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第 三 节 位 移 分 量 的 求 出第 四 节 简 支 梁 受 均 布 荷 载第 五 节 楔 形 体 受 重 力 和 液 体 压 力例 题第 一 节 逆 解 法 与 半 逆 解 法 多 项 式 解 答第 二 节 矩 形 梁 的 纯 弯 曲 第 三 章 平 面 问 题 的 直 角 坐 标 解 答 3 1 逆 解 法 和 半 逆 解 法 多 项 式 解 法1.当 体 力 为 常 量 ， 按 应 力 函 数 求 解 平 面应 力 问 题 时 ， 应 满 足 按 求 解 4 0. (a) S , . (b)x yx x y xy ys sl m f m l f 多 连 体 中 的 位 移 单 值 条 件 。 (c) S = 上 应 力 边 界 条 件 , A内 相 容 方 程 第 三 章 平 面 问 题 的 直 角 坐 标 解 答 对 于 单 连 体 ， (c)通 常 是 自 然 满足 的 。 只 须 满 足 (a),(b)。 由 求 应 力 的 公 式 是 , 22 xfy xx ,22 yfx yy .2 yxxy (d) 4 0 a , .x yx xsy xy ysl m fm l f b 第 三 章 平 面 问 题 的 直 角 坐 标 解 答2 .逆 解 法 (Inverse method) 先 满 足(a),再 满 足 (b)。 步 骤 :04 ; .)( )( ,sxyyy sxyxx lmf mlf (e) 逆 解 法; , , xyyx 先 找 出 满 足 的 解 在 给 定 边 界 形 状 S下 ， 由 式 (b)反 推 出 各 边 界 上 的 面 力 ， 代 入 (d), 求 出 4 0 a , .x yx xsy xy ysl m fm l f b 第 三 章 平 面 问 题 的 直 角 坐 标 解 答 从 而 得 出 ， 在 面 力 (e)作 用 下 的解 答 ， 就 是 上 述 和 应 力 。 逆 解 法 逆 解 法 没 有 针 对 性 ， 但 可 以 积 累基 本 解 答 。 第 三 章 平 面 问 题 的 直 角 坐 标 解 答例 1 逆 解 法 设 图 中 所 示 的 矩 形 长 梁 ， l h， 试 考察 应 力 函 数 能 解 决 什 么样 的 受 力 问 题 ？ )43(2 223 yhxyhF y xo l h/2 h/2 ( l h) 第 三 章 平 面 问 题 的 直 角 坐 标 解 答解 ： 按 逆 解 法 。 1. 将 代 入 相 容 方 程 ， 可 见 是满 足 的 。 有 可 能 成 为 该 问 题 的 解 。 04 2. 由 求 出 应 力 分 量 ).41(23,0 ,12 22222 322 hyhFyxx hFxyyxyyx 第 三 章 平 面 问 题 的 直 角 坐 标 解 答 因 此 ， 在 的 边 界 面 上 ， 无 任 何面 力 作 用 ， 即 3. 由 边 界 形 状 和 应 力 分 量 反 推 边 界 上 的面 力 。 在 主 要 边 界 （ 大 边 界 ） 上 ， 2/hy ,0 y 0.yx 2/hy 0.x yf f xy h/2 h/2l 第 三 章 平 面 问 题 的 直 角 坐 标 解 答在 x = 0， l的 次要 边 界 （ 小 边界 ） 上 ， ).41(23)( ,12)( ),( );41(23)( ,0)( ),(0 223 2200 hyhFf yhFlfxlx hyhFf fxx lxxyy lxxx xxyy xxx 面正面负 xy h/2 h/2l 第 三 章 平 面 问 题 的 直 角 坐 标 解 答 在 x = 0,l 小 边 界 上 的 面 力 如 下 图中 (a) 所 示 ， 而 其 主 矢 量 和 主 矩 如 (b)所 示 。 yx ff , (a)(b)F F M=Fl 第 三 章 平 面 问 题 的 直 角 坐 标 解 答 由 此 ， 可 得 出 结 论 ： 上 述 应 力 函 数 可 以 解决 悬 臂 梁 在 x = 0 处 受 集 中 力 F作 用 的 问 题 。F 第 三 章 平 面 问 题 的 直 角 坐 标 解 答例 3 二 次 式 ， 分 别 表 示 常 量 的 应 力 和 边 界 面 力 。 如 图 示 。例 2 一 次 式 对 应 于 无 体 力 ， 无 面 力 ， 无 应 力 状 态 。 故 应 力 函 数 加 减 一 次 式 ， 不 影 响 应 力 。 ax by c 22 cybxyax 逆 解 法2a 2a oy x oy x oy xbb bb 2c 2c 第 三 章 平 面 问 题 的 直 角 坐 标 解 答 22 yx 对 于 图 示 1/4圆 薄 板 ， 试 考 察 应 力 函 数 能满 足 相 容 方 程 ， 并 求 出 应 力 分 量 （ 不 计 体 力 ） ， 画出 边 界 面 上 的 面 力 分 量 （ 弧 面 上 用 法 向 和 切 向 表 示 ）作 业 x y 第 三 章 平 面 问 题 的 直 角 坐 标 解 答 代 入 ， 解 出 ；3.