自动控制原理31稳定性和代数稳定判据

第 三 章 控 制 系 统 的 时 域 分 析 3-1 稳 定 性 和 代 数 稳 定 判 据 3-2 典 型 输 入 和 阶 跃 响 应 性 能 指 标 3-3 一 阶 系 统 的 时 域 分 析 3-4 二 阶 系 统 的 时 域 分 析 3-5 高 阶 系 统 的 时 域 分 析 3-6 稳 态 误 差 分 析 3-7 基 本 控 制 规 律 的 分 析 3-8 利 用 matlab进 行 时 域 分 析 研 究 自 动 控 制 系 统 在 典 型 输 入 信 号 作 用 下输 出 信 号 随 时 间 的 变 化 ， 称 为 自 动 控 制 系 统 的时 域 分 析 。 时 域 分 析 是 一 种 直 接 在 时 间 域 中 对 系 统 分析 的 方 法 ， 可 根 据 响 应 表 达 式 和 曲 线 分 析 系 统的 稳 、 快 、 准 等 性 能 ， 具 有 准 确 、 直 观 等 优 点 。第 三 章 控 制 系 统 的 时 域 分 析 重 点1. 二 阶 系 统 的 阶 跃 响 应 （ 尤 其 是 欠 阻 尼 ） 分 析及 动 态 性 能 的 改 善 方 法2. 稳 定 判 据 及 其 应 用3. 稳 态 误 差 的 计 算 与 减 小 ess的 措 施难 点 第 三 章 控 制 系 统 的 时 域 分 析 3 - 1 稳 定 性 和 代 数 稳 定 判 据 线 性 系 统 稳 定 的 充 要 条 件 ： 1 1 ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )m iig n jj s zC s s R s s K s p 1 1 1 11 ( )( ) ( ) ( ) jm i n p tig jn jjj s zc t L s L K a es p 设 系 统 处 于 全 零 平 衡 状 态 ， 现 选 单 位 脉 冲 信 号 作为 输 入 信 号 ， 即 ， 则 系 统 输 出 响 应 为 ：( ) 1R s 假 设 系 统 特 征 根 无 重 根 ， 则 1 1lim ( ) lim lim 0j jn np t p tj jt t tj jc t a e a e 稳 定 的 充 要 条 件 （ 续 ） 1( ) jn p tjjc t a e即 单 位 脉 冲 响 应 为 ： 系 统 稳 定 jp 具 有 负 实 部 系 统 稳 定 的 充 要 条 件 为 ：系 统 特 征 方 程 的 根 （ 即 闭 环 极 点 ） 都 为 负 实 数 或都 具 有 负 的 实 部 。 亦 即 ， 特 征 根 都 严 格 位 于 s左半 面 上 。从 系 统 稳 定 的 充 要 条 件 看 ， 要 判 断 一 个 系 统 是 否 稳定 ， 需 求 出 系 统 的 全 部 特 征 根 。 且 稳 定 性 是 系 统 的固 有 特 性 ， 与 系 统 的 结 构 和 参 数 有 关 ， 而 与 初 始 条件 和 外 作 用 无 关 。稳 定 的 充 要 条 件 （ 续 ） 22 1 0 0a s a s a 21 1 2 01.2 2 42a a a as a 二 阶 系 统 ： 210 , aaa当 均 大 于 零 时 ， 特 征 根 为 负 实 数 或 具 有 负 实 部 ，系 统 稳 定 。 01 0 1 10 aa s a s a 稳 定 的 充 要 条 件 （ 续 ）一 阶 系 统 ：当 大 于 0时 ， 特 征 根 为 负 ， 系 统 是 稳 定 的 。0 1,a a高 阶 系 统 的 稳 定 性 需 借 助 于 稳 定 性 判 据 。 即，若果系统特征方程出现缺项或系数符号互异的情况，系统肯定是不稳定的。劳 斯 （ Routh） 于 1877年 提 出 的 稳 定 性 判 据 能 够 判 定 一个 多 项 式 方 程 是 否 存 在 位 于 复 平 面 右 半 部 的 正 根 ， 而 不必 求 解 方 程 。 但 把 它 应 用 于 判 定 系 统 的 稳 定 性 时 ， 又 称为 代 数 稳 定 判 据 。劳 斯 稳 定 判 据 的 应 用 程 序 如 下 ：（ 1） 写 出 系 统 特 征 方 程 ： 。 并 整 理 成 如下 形 式 ： 1 ( ) 0 KG s 1 11 1 0 0n nn na s a s a s a 即，若系统特征方程出现缺项或系数符号互异的情况，系统肯定是不稳定的。不必再使用稳定判据进行判断。（ 2） 特 征 方 程 所 有 系 数 均 存 在 且 大 于 0， 这 是 系 统 稳 定的 必 要 条 件 。