曲面的法向量与切线方程

主 要 内 容平面点集和区域多元函数的极限多元函数连续的概念极限运算多元连续函数的性质多 元 函 数 概 念 全微分的应用高阶偏导数隐函数求导法则复合函数求导法则全微分形式的不变性方向导数全 微 分概 念偏 导 数概 念微分法在几何上的应用多元函数的极值 练 习 题1.3. . , , ), ,( 22222 yx zyzxzyxyfz 求设4. )( . , ), ,( 2223 二 阶 偏 导 数 连 续求设 fyx zyzxyxyfxz 2. . )( ),( 222222 xzfyxyxfz ， 求具 有 二 阶 导 数设 )( 二 阶 偏 导 数 连 续f5. . , 2 yx zezyx z 求设6. . , ),( ),( ),( 2 xvxugfyvxugv yvuxfu ， 求偏 导 数 连 续设 .lim)2( ,)(lim)1( 2200 xyyxyx xxy yxyx 求 极 限 1.解 )0(,sin ,cos )1( yx令 .0 )0,0(),( 等 价 于则 yx cos)cos(sin)(0 222 yx xxy cos)cos(sin ,2.0)(lim 2200 yx xxyyx故 .lim)2( ,)(lim)1( 2200 xyyxyx xxy yxyx 求 极 限 xyyxyx lim )2( xyyx 11lim .0 2. . )( ),( 222222 xzfyxyxfz ， 求具 有 二 阶 导 数设解 令 ,2222 yxyxu ).( ufz 则 z u xyz 型xududfxz ).22( 2 xxyf fxxyxxz )22( 222 u xyz 型f xfxxyxxyxf )22()22( 22 xudufdxxyyf )22()22( 22 )22()22()22( 222 xyxfxxyyf .)1(4)1(2 222 fyxfy 3. . , , ), ,( 22222 yx zyzxzyxyfz 求设 )( 二 阶 偏 导 数 连 续f解 令 ,xyu ;yv ).,( vufz 则记 ,1 uff ,12211 ufuff ,2 vff vfvu ff 1212 ,12222 vfvff .2221 ufuv ff 二 阶 偏导 连 续xuufxz ,1fy z uv xy 型vfyuufyz ,21 ffx xuufxz ,1fy vfyuufyz ,21 ffx 1f uv xy 型2f uv xy 型)( 122 fyxxz xfy 1 xuufy 1 .112 fy )( 2122 ffxyyz yffxy 21)( yfyfx 21 vfyuufvfyuufx 2211 22211211 ffxffxx .2 2212112 ffxfx )( 12 fyyyx z yfyf 11 vfyuufyf 111).( 12111 ffxyf 4. )( . , ), ,( 2223 二 阶 偏 导 数 连 续求设 fyx zyzxyxyfxz 解 令 ,xyu ;xyv ).,( 3 vufxz 则记 ,1 uff ,12211 ufuff ,2 vff vfvu ff 1212 ,12222 vfvff .2221 ufuv ff 二 阶 偏导 连 续 yvufxyz 3 ),( yfx 3 )(3 yvvfyuufx )1( 213 xfxfx .2214 fxfx f uv xy 型 yfxfxyz 221422 yy fxfx 2214 yfxyfx 2214 )()( 222114 yvvfyuufxyvvfyuufx )1()1( 2221212114 xfxfxxfxfx ,2 22123115 fxfxfx 2112 ff yvufxyz 3 ),( yfx 3 )(3 yvvfyuufx )1( 213 xfxfx .2214 fxfx xy zyx z 22 )( 2214 fxfxx xy zyx z 22 )( 2214 fxfxx xfxfxxfxfx 22221414 )()( 4 11413 xvvfxuufxfx 2 2222 xvvfxuufxfx 4 21211413 xyfyfxfx 2 2222122 xyfyfxfx .24 22114213 fyfyxfxfx 4 21211413 xyfyfxfx 2 2222122 xyfyfxfx 122114134 fyxfyxfx 2221222 fyfyxfx 4 11413 xvvfxuufxfx 2 2222 xvvfxuufxfx 5. . , 2 yx zezyx z 求设解 设 ,),( zezyxzyxF 则,1xF ,1yF ,1 zz eF zxFFxz ze 1 1 112 zyxyyx z ),( yxzz ,11 zyx2)1( )1( zyx yzzyFFyz ze 1 1 ,11 zyx 3)1( zyx zyx 6. . ,),(), ,( ), ,( 2 xvxugfyvxugv yvuxfu ， 求偏 导 数 连 续设解 令 ,uxs ;yvt 记 ,1 sff ,2 tff ,xu .2yv则 方 程 组 为 ). ,( ), ,( gv tsfu ,1 gg .2 gg方 程 组 两 端 对 x 求 偏 导 数 ： .,xgxgxv xttfxssfxu 方 程 组 两 端 对 x 求 偏 导 数 ： .,xgxgxv xttfxssfxu .2)1( ,)( 21 21 xvyvgxugxv xvfxuxufxu .2 ,1, ,xvyvx xux xvxt xuxuxs .)12( , )1( 121 121 gxvgyvxug fuxvfxufx 121 21 21 gyvg ffxD在 1 221 )12)(1( gfgyvfx 0的 条 件 下 ， 方 程 组 有 唯 一 解 。12 21 211 gyvg ffuD ,)12( 1 221 gfgyvfu 11 112 1 gg fufxD ).1( 111 fufxg ,)12)(1( )12( 1221 1 221 gfgyvfx gfgyvfuxu ,)12)(1( )1( 1221 111 gfgyvfx fufxgxv 7. 求 曲 线 ,417)1(3 ,49 222 222 zyx zyx （ 椭 球 面 ）（ 球 面 ）上 对 应 于 x = 1 处 的 切 线 方 程 和 法 平 面 方 程 。8. 试 证 曲 面 )0( aazyx 上 任 何 点 处的 切 平 面 在 各 坐 标 轴 上 的 截 距 之 和 等 于 a。的 最 短 距 离 之 间与 平 面求 旋 转 抛 物 面 2222 zyxyxz9. 求 极 值 。yxyxyxyxf ln10ln4),( 22 设10. 7. 求 曲 线 ,417)1(3 ,49 222 222 zyx zyx （ 椭 球 面 ）（ 球 面 ）上 对 应 于 x = 1 处 的 切 线 方 程 和 法 平 面 方 程 。解 将 x = 1 代 入 方 程 组 ， ,417)1(3 ,491 2222 zy zy解 方 程 组 得 ， ,1 ,5.0 ,1 ,5.0 zyzyx = 1 处 的 点 为 ).1 ,.50 ,1( ),1 ,.50 ,1( 21 MM将 所 给 方 程 的 两 端 对 x 求 导 ， 将 所 给 方 程 的 两 端 对 x 求 导 ， ,02)1(26 ,0222 dxdzzdxdyyx dxdzzdxdyyx )(xyy )(xzz ,3)1( , xdxdzzdxdyy xdxdzzdxdyy zy zyD 1 z 时 ， 0,23 xz zx zxdxdy .231 z xxyz xy xydxdz 方 程 组 有 唯 一 解 。, )1 ,0.5 ,1( 1 点对 M切 向 量 ,1 11 MxMx zyT ,2 ,2 ,1 , )1 ,0.5 ,1( 1 点对 M切 向 量 ,1 11 MxMx zyT ,2 ,2 ,1 切 线 方 程 .212 5.011 zyx法 平 面 方 程 0)1(2)5.0(2)1( zyx .022 zyx, )1 ,0.5 ,1( 2 点对 M切 向 量 ,1 22 MxMx zyT ,2 ,2 ,1切 线 方 程 .212 5.011 zyx法 平 面 方 程 0)1(2)5.0(2)1( zyx .0422 zyx 8. 