半 逆 解 法 (Semi-inverse method) 步 骤 ： 04 半 逆 解 法 由 应 力 (d)式 ， 推 测 的 函 数 形 式 ； 假 设 应 力 的 函 数 形 式 （ 根 据 受 力 情 况 ，边 界 条 件 等 ） ； ,22 xfy xx ,22 yfx yy .2 yxxy (d) 第 三 章 平 面 问 题 的 直 角 坐 标 解 答 由 式 （ d） ， 求 出 应 力 ； 半 逆 解 法 校 核 全 部 应 力 边 界 条 件 （ 对 于 多 连 体 ， 还 须 满 足 位 移 单 值 条 件 ） 。 如 能 满 足 ， 则 为 正 确 解 答 ； 否 则 修 改 假设 ， 重 新 求 解 。 第 三 章 平 面 问 题 的 直 角 坐 标 解 答思 考 题 半 逆 解 法1. 在 单 连 体 中 ， 应 力 函 数 必 须 满 足 哪 些 条件 ？ 逆 解 法 和 半 逆 解 法 是 如 何 满 足 这 些 条件 的 ？2. 试 比 较 逆 解 法 和 半 逆 解 法 的 区 别 。 第 三 章 平 面 问 题 的 直 角 坐 标 解 答半 逆 解 法 解 题 的 基 本 步骤逆 解 法 解 题 的 基 本 步 骤单 连 体 第 三 章 平 面 问 题 的 直 角 坐 标 解 答 3-2 矩 形 梁 的 纯 弯 曲 梁 l h 1， 无 体 力 ， 只 受 M作 用 （ 力 矩 /单 宽 ， 与 力 的 量 纲 相 同 ） 。 本 题 属 于 纯 弯 曲(Pure bending)问 题 。 问 题 提 出 h/2 h/2ly x ( l h)oM M 第 三 章 平 面 问 题 的 直 角 坐 标 解 答 由 逆 解 法 得 出 ， 可 取 ， 且 满 足 求 应 力 .0 4 ,6ayx .0 xyy 3ay (a) 求 解 步 骤 ： 04 本 题 是 平 面 应 力 问 题 ,且 为 单 连 体 ，若 按 求 解 ， 应 满 足 相 容 方 程 及 上 的 应 力 边 界 条 件 。 ss 第 三 章 平 面 问 题 的 直 角 坐 标 解 答 检 验 应 力 边 界 条 件 ， 原 则 是 : 边 界 条 件 b.后 校 核 次 要 边 界 （ 小 边 界 ） ， 若 不能 精 确 满 足 应 力 边 界 条 件 ， 则 应 用 圣 维 南原 理 ， 用 积 分 的 应 力 边 界 条 件 代 替 。 a.先 校 核 主 要 边 界 （ 大 边 界 ） ， 必 须精 确 满 足 应 力 边 界 条 件 。 第 三 章 平 面 问 题 的 直 角 坐 标 解 答主 要 边 界 ,2/hy ,0)( 2/ hyy /2( ) 0 . (b)xy y h 从 式 (a)可 见 ， 边 界 条 件 (b)均 满 足 。 ,0)( ,0 lxxy 满 足 。次 要 边 界 x=0, l, (c) 主 要 边 界 h/2 h/2ly xo MM 第 三 章 平 面 问 题 的 直 角 坐 标 解 答 次 要 边 界 /2 0,/2/2 0,/2( ) d 1 0, (d)( ) d 1h x x lhh x x lh y y y M 。用 两 个 积 分 的 条 件 代 替 主 要 边 界 h/2 h/2ly xo MMx 的 边 界 条 件 无 法精 确 满 足 。次 要 边 界 x=0, l, 第 三 章 平 面 问 题 的 直 角 坐 标 解 答 当 时 ， 即 使 在 边 界 上 面 力不 同 于 的 分 布 ， 其 误 差 仅 影 响 梁 的 两 端部 分 上 的 应 力 。式 (d)的 第 一 式 自 然 满 足 ， 由 第 二 式 得 出。3/2 hMa最 终 得 应 力 解 ,12 3 yIMyhMx (e)hl lx ,0 x .0 xyy 第 三 章 平 面 问 题 的 直 角 坐 标 解 答 如 果 区 域 内 的 平 衡 微 分 方 程 已 经 满 足 ， 且除 了 最 后 一 个 小 边 界 外 ， 其 余 的 应 力 边 界 条 件也 都 分 别 满 足 。 则 我 们 可 以 推 论 出 ， 最 后 一 个小 边 界 上 的 三 个 积 分 的 应 力 边 界 条 件 （ 即 主 矢量 、 主 矩 的 条 件 ） 必 然 是 满 足 的 ， 因 此 可 以 不必 进 行 校 核 。 试 对 此 结 论 加 以 说 明 。思 考 题 第 三 章 平 面 问 题 的 直 角 坐 标 解 答 3-3 位 移 分 量 的 求 出 在 按 应 力 求 解 中 ， 若 已 得 出 应 力 ， 如 何求 出 位 移 ？以 纯 弯 曲 问 题 为 例 ， 已 知,y IMx ,0 xyy 试 求 解 其 位 移 。 问 题 提 出 第 三 章 平 面 问 题 的 直 角 坐 标 解 答1. 由 物 理 方 程 求 形 变 。0)1(2 ,)(1 ,)(1 xyxy xyy yxx E yEIME yEIME 求 形 变 第 三 章 平 面 问 题 的 直 角 坐 标 解 答2. 代 入 几 何 方 程 求 位 移, (a), (b) 0 ( )xy xyu M yx EIv M yy EIv u cx y 。 求 位 移 第 三 章 平 面 问 题 的 直 角 坐 标 解 答 对 式 (a)两 边 乘 积 分 , xd ),(1 yfxyEIMu 对 式 (b)两 边 乘 积 分 , yd。)