（ 3） 若 特 征 方 程 所 有 系 数 均 存 在 且 大 于 0， 则 按 下 面 的方 式 编 制 劳 斯 表 ： （ 2） 、 劳 斯 判 据 n n-2n-1 n-3 n-1 n-2 n n-31 n-1 n-1n n-3n-2 n-1a aa a a a -a ab =- =a aa a=a - an n-4 n-1 n-5 n-1 n-4 n n-52 n-1 n-1n n-5n-4 n-1a aa a a a -a ab =- =a aa a=a - a 三 、 劳 斯 判 据 的 应 用 例 1 3 23 2 1 0 0a s a s a s a 解 ： s3s2s1s0 a3 a1a2 a0 0a0 1 2 3 02a a a aa由 劳 斯 判 据 得 三 阶 系 统 稳 定 的 条 件 为 ：1 2 3 01. 0 ( 0,1,2,3); 2. 0ia i a a a a 例 2 05432 234 ssss 055435 61104 12 4621 01234 sssss解 ： 所 以 系 统 不 稳 ，且 有 两 个 右 根 。 例 3 02233 234 ssss解 ： 30262232 74718147 373293101234 同 乘 以 sssss 所 以 系 统 不 稳 ，且 有 两 个 右 根 。 为 简 化 计 算 ， 可 用 某 个 正 数 去 乘 或 除 劳 斯 表 中 任 意 一 行 ，不 会 改 变 稳 定 性 的 结 论 。 1、 如 果 劳 斯 表 第 一 列 中 出 现 0， 则 可 用 一 个 小 的正 数 代 替 它 ， 然 后 继 续 计 算 。这 种 情 况 系 统 肯 定 是 不 稳 定 的 ， 当 第 一 列 元 素 无 符号 改 变 ， 表 明 系 统 有 一 对 纯 虚 根 ； 有 符 号 改 变 时 ，表 明 系 统 有 s右 平 面 的 根 。劳斯判据两种特殊情况的处理I： 显 然 系 统 不 稳 ， 且 有 两 个 右 根 。0101211 02202101234 sssss 0122 234 ssss 解 ： 例 4 3-5 线 性 系 统 的 稳 定 性 分 析劳斯判据两种特殊情况的处理I： 2、 劳 斯 表 的 某 一 行 各 元 素 均 为 零 ， 说 明 特 征 方 程 有 关 于 原 点 对 称 的 根 .处 理 方 法 ： 利 用 全 零 行 的 上 一 行 构 筑 一 辅 助 多 项 式， 再 用 该 辅 助 多 项 式 的 导 函 数 替 代 全 零行 ， 继 续 计 算 。 3-5 线 性 系 统 的 稳 定 性 分 析劳斯判据两种特殊情况的处理II：在 这 种 情 况 下 ， 系 统 肯 定 不 稳 定 ； 而 且 对 称 于 原 点 的根 可 用 辅 助 方 程 求 得 。 s s s s s5 4 3 25 3 3 2 2 0例 。 解 ： 3-5 线 性 系 统 的 稳 定 性 分 析 .064.02322263323223411 324 01234 5 ssssssssss 求 导 ：辅 方 ： 全 0行4 3 2 2( ) 3 2 ( 1)( 2) 0Q s s s s s 由得 关 于 原 点 对 称 的 根 为 ： , 2j j 劳斯判据两种特殊情况的处理II： 1、 判 断 系 统 稳 定 性 （ 前 述 ）2、 分 析 系 统 参 数 变 化 对 稳 定 性 的 影 响 ：利 用 判 据 可 确 定 个 别 参 数 变 化 对 系 数 稳 定 性 的影 响 ， 以 及 使 系 统 稳 定 的 参 数 取 值 范 围 。 稳 定 判 据 的 应 用 ： 3-5 线 性 系 统 的 稳 定 性 分 析3、 确 定 系 统 的 相 对 稳 定 性4、 结 构 不 稳 定 系 统 及 其 改 进 措 施 试 确 定 使 系 统 稳 定 的 开 环 放 大 系 数 K 的 取 值 范 围 及 临 界 值 K P 例 6 单 位 反 馈 系 统 的 开 环 传 递 函 数 为 ：( ) (0.1 1)(0.25 1)k KG s s s s (0.1 1)(0.25 1) 0s s s K 由劳斯判据确定某参数的取值范围 3-5 线 性 系 统 的 稳 定 性 分 析解 ： 系 统 的 特 征 方 程 为 ：即 3 214 40 40 0s s s K 014 40 1 40 0K K 使 系 统 稳 定 的 开 环 放 大 系 数 K的 范 围 为 ：0 1 4K 临 界 放 大 系 数 为 ： 1 4 PK 由劳斯判据确定某参数的取值范围 ， 确 定 使 系 统 稳 定 的 临 界 值 （ K为 开 环 放 大 系 数 ） 例 7 单 位 反 馈 ： gk KG s s s s( ) ( 1)( 2) , gp pK Kg gk K KG s Ks s s2( ) ( 1)(0.5 1) 2解 ： 3 2( ) 3 2 0gD s s s s K i ga K1 0 0） ， 要 求 ； 3-5 线 性 系 统 的 稳 定 性 分 析系 统 特 征 方 程 ：由劳斯判据确定某参数的取值范围 2) 3 2 1 0 6; 0 6, 6g gg gpK KK K 3-5 线 性 系 统 的 稳 定 性 分 析系统参数变化对稳定性的影响g pKK K K0 3 32而 ， 所 以 有 ， 即 。 