李子奈计量经济学33多元线性回归

3.3 多 元 线 性 回 归 模 型 的 统 计 检 验 一 、 拟 合 优 度 检 验 二 、 方 程 的 显 著 性 检 验 (F检 验 ) 三 、 变 量 的 显 著 性 检 验 （ t检 验 ） 四 、 参 数 的 置 信 区 间 一 、 拟 合 优 度 检 验 1、 可 决 系 数 与 调 整 的 可 决 系 数则 22 22 )()(2)( )()( )( YYYYYYYY YYYY YYTSS iiiiii iiii 总 离 差 平 方 和 的 分 解 由 于 )()( YYeYYYY iiii ikiikiii eYXeXee 110 =0所 以 有 ： ESSRSSYYYYTSS iii 22 )()(注 意 ： 一 个 有 趣 的 现 象 222 222 YYYYYY YYYYYY YYYYYY iiii iiii iiii 可 决 系 数 TSSRSSTSSESSR 12该 统 计 量 越 接 近 于 1， 模 型 的 拟 合 优 度 越 高 。 问 题 ： 在 应 用 过 程 中 发 现 ， 如 果 在 模 型 中 增 加 一 个 解释 变 量 ， R2往 往 增 大 （ Why?) 这 就 给 人 一 个 错 觉 ： 要 使 得 模 型 拟 合 得 好 ， 只要 增 加 解 释 变 量 即 可 。 但 是 ， 现 实 情 况 往 往 是 ， 由 增 加 解 释 变 量 个 数引 起 的 R 2的 增 大 与 拟 合 好 坏 无 关 ， R2需 调 整 。 调 整 的 可 决 系 数 （ adjusted coefficient of determination） 在 样 本 容 量 一 定 的 情 况 下 ， 增 加 解 释 变 量 必 定使 得 自 由 度 减 少 ， 所 以 调 整 的 思 路 是 :将 残 差 平 方和 与 总 离 差 平 方 和 分 别 除 以 各 自 的 自 由 度 ， 以 剔除 变 量 个 数 对 拟 合 优 度 的 影 响 :)1/( )1/(1 2 nTSS knRSSR其 中 ： n-k-1为 残 差 平 方 和 的 自 由 度 ， n-1为 总 体 平方 和 的 自 由 度 。 11)1(1 22 kn nRR *2、 赤 池 信 息 准 则 和 施 瓦 茨 准 则 为 了 比 较 所 含 解 释 变 量 个 数 不 同 的 多 元 回 归 模 型的 拟 合 优 度 ， 常 用 的 标 准 还 有 : 赤 池 信 息 准 则 （ Akaike information criterion, AIC）nknAIC )1(2ln ee施 瓦 茨 准 则 （ Schwarz criterion， SC） nnknAC lnln ee 这 两 准 则 均 要 求 仅 当 所 增 加 的 解 释 变 量 能 够 减 少AIC值 或 AC值 时 才 在 原 模 型 中 增 加 该 解 释 变 量 。 Eviews的 估 计 结 果 显 示 ： 中 国 居 民 消 费 一 元 例 中 ： AIC=6.68 AC=6.83 中 国 居 民 消 费 二 元 例 中 ： AIC=7.09 AC=7.19从 这 点 看 ， 可 以 说 前 期 人 均 居 民 消 费 CONSP(-1)应包 括 在 模 型 中 。 二 、 方 程 的 显 著 性 检 验 (F检 验 ) 方 程 的 显 著 性 检 验 ， 旨 在 对 模 型 中 被 解 释 变量 与 解 释 变 量 之 间 的 线 性 关 系 在 总 体 上 是 否 显 著成 立 作 出 推 断 。 1、 方 程 显 著 性 的 F检 验 即 检 验 模 型 Yi=0+1X1i+2X2i+ +kXki+i i=1,2, ,n中 的 参 数 j是 否 显 著 不 为 0。 可 提 出 如 下 原 假 设 与 备 择 假 设 ： H 0： 0=1=2= =k=0 H1： j不 全 为 0 F检 验 的 思 想 来 自 于 总 离 差 平 方 和 的 分 解 式 ： TSS=ESS+RSS 由 于 回 归 平 方 和 2iyESS 是 解 释 变 量 X的 联 合 体 对 被 解 释 变 量 Y的 线 性 作 用 的 结 果 ， 考 虑 比 值 22/ ii eyRSSESS 如 果 这 个 比 值 较 大 ， 则 X的 联 合 体 对 Y的 解 释 程 度高 ， 可 认 为 总 体 存 在 线 性 关 系 ， 反 之 总 体 上 可 能 不 存在 线 性 关 系 。 因 此 ,可 通 过 该 比 值 的 大 小 对 总 体 线 性 关 系 进 行 推断 。 根 据 数 理 统 计 学 中 的 知 识 ， 在 原 假 设 H0成 立的 条 件 下 ， 统 计 量 )1/( / knRSS kESSF服 从 自 由 度 为 (k , n-k-1)的 F分 布 给 定 显 著 性 水 平 ， 可 得 到 临 界 值 F(k,n-k-1)，由 样 本 求 出 统 计 量 F的 数 值 ， 通 过 F F(k,n-k-1) 或 FF(k,n-k-1)来 拒 绝 或 接 受 原 假 设 H 0， 以 判 定 原 方 程 总 体 上 的线 性 关 系 是 否 显 著 成 立 。 