(2 22 xfyEIMv 求 位 移 第 三 章 平 面 问 题 的 直 角 坐 标 解 答 再 代 入 (c) , 并 分 开 变 量 ，2 1d ( ) d ( ) ( )d df x f yMxEI x y 。 上 式 对 任 意 的 x , y 都 必 须 成 立 ， 故两 边 都 必 须 为 同 一 常 量 。 求 位 移 第 三 章 平 面 问 题 的 直 角 坐 标 解 答由 此 解 出 1 022 0( ) ,( ) .2f y y uMf x x x vEI 求 位 移 02 2 0,2 2Mu xy y uEI M Mv y x x vEI EI 。得 出 位 移 为3.待 定 的 刚 体 位 移 分 量 ，00,vu .须 由 边 界 约 束 条 件 来 确 定 。 第 三 章 平 面 问 题 的 直 角 坐 标 解 答由 边 界 约 束 条 件 来 确 定 刚 体 位 移 分 量 ，00,vu .Simply supported beamCantilever beam？ ？ 第 三 章 平 面 问 题 的 直 角 坐 标 解 答2.代 入 几 何 方 程 ， 积 分 求 ； 归 纳 ： 从 应 力 求 位 移 步 骤 ：vu, 0 0, , u v 。3.由 边 界 约 束 条 件 确 定 确 定 刚 体 位 移 分 量1.由 物 理 方 程 求 出 形 变 ； 第 三 章 平 面 问 题 的 直 角 坐 标 解 答2. 铅 直 线 的 转 角 故 在 任 一 截 面 x 处 ， 平 面 截 面 假 设 成 立 。纯 弯 曲 问 题 的 讨 论 ：1. 弯 应 力 与 材 料 力 学 的 解 相 同 。x ,u M xy EI 3.纵 向 纤 维 的 曲 率 同 材 料 力 学 的 结 果 。 故 在 纯 弯 曲 情 况 下 ， 弹 性 力 学 解 与 材 料 力 学 解 相 同 。 EIMxv 221 第 三 章 平 面 问 题 的 直 角 坐 标 解 答思 考 题2. 试 证 明 刚 体 位 移 实 际 上 表 示 弹 性 体 中 原 点 的 平 移 和 转 动 分 量 ， 并 应 用 本 节 的 解 答 加 以 验 证 。 提 示 ： 微 分 体 的 转 动 分 量 为 0 0, ,u v 。 yuxvw 211. 弹 性 力 学 中 关 于 纯 弯 曲 梁 的 解 答 ， 与 材 料 力 学 的 解 答 在 应 力 、 形 变 等 方 面 完 全 一 致 。 由 此 是 否 可 以 说 在 纯 弯 曲 情 况 下 材 料 力 学 中 的 平 截 面 假 设 成 立 ？ 第 三 章 平 面 问 题 的 直 角 坐 标 解 答 3-4 简 支 梁 受 均 布 荷 载简 支 梁 ， 受 均 布 荷 载 及 两 端 支 撑 反力 。 12 hl q。 ql 问 题qqlql y xol l h/2 h/2 第 三 章 平 面 问 题 的 直 角 坐 标 解 答 21( ) ( ) ,2 x M q l x q l x 2 1 2 3( ) ( ) ( );x x f y xf y f y ( ),xy sF ql q l x 1 2( ) ( );xy xf y f y , y q 常数( )y f y。现 采 用 此 假 设 。 按 半 逆 解 法 求 解 。 假 设 应 力 分 量 。 由 材 料 力 学, , ,x s y M F q 因 为因 为所 以 ， 可 假 设所 以 ， 可 假 设因 为所 以 ， 可 假 设 qy xo ll qlql 第 三 章 平 面 问 题 的 直 角 坐 标 解 答 由 应 力 分 量 推 出 应 力 函 数 的 形 式 。由 ),(22 yfx y对 x 积 分 ， ),()( 1 yfyxfx 2 1 2( ) ( ) ( ).2x f y xf y f y 对 x再 积 分 ， (a) 半 逆 解 法 第 三 章 平 面 问 题 的 直 角 坐 标 解 答 将 代 入 相 容 方 程 ， 求 解 : .0)d )(d2d )(d(d )(dd )(d21 22424414244 yyfy yfxy yfxyyf相 容 方 程 对 于 任 何 均 应 满 足 ,故yx, 012 , xxx的 系 数 均 应 等 于 0， 由 此 得 三 个 常 微 分 方 程 。 半 逆 解 法 第 三 章 平 面 问 题 的 直 角 坐 标 解 答 .610 , , 23452 231 23 KyHyyByAf GyFyEyf DcyByAyf式 (b)中 已 略 去 对 于 的 一 次 式 。将 式 (b)代 入 式 (a)， 即 得 。 (b) 半 逆 解 法解 出 : 第 三 章 平 面 问 题 的 直 角 坐 标 解 答 对 称 性 条 件 由 于 结 构 和 荷 载 对 称 于 轴 ， 故 应 为 的 偶 函 数 ， 为 x的 奇 函 数 ， 故 。 由 求 应 力 。y yx , x xy0 GFE , 半 逆 解 法 在 无 体 力 下 ， 应 力 公 式 如 书 中 式 ( f ), (g),(h)所 示 。 qy xo ll qlql 第 三 章 平 面 问 题 的 直 角 坐 标 解 答 考 察 边 界 条 件 。 / 2/ 2/ 2( ) 0, ( ) , ( ) 0 .y y hy y hyx y h q 由 此 解 出 系 数 A , B , C , D 。 主 要 边 界 ,02/ hy 主 要 边 界qy xo ll qlql 第 三 章 平 面 问 题 的 直 角 坐 标 解 答次 要 边 界 。qldy ydy dy hh lxxy lxhh x lxhh x 1)( ,01)( ,01)(2/ 2/2/ 2/2/ 2/ 次 要 边 界由 此 解 出 H， K.另 一 次 要 边 界 (x= -l )的 条 件 ， 自 然 满 足 。应 用 圣 维 南 原 理 ， 列 出 三 个 积 分 条 件 ，,lx qy xo ll qlql( ) 0 x x l 不 满 足 第 三 章 平 面 问 题 的 直 角 坐 标 解 答最 后 应 力 解 答 ： )534()(6 22223 hyhyqyxlhq x ),534( 22 hyhyqyIM 应 力,)4(6 223 bISFyhxhq Sxy .)21)(1(2 2hyhyq y 第 三 章 平 面 问 题 的 直 角 坐 标 解 答应 力 的 量 级当 时 , x l 同 阶 ， y h 同 阶 .hl x 第 一 项 同 阶 ,（ 与 材 料 力 学 解 同 ） ;2)( hlq第 二 项 同 阶 , （ 弹 性 力 学 的 修 正 项 ）q 应 力 的 量 级)534()(6 22223 hyhyqyxlhq x 第 三 章 平 面 问 题 的 直 角 坐 标 解 答应 力 的 量 级当 时 , x l 同 阶 ， y h 同 阶 .hlxy )( hlq 同 阶 , （ 与 材 料 力 学 解 同 ）应 力 的 量 级 y q 同 阶 , （ 材 料 力 学 中 不 计 ） 2 236 ( )4xy q hx yh .)21)(1(2 2hyhyqy 第 三 章 平 面 问 题 的 直 角 坐 标 解 答当 时 , 量 级 的 值 很 小 ,可 以 不 计 。应 力 与 材 料 力 学 解 比 较 :最 主 要 量 级 , 和 次 要 量 级 ,在 材 料力 学 中 均 已 反 映 ， 且 与 弹 性 力 学 相 同 。2)(hlq hlq最 小 量 级 , 在 材 料 力 学 中 没 有 。 q当 时 , 仅 占 主 项 的 1/15 ( 6 %) ,hl yIMhl q 应 力 比 较 x 22 3(4 ),5y yq h h 中 的 弹 性 力 学 修 正 项 ： 第 三 章 平 面 问 题 的 直 角 坐 标 解 答弹 性 力 学 与 材 料 力 学 的 解 法 比 较 : 应 力 比 较 弹 性 力 学 严 格 考 虑 并 满 足 了 A内 的 平 衡微 分 方 程 ,几 何 方 程 和 物 理 方 程 ,以 及 S上 的所 有 边 界 条 件 (在 小 边 界 上 尽 管 应 用 了 圣 维 南原 理 ,但 只 影 响 小 边 界 附 近 的 局 部 区 域 )。 材 料 力 学 在 许 多 方 面 都 作 了 近 似 处 理 ,所 以 得 出 的 是 近 似 解 答 。 第 三 章 平 面 问 题 的 直 角 坐 标 解 答几 何 条 件 中 引 用 平 截 面 假 定 沿 为 直 线 分 布 ；bxh d xu ,y例 如 ：边 界 条 件 也 没 有 严 格 考 虑 ；平 衡 条 件 中 没 有 考 虑 微 分 体 的 平 衡 ， 只 考 虑 的 内 力 平 衡 ；材 料 力 学 解 往 往 不 满 足 相 容 条 件 。 第 三 章 平 面 问 题 的 直 角 坐 标 解 答 对 于 杆 件 ， 材 料 力 学 解 法 及 解 答 具 有足 够 的 精 度 ； 对 于 非 杆 件 ， 不 能 用 材 料 力 学 解 法 求解 ， 应 采 用 弹 性 力 学 解 法 求 解 。 第 三 章 平 面 问 题 的 直 角 坐 标 解 答1. 当 问 题 中 的 y轴 为 对 称 轴 时 ， 试 说 明 和 应 为 x的 偶 函 数 ， 而 应 为 x的奇 函 数 。 v yx , uxy,思 考 题2. 对 于 梁 的 弯 曲 问 题 ， 试 回 忆 在 材 料 力 学 中 是 如 何 考 虑 平 衡 条 件 的 ？ 第 三 章 平 面 问 题 的 直 角 坐 标 解 答 3. 试 说 明 从 弹 性 力 学 得 出 的 解 答 （ 3-6） 不 符 合 平 面 截 面 假 设 。 4. 材 料 力 学 的 解 答 往 往 不 满 足 相 容 条 件 ， 为 什 么 ？ 第 三 章 平 面 问 题 的 直 角 坐 标 解 答 3-5 楔 形 体 受 重 力 及 液 体 压 力 设 有 楔 形 体 ，左 面 垂 直 ， 顶 角 为 ，下 端 无 限 长 ， 受 重力 及 齐 顶 液 体 压 力 。,0 xf .1gfy oy xn 2g1g2 第 三 章 平 面 问 题 的 直 角 坐 标 解 答用 半 逆 解 法 求 解 。因 为 应 力 , 而 应 力 的 量 纲 只 比高 一 次 （ L），所 以 应 力 (x , y 一 次 式 ） , 即 可 假 设 应 力 为 x , y 的 一 次 式。 