自变量趋于有限值时函数的极限

第 一 章 一 、 自 变 量 趋 于 有 限 值 时 函 数 的 极 限第 三 节 0)1( xx 0)2( xx 0)3( xx x)4( x)5( x)6(二 、 自 变 量 趋 于 无 穷 大 时 函 数 的 极 限本 节 内 容 : 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 函 数 的 极 限 (17)( ),y f x 自 变 量 变 化 过 程 的 六 种 形 式 :对 趋于有限值 趋于无穷大 一 、 自 变 量 趋 于 有 限 值 时 函 数 的 极 限1. 0 xx 时 函 数 极 限 的 定 义引 例 . 测 量 正 方 形 面 积 . 面 积 为 A )边 长 为(真 值 : ;0 x边 长面 积 2x直 接 观 测 值间 接 观 测 值 任 给 精 度 , 要 求 Ax2确 定 直 接 观 测 值 精 度 : 0 xx 0 xAx 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 定 义 1 . 设 函 数 )(xf 在 点 0 x 的 某 去 心 邻 域 内 有 定 义 ,0 ,0 当 00 xx 时 , 有 Axf )(则 称 常 数 A 为 函 数 )(xf 当 0 xx 时 的 极 限 ,Axfxx )(lim0 或 )()( 0 xxAxf 当即 ,0 ,0 当 ),( 0 xx 时 , 有若 记 作Axf )(Axfxx )(lim0几 何 解 释 :A A A x0 xy )(xfy 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 x0 xy )(xfyA A A 0 x0 x0 1x 0 2x 1 2min , 取 例 1. 证 明 )(lim0 为 常 数CCCxx 证 : Axf )( CC 0故 ,0 对 任 意 的 ,0 当 00 xx 时 , 0CC 因 此 0limx x C C 总 有 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 由 于重 要 结 论 : 常 数 的 极 限 就 是 它 本 身 . 证 毕 . 由 函 数 极 限 存 在 函 数 局 部 有 界(P36定 理 2)Axf )( ( ) ,A f x A 可 得这 表 明 : 例 2. 证 明 1)12(lim1 xx证 : Axf )( 1)12( x 12 x要 使,0取 ,2 则 当 10 x 时 , 必 有 不 等 式 1)12()( xAxf因 此 ,)( Axf 只 要 ,21 x1)12(lim1 xx 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 由 于 成 立 ,证 毕 . 例 3. 证 明 211lim 21 xxx证 : Axf )( 2112 xx 21 x故 ,0 取 , 当 10 x 时 , 2112xx 因 此 211lim 21 xxx 1 x 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 由 于 成 立 , 必 有 不 等 式证 毕 .注 意 : 本 题 中 在 处 无 定 义 .这 表 明 函 数 在 一 点 处 有 无 定 义 , 与 函 数 在 该 点 处 有无 极 限 无 关 ! 2 11xf x x 1x 例 4. 证 明 : 当 00 x证 : Axf )( 0 xx 001 xxx 要 使,0 且.0 x 而 0 x 可 用 0 xx因 此 ,)( Axf 只 要 ,00 xxx 00lim xxxx .lim 00 xxxx 时 00 xx xx 故 取 ,min 00 xx 则 当 00 xx 时 ,00 xxx 保 证 . 必 有 o x0 xx机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 由 于 成 立 , 证 毕 . 2. 保 号 性 定 理定 理 1 . 若 ,)(lim0 Axfxx 且 A 0 ,),( 0 时使 当 xx .0)( xf )0)( xf证 : 已 知 ,)(lim0 Axfxx 即 ,0 ,),( 0 x 当时 , 有 .)( AxfA当 A 0 时 , 取 正 数 ,A则 在 对 应 的 邻 域 上.0)( xf( 0) )( A 则 存 在( A 0 ) ),( 0 x),( 0 xx ),( 0 x (P37定 理 3) 0 x0 xA A A x0 xy )(xfy)0( 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 AxfA )(:0A :0A若 取 ,2A 则 在 对 应 的 邻 域 上 若 ,0)(lim0 Axfxx 则 存 在 使 当时 , 有 .2)( Axf 推 论 : 23)(2 AxfA 2)(23 AxfA ),( 0 x ,),( 0 x),( 0 xx (P37 推 论 ) 0 x0 xA A A x0 xy )(xfy 分 析 : 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 定 理 2 . 