对 于 中 国 居 民 人 均 消 费 支 出 的 例 子 ： 一 元 模 型 ： F=285.92 二 元 模 型 ： F=2057.3给 定 显 著 性 水 平 =0.05， 查 分 布 表 ， 得 到 临 界值 ： 一 元 例 ： F(1,21)=4.32 二 元 例 ： F(2,19)=3.52显 然 有 F F (k,n-k-1) 即 二 个 模 型 的 线 性 关 系 在 95%的 水 平 下 显 著 成 立 。 2、 关 于 拟 合 优 度 检 验 与 方 程 显 著 性 检验 关 系 的 讨 论 由 )1/( )1/(12 nTSS knRSSR )1/( / knRSS kESSF可 推 出 ： kFkn nR 1112 与或 )1/()1( / 2 2 knR kRF 在 中 国 居 民 人 均 收 入 -消 费 一 元 模 型 中 ，在 中 国 居 民 人 均 收 入 -消 费 二 元 模 型 中 ， 三 、 变 量 的 显 著 性 检 验 （ t检 验 ） 方 程 的 总 体 线 性 关 系 显 著 每 个 解 释 变 量 对 被解 释 变 量 的 影 响 都 是 显 著 的 因 此 ， 必 须 对 每 个 解 释 变 量 进 行 显 著 性 检 验 ，以 决 定 是 否 作 为 解 释 变 量 被 保 留 在 模 型 中 。 这 一 检 验 是 由 对 变 量 的 t 检 验 完 成 的 。 1、 t统 计 量 由 于 12 )()( XX Cov 以 cii表 示 矩 阵 (XX)-1 主 对 角 线 上 的 第 i个 元 素 ，于 是 参 数 估 计 量 的 方 差 为 ： iii cVar 2)( 其 中 2为 随 机 误 差 项 的 方 差 ， 在 实 际 计 算时 ， 用 它 的 估 计 量 代 替 : 11 22 knkn ei ee ),( 2 iiii cN 因 此 ， 可 构 造 如 下 t统 计 量 )1(1 kntkncSt ii iiii i ee 2、 t检 验 设 计 原 假 设 与 备 择 假 设 ： H1： i0 给 定 显 著 性 水 平 ， 可 得 到 临 界 值 t/2(n-k-1)，由 样 本 求 出 统 计 量 t的 数 值 ， 通 过 |t| t/2(n-k-1) 或 |t|t/2(n-k-1)来 拒 绝 或 接 受 原 假 设 H 0， 从 而 判 定 对 应 的 解 释 变量 是 否 应 包 括 在 模 型 中 。 H0： i=0 （ i=1,2k） 注 意 ： 一 元 线 性 回 归 中 ， t检 验 与 F检 验 一 致 一 方 面 ， t检 验 与 F检 验 都 是 对 相 同 的 原 假 设H0： 1=0 进 行 检 验 ; 另 一 方 面 ， 两 个 统 计 量 之 间 有 如 下 关 系 ： 22221222 1 22 212 2212 2 12)2( )2( )2()2( txn exne xnene xne yF iiii iii ii i 在 中 国 居 民 人 均 收 入 -消 费 支 出 二 元 模 型 例 中 ，由 应 用 软 件 计 算 出 参 数 的 t值 ： 651.2630.3306.3 210 ttt 给 定 显 著 性 水 平 =0.05， 查 得 相 应 临 界 值 ： t0.025(19) =2.093。可 见 ， 计 算 的 所 有 t值 都 大 于 该 临 界 值 ， 所 以拒 绝 原 假 设 。 即 :包 括 常 数 项 在 内 的 3个 解 释 变 量 都 在 95%的 水平 下 显 著 ， 都 通 过 了 变 量 显 著 性 检 验 。 四 、 参 数 的 置 信 区 间 参 数 的 置 信 区 间 用 来 考 察 ： 在 一 次 抽 样 中 所 估计 的 参 数 值 离 参 数 的 真 实 值 有 多 “ 近 ” 。 在 变 量 的 显 著 性 检 验 中 已 经 知 道 ： )1(1 kntkncSt ii iiii i ee 容 易 推 出 ： 在 (1-)的 置 信 水 平 下 i的 置 信 区 间 是 ( , ) i it s t si i 2 2其 中 ， t/2为 显 著 性 水 平 为 、 自 由 度 为 n-k-1的 临 界 值 。 在 中 国 居 民 人 均 收 入 -消 费 支 出 二 元 模 型 例 中 ,给 定 =0.05， 查 表 得 临 界 值 ： t0.025(19)=2.093计 算 得 参 数 的 置 信 区 间 ： 0 ： (44.284, 197.116) 1 ： (0.0937, 0.3489 ) 2 ： (0.0951, 0.8080)170.04515.0 061.02213.0 51.3670.120 2102 1 0 sss 从 回 归 计 算 中 已 得 到 ： 如 何 才 能 缩 小 置 信 区 间 ？ 增 大 样 本 容 量 n， 因 为 在 同 样 的 样 本 容 量 下 ， n越大 ， t分 布 表 中 的 临 界 值 越 小 ， 同 时 ， 增 大 样 本 容量 ， 还 可 使 样 本 参 数 估 计 量 的 标 准 差 减 小 ；提 高 模 型 的 拟 合 优 度 ， 因 为 样 本 参 数 估 计 量 的 标准 差 与 残 差 平 方 和 呈 正 比 ， 模 型 优 度 越 高 ， 残 差平 方 和 应 越 小 。提 高 样 本 观 测 值 的 分 散 度 ,一 般 情 况 下 ， 样 本 观测 值 越 分 散 ， (XX)-1的 分 母 的 |XX|的 值 越 大 ， 致使 区 间 缩 小 。