gg, 21 gg, 21 1 2( )g, g （ 1） 用 量 纲 分 析 法 假 设 应 力 : 第 三 章 平 面 问 题 的 直 角 坐 标 解 答（ 2） 由 应 力 关 系 式 ， 应 为 x,y的 三 次 式 ，（ 3） 满 足 相 容 方 程 .04 （ 4） 由 求 应 力 ， ,62 22 dycxxfy xx ,26 122 gybyaxyfx yy .222 cybxyxxy .3223 dycxyybxax 第 三 章 平 面 问 题 的 直 角 坐 标 解 答（ 5） 考 察 边 界 条 件 -本 题 只 有 两 个 大 边 界 ， 均 应 严 格 满 足 应 力 边 界 条 件 。 x=0 铅 直 面 ， ,)( 20 gy xx ,0)( 0 xxy 解 出 ;62gd .0c (a)解 出 第 三 章 平 面 问 题 的 直 角 坐 标 解 答tanyx 斜 边 界 上 ， ,0)( tan yxyxx ml .0)( tan yxxyy lm (b)须 按 一 般 的 应 力 边 界 条 件 来 表 示 ， 有 第 三 章 平 面 问 题 的 直 角 坐 标 解 答其 中 ,cos),cos( xnl .sin),cos( ynm由 式 （ b)解 出 a、 b,最 后 的 应 力 解 答 , 21 22 1 2 322 ,( cot cot ) (c) ( cot ) ,cot .xyxy gy g 2 g x g g y gx 应 力 第 三 章 平 面 问 题 的 直 角 坐 标 解 答水 平 截 面 上 的 应 力 分 布 如 图 所 示 。x yyx 第 三 章 平 面 问 题 的 直 角 坐 标 解 答楔 形 体 解 答 的 应 用 : 作 为 重 力 坝 的 参 考 解 答 ； 分 缝 重 力 坝 接 近 平 面 应 力 问 题 ； 在 坝 体 中 部 的 应 力 ， 接 近 楔 形 体 的 解 答 。 重 力 坝 规 范 规 定 的 解 法 材 料 力 学 解 法 （ 重 力 法 ） . 重 力 坝 的 精 确 分 析 ， 可 按 有 限 单 元 法 进 行 。 第 三 章 平 面 问 题 的 直 角 坐 标 解 答思 考 题 重 力 法 是 按 应 力 求 解 的 ， 试 回 忆 应 力分 量 必 须 满 足 哪 些 条 件 ？ 在 重力 法 中 考 虑 了 哪 些 条 件 ？ xyyx , , 第 三 章 平 面 问 题 的 直 角 坐 标 解 答例 题 1例 题 2例 题 3例 题 4 例 题 8例 题 7例 题 6例 题 5 第 三 章 平 面 问 题 的 直 角 坐 标 解 答 图 3-5 x xyM sFNF ydyy xl h/2 h/2o )1,( hl 例 题 1设 单 位 厚 度 的 悬 臂 梁 在 左 端 受 到 集 中 力 和 力 矩 的 作 用 ， 体 力可 以 不 计 ,图 3-5， 试 用 应 力 函 数求 解 应 力 分 量 。 332 DxyCyByAxy 第 三 章 平 面 问 题 的 直 角 坐 标 解 答解 ： 本 题 是 较 典 型 的 例 题 ， 已 经 给 出 了 应力 函 数 ， 可 按 下 列 步 骤 求 解 。1. 将 代 入 相 容 方 程 ， 显 然 是 满 足 的 。2. 将 代 入 式 (2-24)， 求 出 应 力 分 量 。 。)3( ,0 ,662 2DyA DxyCyB xyyx 第 三 章 平 面 问 题 的 直 角 坐 标 解 答3. 考 察 边 界 条 件 ： 主 要 边 界 上 应 精 确 满 足 式 (2-15),2/hy /2 2/2( ) 0, 3( ) 0, 0 . (a) 4y y hyx y h A Dh 满足；得 h/2 h/2l xyM sFNF 第 三 章 平 面 问 题 的 直 角 坐 标 解 答 在 次 要 边 界 x=0上 ， 只 给 出 了 面 力 的 主 矢量 和 主 矩 ， 应 用 圣 维 南 原 理 ， 用 三 个 积 分 的边 界 条 件 代 替 。 注 意 x=0是 负 x面 ， 图 3-5中 表示 了 负 x面 上 的 的 正 方 向 ， 由 此 得 ： xyx 和 第 三 章 平 面 问 题 的 直 角 坐 标 解 答 /2 0/2 ( ) d , ;2h Nx x Nh F y F B h 得/2 0 3/2 2( ) d , ;h x xh M y y M C h 得/2 3 0/2 1( ) d , . (b)4h xy x s sh y F Ah Dh F 得 h/2 h/2l xyM sFNF 第 三 章 平 面 问 题 的 直 角 坐 标 解 答由 (a),(b) 解 出 33 2 , . 2 s sF FA Dh h 最 后 一 个 次 要 边 界 条 件 (x=l上 )， 在 平衡 微 分 方 程 和 上 述 边 界 条 件 均 已 满 足 的 条 件下 ， 是 必 然 满 足 的 ， 故 不 必 再 校 核 。 第 三 章 平 面 问 题 的 直 角 坐 标 解 答代 入 应 力 公 式 ， 得 3 322 1212 , 0,3 (1 4 ).2 N sxy sxy F FM y xyh h h F yh h 第 三 章 平 面 问 题 的 直 角 坐 标 解 答例 题 2 挡 水 墙 的 密度 为 ， 厚 度为 b,图 示 ,水 的 密度 为 ， 试 求应 力 分 量 。 