1、 判 断 系 统 稳 定 性 （ 前 述 ）2、 分 析 系 统 参 数 变 化 对 稳 定 性 的 影 响 ：利 用 判 据 可 确 定 个 别 参 数 变 化 对 系 数 稳 定 性 的影 响 ， 从 而 给 出 使 系 统 稳 定 的 参 数 取 值 范 围 。 稳 定 判 据 的 应 用 ：3、 确 定 系 统 的 相 对 稳 定 性4、 结 构 不 稳 定 系 统 及 其 改 进 措 施 系 统 的 相 对 稳 定 性 （ 稳 定 裕 度 ） ：虚 轴 是 系 统 的 临 界 稳 定 边 界 ， 我 们 以 特 征 方 程最 靠 近 虚 轴 的 根 与 虚 轴 的 距 离 来 表 示 系 统 的相 对 稳 定 性 或 稳 定 裕 度 。 一 般 越 大 系 统 的 稳定 度 越 高 。 s z 确 定 系 统 稳 定 裕 度 的 做 法 ：以 代 入 原 特 征 方 程 ， 得 到 以 z为 变 量 的 方 程 ；把 劳 斯 判 据 应 用 于 z方 程 ； 若 满 足 稳 定 的 充 要 条 件 ， 则 系 统 具 有 的 稳 定 裕 度 。 解 : 系 统 特 征 方 程 为 ：3 2( 1) 14( 1) 40( 1) 40 0z z z K 将 s=z-1代 入 特 征 方 程 得 ： 确定系统的相对稳定性 例 8 单 位 反 馈 系 统 的 开 环 传 递 函 数 为 ：( ) (0.1 1)(0.25 1)k KG s s s s 若 要 使 系 统 具 有 =1以 上 的 稳 定 裕 度 ， 试 确定 K 的 取 值 范 围 。 3 214 40 40 0s s s K 整 理 得 ： 3 211 15 (40 27) 0z z z K 确定系统的相对稳定性3 211 15 (40 27) 0z z z K 40 27 011 15 (40 27) 0K K 0.675 4.8K K=0.675时 ， 系 统 有 一 特 征 根 -1；K=4.8时 ， 系 统 有 一 对 特 征 根 -1 3.87j； 0413102 23 sss 1设例 9. ， 检 验 之 。解 : 1)先 判 原 系 统 稳 定 与 否 ：0ia 2 10 13 2 4 122 0D 所 以 稳 定 。0413102 23 sss 0142 23 zzz2)将 s = z-1代 入 中 得 到 ： 确定系统的相对稳定性显 然 ， 系 统 不 具 有 =1的 稳 定 裕 度 。 )10)(4()( sss KsG gk确定系统的相对稳定性答 案 ： (1) 0 560(2) 27 192KgKg 1、 判 断 系 统 稳 定 性 （ 前 述 ）2、 分 析 系 统 参 数 变 化 对 稳 定 性 的 影 响 ： 稳 定 判 据 的 应 用 ：3、 确 定 系 统 的 相 对 稳 定 性4、 结 构 不 稳 定 系 统 及 其 改 进 措 施结 构 不 稳 定 系 统 ： 仅 靠 调 整 参 数 无 法 稳 定 的 系 统 。改 造 措 施 ： 改 变 积 分 环 节 的 性 质 ; 引 入 比 例 微 分 环 节 。 系 统 的 特 征 方 程 为 ：3 2 1 2 0m mT s s K K K 缺 项 ， 不 稳 定一 般 ， 单 位 反 馈 系 统 ， 若 其 前 向 通 道 包 含 两 个 或两 个 以 上 的 积 分 环 节 ， 便 构 成 了 结 构 不 稳 定 系 统 。 KH11( ) HKG s s K K 3 21 1 1 2( ) (1 ) 0m H m H mD s T s K K T s K K s K K K 系 统 特 征 方 程 为 ： KH2( ) mm m HKG s T s s K K 3 2 1 2( ) 0m m H mD s T s s K K s K K K 系 统 特 征 方 程 为 ： 结构不稳定系统的改进措施K=K1KmK2 3 2( ) 0m dD s T s s K s K 系 统 特 征 方 程 为 ：