试 证 曲 面 )0( aazyx 上 任 何 点 处的 切 平 面 在 各 坐 标 轴 上 的 截 距 之 和 等 于 a。证 曲 面 上 任 取 一 点 M (x0, y0, z0).设 .),( azyxzyxF ,21xFx ,21yFy .21zFz 曲 面 在 点 M (x0, y0, z0) 处 的 法 向 量2 1 ,2 1 ,2 1 000 zyxn 切 平 面 方 程 0)(2 1)(2 1)(2 1 000000 zzzyyyxxx 切 平 面 方 程 0)(2 1)(2 1)(2 1 000000 zzzyyyxxx ,000000 zyxzzyyxx .000 azzyyxx 点 M 在 曲 面 上 ， 因 此 .000 azyx 切 平 面 方 程化 为 截 距 式 .1000 azzayyaxx所 以 截 距 之 和 为 000 azayax )( 000 zyxa .a 9. 求 极 值 。yxyxyxyxf ln10ln4),( 22 设解 函 数 的 定 义 域 ： 00|),( yxyxDxyxfx 42 yyxfy 102 令 ,0 ,0解 得 ),35 ,34( ),35 ,34( ),2 ,1( ),2 ,1( 其 中 只 有 D)2 ,1( 是 驻 点 。,42 2xfxx ,1xyf .102 2yfyy 点 处 ，在 )2 ,1( ,06A ,1B ,29C ,0262 ACB因 此 ， 在 (1, 2)处 取 得 极 小 值 .2ln107)2,1( f 的 最 短 距 离 之 间与 平 面求 旋 转 抛 物 面 2222 zyxyxz10.解 ,),( 22 上 任 一 点为 抛 物 面设 yxzzyxP ,022 dzyxP 的 距 离 为到 平 面 则.2261 zyxd设 .)22(61),( 2 zyxzyxu则 问 题 就 是 在 条 件 022 yxz 下 ，求 2)22(61),( zyxzyxu 的 最 小 值 。构 造 函 数 ),()22(61),( 222 yxzzyxzyxF )4( ,0 )3( ,0)2)(22(31 )2( ,02)22(31 )1(,02)22(31 22 yxz zyxF yzyxF xzyxFzyx 令 .81z构 造 函 数 ),()22(61),( 222 yxzzyxzyxF 由 (1), (3) 得 ,41x由 (2), (3) 得 ,41y 代 入 (4) 得 ),81 ,41 ,41(即 得 唯 一 可 能 的 极 值 点 .647241414161min d 值 一 定 存 在 ，根 据 题 意 ， 距 离 的 最 小处 取 得 最 小 值 故 必 在 )81 ,41 ,41( .81z由 (1), (3) 得 ,41x由 (2), (3) 得 ,41y 代 入 (4) 得 ),81 ,41 ,41(即 得 唯 一 可 能 的 极 值 点 例 已 知 曲 面 的 方 程 为 ,sin xyxz 证 明 ： 曲 面 上 任 一点 处 的 切 平 面 通 过 某 一 定 点 。解 设 曲 面 上 任 一 点 为 M ( x0, y0, z0 ) . xyxxzx sin ,cossin xyxyxy xyxyzy sin ,cos xy曲 面 在 点 M ( x0, y0, z0 ) 处 的 法 向 量 为 1 ,cos ,cossin 00000000 xyxyxyxyn切 平 面 方 程 0)()(cos)(cos(sin 00000000000 zzyyxyxxxyxyxy 曲 面 在 点 M ( x0, y0, z0 ) 处 的 法 向 量 为 1 ,cos ,cossin 00000000 xyxyxyxyn切 平 面 方 程 0)()(cos)(cos(sin 00000000000 zzyyxyxxxyxyxy 0)sin(cos)cos(sin 000000000000 xyxzzxyyxxyxyxyM ( x 0, y0, z0 ) 是 曲 面 上 的 点 ， 因 此 ， .0sin 0000 xyxz切 平 面 方 程 .0cos)cos(sin 00000000 zxyyxxyxyxy因 此 ， 曲 面 上 任 一 点 处 的 切 平 面 均 通 过 原 点 (0, 0, 0)。