12 y ox2b 2bg1g2 第 三 章 平 面 问 题 的 直 角 坐 标 解 答解 ： 用 半 逆 解 法 求 解 。1. 假 设 应 力 分 量 的 函 数 形 式 。 因 为 在 y=-b/2边 界 上 ， y=b/2 边 界上 ， ， 所 以 可 假 设 在 区 域 内 沿 x 向 也 是 一 次 式 变 化 ， 即 ;0 ygxy 2y 。)(yxfy 第 三 章 平 面 问 题 的 直 角 坐 标 解 答2. 按 应 力 函 数 的 形 式 ， 由 推 测 的 形 式 ， 2 2 2 13 1 2( ), ( ) ( ) , 2( ) ( ) ( ).6y xf yx x f y f yx x f y xf y f y y 所 以 第 三 章 平 面 问 题 的 直 角 坐 标 解 答3. 由 相 容 方 程 求 应 力 函 数 。 代 入 得,04 .0dd2dddddd6 22424414443 yfxyfyfxyfx要 使 上 式 在 任 意 的 x处 都 成 立 ， 必 须 第 三 章 平 面 问 题 的 直 角 坐 标 解 答4 3 244 2 5 4 3 21 14 24 3 22 24d 0 , ;dd d2 0, ;d d 10 6d 0, .d f f Ay By Cy Dyf f A Bf y y Gy Hy Iyy yf f Ey Fyy 得得得 代 入 ， 即 得 应 力 函 数 的 解 答 ， 其 中 已略 去 了 与 应 力 无 关 的 一 次 式 。 第 三 章 平 面 问 题 的 直 角 坐 标 解 答 4. 由 应 力 函 数 求 解 应 力 分 量 。 将 代 入 式 (2-24) ,注 意 ， 体 力 求 得 应 力 分 量 为0 ,1 yx fgf 2 32 3 2 1 ( 3 ( 2 2 6 2 ) (6 2 ) ,x x B xf x Ayyx Ay By Gy H Ey F gx 2 3 22 ( ),y y yf x Ay By Cy Dx 2 2 2 4 3 2(3 2 )2 2 ( 3 2 ).2 3xy x Ay By Cx y A By y Gy Hy I 第 三 章 平 面 问 题 的 直 角 坐 标 解 答5. 考 察 边 界 条 件 ：主 要 边 界 上 ,有2/by /2 2( ) , y y b gx /2( ) 0,y y b /2( ) 0, yx y b 3 2 2( ) ; (a)8 4 2b b bx A B C D gx 3 2( ) 0; (b)8 4 2b b bx A B C D 2 2 4 3 23 ( )2 4 3 ( ) 0.32 12 4x bA Bb Cb b bA B G Hb I 得得 得 y ox2b 2bg1g2 第 三 章 平 面 问 题 的 直 角 坐 标 解 答由 上 式 得 到23 0 (c,d)4bA Bb C 4 3 23 0 (e,f )32 12 4b b bA B G Hb I 第 三 章 平 面 问 题 的 直 角 坐 标 解 答求 解 各 系 数 ， 由(a)+(b)(a)-(b) 3 21 , 8 2 2b bA C g 23 C 0 4bA 。2 21 , 4 2bB D g 3 21 , 8 2 2b bA C g (c)-(d)(c)+(d) 得得得得 第 三 章 平 面 问 题 的 直 角 坐 标 解 答由 此 得 2 232 3, .2A g C gb b 又 有 . 04332 )()( 0 )()( 24 IbGbAfe Hfe 得 ，得代 入 A,得 22 3 . (g)16 4b bI g G 第 三 章 平 面 问 题 的 直 角 坐 标 解 答在 次 要 边 界 （ 小 边 界 ） x=0上 ，列 出 三 个 积 分 的 边 界 条 件 ：0 0 2/2 0 2/2( ) 0, 0 , 0 ;( ) 0, ;( ) d 0, . (h)80 4x xxy xb xy xb F E b by I g G 得不满足得由 式 (g),(h)解 出 . 101 ,80 22 gbGgbI y ox2b 2bg1g2 第 三 章 平 面 问 题 的 直 角 坐 标 解 答代 入 应 力 分 量 的 表 达 式 得 最 后 的 应 力 解 答 ：3 32 2 2 13 3 32 3 2 322 23 32 3 4 , 52 1 (2 );3 23 3 (3 ) ( )4 10 80 xyxy g g g x y xy xy gxb b by y gx b by y y bgx gyb b b b y 。 第 三 章 平 面 问 题 的 直 角 坐 标 解 答例 题 3已 知 , )( );()( )( 422234 22222 EyDxyyCxyBxAxb yxCBxyxaAya 试 问 它 们 能 否 作 为 平 面 问 题 的 应 力 函 数 ？ 第 三 章 平 面 问 题 的 直 角 坐 标 解 答解 ： 作 为 应 力 函 数 ， 必 须 首 先 满 足 相 容 方 程 ，.04 将 代 入 ，(a) 其 中 A= 0， 才 可 能 成 为 应 力 函 数 ；(b)必 须 满 足 3(A+E)+C=0,才 可 能 成 为 应 力 函数 。 