从两袋中取出的卡片上数字组成有序数对，共有n=6 6=36 对，从而事第 2页件 B 中包含的基本事件应为： （ 2，5）（、 5，2）、（ 3，4）、（ 4，3），即 m=4，故所求概率为P( B)m41 .n369第 3页
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