若 在 0 x 的 某 去 心 邻 域 内 0)( xf )0)( xf , 且 ,)(lim0 Axfxx 则 .0A )0( A证 : 用 反 证 法 . 则 由 定 理 1, 0 x 的 某 去 心 邻 域 , 使 在 该 邻 域 内 ,0)( xf 与 已 知所 以 假 设 不 真 , .0A(同 样 可 证 0)( xf 的 情 形 )思 考 : 若 定 理 2 中 的 条 件 改 为 ,0)( xf 是 否 必 有 ?0A不 是 ! 0lim 20 xx存 在 如 假 设 A 0 , 条 件 矛 盾 , 故 时 ,当 0)( xf 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 3. 左 极 限 与 右 极 限左 极 限 : )( 0 xf Axfxx )(lim0,0 ,0 当 ),( 00 xxx 时 , 有 .)( Axf右 极 限 : )( 0 xf Axfxx )(lim0,0 ,0 当 ),( 00 xxx时 , 有 .)( Axf定 理 3 . Axfxx )(lim 0 Axfxf xxxx )(lim)(lim 00 ( P38 题 8 )机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 例 5. 设 函 数 0,1 0,0 0,1)( xx xxxxf讨 论 0 x 时 )(xf 的 极 限 是 否 存 在 . xyo 11xy 1 1xy解 : 利 用 定 理 3 .因 为)(lim 0 xfx )1(lim0 xx 1)(lim0 xfx )1(lim0 xx 1显 然 ,)0()0( ff 所 以 )(lim0 xfx 不 存 在 .机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 二 、 自 变 量 趋 于 无 穷 大 时 函 数 的 极 限定 义 2 . 设 函 数 xxf 当)( 大 于 某 一 正 数 时 有 定 义 ,若 ,0X ,)(, AxfXx 有时当则 称 常 数 时 的 极 限 ,Axfx )(lim )()( xAxf 当或 ( )f x A XxXx 或记 作 ,0 xxf 当)( 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 A 为 函 数注 意 : x X( )f x A 即 为 : 即 为 :也 即 为 : AxfA )( 1X2X AA o xy )(xfyA几 何 解 释 :取 1 2max ,X X X 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 o xy )(xfyA AA XX直 线 y = A 为 曲 线 )(xfy 的 水 平 渐 近 线 .Axfx )(lim 例 6. 证 明 .01lim xx证 : 01x x1 取 ,1X ,时当 Xx 01x因 此 01lim xx注 :就 有 故 ,0 要 使 ,01 x即 ,1x o xy xy 1 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 .10 的 水 平 渐 近 线为 xyy 由 于 成 立 ,证 毕 . 直 线 y = A 仍 是 曲 线 y = f (x) 的 渐 近 线 .两 种 特 殊 情 况 :Axfx )(lim ,0 ,0X 当 Xx 时 , 有Axf )(Axfx )(lim ,0 ,0X 当 Xx 时 , 有Axf )(几 何 意 义 :例 如 ， xx xgxf 21)(,21)( 都 有 水 平 渐 近 线 .1y o xy x21x21 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 定 理 4 . lim ( )x f x A lim ( ) lim .x xf x f x A 内 容 小 结1. 函 数 极 限 的 及 X 定 义 及 应 用2. 函 数 极 限 的 性 质 :保 号 性 定 理与 左 右 极 限 等 价 定 理思 考 与 练 习1. 若 极 限 )(lim0 xfxx 存 在 , )()(lim 00 xfxfxx 2. 设 函 数 )(xf 且 )(lim1 xfx 存 在 , 则. a 3 例 3 作 业 1.3 1(1) (4); 2 (1) (5); 3 (1) (3) .预 习 :第 四 节 无 穷 小 与 无 穷 大 Th1 Th3Th2是 否 一 定 有 第 四 节 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 1,12 1,2 xx xxa ？Th4