第 三 章 平 面 问 题 的 直 角 坐 标 解 答 b bAy xhOF Fb/2 )1,( bh图 中 所 示 的 矩 形 截 面柱 体 ， 在 顶 部 受 有 集中 力 F和 力 矩 的 作 用 ， 试 用 应 力 函数例 题 4 2FbM ,23 BxAx 求 解 图 示 问 题 的 应 力及 位 移 ， 设 在 A点 的位 移 和 转 角 均 为 零 。 第 三 章 平 面 问 题 的 直 角 坐 标 解 答解 ： 应 用 应 力 函 数 求 解 ：(1) 校 核 相 容 方 程 ， 满 足 .04 (2) 求 应 力 分 量 ， 在 无 体 力 时 ， 得.0 ,26 xyxy BAx (3) 考 察 主 要 边 界 条 件 ， , 0, 0 ,x xyx b 均 已 满 足 b bAy xhOF Fb/2 )1,( bh 第 三 章 平 面 问 题 的 直 角 坐 标 解 答考 察 次 要 边 界 条 件 ， 在 y=0上 ，0( ) 0, yx y 0( ) d ,b y yb x F 0( ) d ,2b y yb Fb x x 满 足 。 ;2FB b 28FA b 。得得 b bAy xhOF Fb/2 )1,( bh 第 三 章 平 面 问 题 的 直 角 坐 标 解 答 上 述 应 力 已 满 足 了 和 全 部 边 界 条件 ， 因 而 是 上 述 问 题 的 解 。 0 4 代 入 ， 得 应 力 的 解 答 ， .0 ),231(2 xyxy bxbF 第 三 章 平 面 问 题 的 直 角 坐 标 解 答(4) 求 应 变 分 量 ， 。0 ),231(2 ),231(2 xyyx bxEbF bxEbF 第 三 章 平 面 问 题 的 直 角 坐 标 解 答(5) 求 位 移 分 量 ， 3(1 ), 2 2xu F x xx Eb b 由对积分得3 (1 ), 2 2 yv F x yy Eb b 由对积分得2 13( ) ( );2 4F xu x f yEb b 23( ) ( ).2 2F xyv y f xEb b 第 三 章 平 面 问 题 的 直 角 坐 标 解 答将 u,v代 入 几 何 方 程 的 第 三 式 ，。0 xyyuxv 两 边 分 离 变 量 ， 并 全 都 等 于 常 数 ， 即 2 1 2d ( ) d ( ) 3 ,d d 4f x f y F yx y Eb 第 三 章 平 面 问 题 的 直 角 坐 标 解 答从 上 式 分 别 积 分 ， 求 出2 0( ) ,f x x v 21 023( ) 8 Ff y y y uEb 。代 入 u,v, 得 2 2 02 03 3( ) ,2 4 83( ) .2 2F x Fu x y y uEb b EbF xyv y x vEb b 第 三 章 平 面 问 题 的 直 角 坐 标 解 答再 由 刚 体 约 束 条 件 ，0,( ) 0,x y huy 0,( ) 0,x y hu 0,( ) 0,x y hv 234 F hEb ；20 38 F hEbu ；0 .2Fv hE b得得得 b bAy xhOF Fb/2 )1,( bh 第 三 章 平 面 问 题 的 直 角 坐 标 解 答 2 223 3( ) ( )2 4 83( )(1 )2 2F x Fu x h yEb b EbF xv h yEb b ，。代 入 u,v,得 到 位 移 分 量 的 解 答在 顶 点 x=y=0， 0( ) .2x y Fhv Eb 第 三 章 平 面 问 题 的 直 角 坐 标 解 答例 题 5 图 中 矩 形 截 面 的 简 支 梁 上 ， 作 用 有 三角 形 分 布 荷 载 。 试 用 下 列 应 力 函 数 , 33 3533 FxyExDxy yCxBxyyAx 求 解 应 力 分 量 。 y x6ql 3qllxqo h/2 h/2l )1,( lh 第 三 章 平 面 问 题 的 直 角 坐 标 解 答 解 ： 应 用 上 述 应 力 函 数 求 解 ：(1) 将 代 入 相 容 方 程 ， 。得 B35ABA ,012072 ,0 4由 此 ， 。FxyExDxyyCxBxyyBx 33353335 第 三 章 平 面 问 题 的 直 角 坐 标 解 答(2) 代 入 应 力 公 式 ， 在 无 体 力 下 ， 得 。， ， )33515( 6610 62010 224223 33 FDyCxByyBx ExCxyBxy DxyBxyyBx xyyx (3) 考 察 主 要 边 界 条 件 ),2/( hy /2, 0, yxy h 得2 2 4 215(3 )45 3( ) 016 4x C BhBh Dh F 。y x6ql 3qllxqo h/2 h/2l )1,( lh 第 三 章 平 面 问 题 的 直 角 坐 标 解 答对 于 任 意 的 x值 ，上 式 均 满 足 ， 由此 得 ,04153 2 BhC 。043165 24 FDhBh (a) (b) ,0)6345( ,0 ,2/ 3 EChBhxhy y .)6345(,2/ 3 lxqEChBhxlxqhy y (c)(d)y x6ql 3qllxqo h/2 h/2l )1,( lh 第 三 章 平 面 问 题 的 直 角 坐 标 解 答由 (3)+(4)得 。lqE 12由 (3)-(4)得 。lhqCBh 2345 2 由 (5)-(1)得 (e)。lhqClhqB 4 ,5 3 第 三 章 平 面 问 题 的 直 角 坐 标 解 答(4) 考 察 小 边 界 上 的 边 界 条 件 (x=0),由,6d)( 02/ 2/ qlyxhh xy 得 5 3 .16 4 6h h qlB D Fh 由 式 (2)和 (6)解 出 ).480( ),1013( 3 hllhqF lhhlqD （ f）y x6ql 3qllxqo h/2 h/2l )1,( lh 第 三 章 平 面 问 题 的 直 角 坐 标 解 答另 两 个 积 分 的 边 界 条 件 ， .0d)( ,0d)( 02/ 2/ 02/ 2/ yy y xhh x xhh x显 然 是 满 足 的 。 y x6ql 3qllxqo h/2 h/2l )1,( lh 第 三 章 平 面 问 题 的 直 角 坐 标 解 答 于 是 将 各 系 数 代 入 应 力 表 达 式 ， 得 最 后 的应 力 解 答 。 2 2 2 2 22 32 32 2 22 32 ( 2 ),10(1 3 4 ),2(1 4 )( 3 ).4 20 xyxy xy l x y q lh h hx y y q l h hq y l x h yh h lh l lh 第 三 章 平 面 问 题 的 直 角 坐 标 解 答 读 者 试 校 核 在 x=l的 小 边 界 上 ， 下 列 条件 是 满 足 的 ， .3d)( ,0d)( 0d)(2/ 2/2/ 2/2/ 2/ qlyyy y lxhh xy lxhh x lxhh x ， 第 三 章 平 面 问 题 的 直 角 坐 标 解 答例 题 6矩 形 截 面 的 柱 体 受 到顶 部 的 集 中 力 和力 矩 M的 作 用 ， 不 计体 力 ， 试 用 应 力 函 数求 解 其 应 力 分 量 。F2 332 DyCxyBxyAy M F245 qqhy xo b/2 b/2 )1,( bh 第 三 章 平 面 问 题 的 直 角 坐 标 解 答 解 ： 应 用 上 述 应 力 函 数 求 解 ：(1) 代 入 相 容 方 程 ， 满 足 。 ,04 (2) 求 应 力 分 量 ， 在 无 体 力 下 ， 。)3(,0 ,66 2CyB DyCxyAxyyx 第 三 章 平 面 问 题 的 直 角 坐 标 解 答(3)考 察 边 界 条 件 ， 在 主 要 边 界 ),2/( by 2/2, 0, 3 , . (a)4yyxy b q B Cb q 满足；. ,)3( d)( b/2 b/2-202/ 2/ bFAFDyAy Fy xhh x 得，在 小 边 界 （ x= 0） 第 三 章 平 面 问 题 的 直 角 坐 标 解 答/2 0/2 2 b/23 3-b/2( ) d , 2 ( 2 ) , ;2h x xh y y My MA Dy M D b 得 /2 0/2 b/23 2-b/2( ) d 1 ( ) (b)4h xy xh y F FBy Cy F B Cb b ，得。 第 三 章 平 面 问 题 的 直 角 坐 标 解 答再 由 (a),(b)式 解 出 ).3(21 ),(22 bFqBbFqbC 代 入 ， 得 应 力 解 答 ， 。22 32 )(6)3(21,0 ,12)(12 ybFqbbFq ybMxybFqbbFxyyx 第 三 章 平 面 问 题 的 直 角 坐 标 解 答例 题 7 试 用 应 力 函 数求 解 图 中 所 示 的 半 无 限 平 面 体 在的 边 界 上 受 均 布 压 力 q的 问 题 。 ,)arctan(2 22 xyxyyxq 0 x 第 三 章 平 面 问 题 的 直 角 坐 标 解 答 xoy 第 三 章 平 面 问 题 的 直 角 坐 标 解 答 解 ： 应 校 核 相 容 方 程 和 边 界 条 件 ， 若 这 些 量 均 满 足 ， 则 可 以 求 出 其 应 力 分 量 。 本 题 得 出 的 应 力 解 答 是 。22 2 22 22 ),(arctan ),(arctanyx yq yx xyxyq yx xyxyqxyyx 第 三 章 平 面 问 题 的 直 角 坐 标 解 答例 题 8 试 用 应 力 函 数 求 解 图 中 所 示 的 半 平 面 体 在 的 边 界 上受 均 布 切 力 q的 问 题 。 ,arctan)ln(21 222 yxyxyyxq 0 x 第 三 章 平 面 问 题 的 直 角 坐 标 解 答 xoq y 第 三 章 平 面 问 题 的 直 角 坐 标 解 答 解 ： 应 校 核 相 容 方 程 和 边 界 条 件 ， 若 这 些 量 均 满 足 ， 则 可 以 求 出 其 应 力 分 量 。本 题 得 出 的 应 力 解 答 是 。2222 2 22 222(arctan , ),2( yx xyxyq yx yq yx yyxlnqxyyx
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