曲线积分习题课及选择题zhou

曲 线 积 分 习 题 课主 要 内 容典 型 例 题 一 、 主 要 内 容1. 两 类 曲 线 积 分 的 概 念 , 两 类 曲 线 积 分 的 性 质 及 两 类 曲 线 积 分 的 关 系 .2. 两 类 曲 线 积 分 的 计 算 方 法 .3. 格 林 公 式 , 平 面 曲 线 积 分 与 路 径 无 关 的 条 件 . 曲 线 积 分对弧长的曲线积分对坐标的曲线积分定义 ni iiiL sfdsyxf 10 ),(lim),( L dyyxQdxyxP ),(),( ),(),(lim 10 iiini iii yQxP 联系dsQPQdyPdx LL )coscos( 计算 dtf dsyxfL 22, ),(三 代 一 定 )( dtQP QdyPdxL ),(),(二 代 一 定 (与 方 向 有 关 ) 与路径无关的四个等价命题条件 在 单 连 通 开 区 域 D上 ),(),( yxQyxP 具 有 连 续 的 一 阶 偏 导 数 ,则 以 下 四 个 命 题 成 立 . L QdyPdxD 与 路 径 无 关内在)1( C DCQdyPdx 闭 曲 线,0)2( QdyPdxduyxUD 使内 存 在在 ),()3( xQyPD ,)4( 内在等价命题 .0:,)( : 22222 zyx RzyxCdsyzI C 其 中计 算例 CC dsyzdsI 21：解轮 换 对 称 性 数由 积 分 曲 线 化 简 被 积 函.3223 32 RRR 二 、 典 型 例 题 CC dszyxdszyx )(31)31 222（ C dsR2310 化 为 参 数 方 程 。 将解 C2 .0: 2222 zyx RzyxC ,243)2( 222 Rzzyx 得消 去 tRzC cos62: tRtRy cos6sin2 tRtRx cos6sin2 .20 t再 求 解 。 例. 计算,dsxI L其中L为双纽线)0()()( 222222 ayxayx解: 在极坐标系下它在第一象限部分为)40(2cos: 1 arL利用对称性 , 得sxI L d4 1 40 22 d)()(cos4 rrr 40 2 dcos4 a 222 a ,2cos: 22 arL yo x 思路: L QdyPdxI xQyP xQyP 0 L QdyPdxI ),( ),( 00 yx yx QdyPdxI 闭 合非 闭 闭 合 D dxdyyPxQI )(非 闭 补 充 曲 线 或 用 公 式 解xxyxyyP 2)2( 2 知 xyxxxQ 2)( 42 ,xQyP 即 10 410 2 )1( dyydxx故 原 式 .1523 xyo 11 A dyyxdxxyxI )()2( 422由 解myemyyeyyP xx cos)sin( yemyexxQ xx cos)cos( xQyP 即 (如 下 图 ) xyo )0,(aAMdxdyyPxQDAMOA )( D dxdym ,8 2am 0)(00 medx xaAO ,0 08 2 am .8 2am AMOA AOAOAOLI AMOA AOI ).1,0(),0,1(),1,0(),0,1(, 2: 2 分 别 为 ，为 闭 合 回 路， 其 中计 算练 习 DCBA ABCDLyx dyxxydxI L .1 yxL的 方 程 为解 ： L dyxxydxI 22 .2,2 2 yx PxQxQxyP 则设 .0I由 格 林 公 式 ， 的 路 径 。至 点 再 沿 直 线到 点沿 曲 线由 点 其 中求例 )0,2( 0),0,0()1,1( ,)(cos)12(: 2B yOxyA LdyxeydxexyI L yy L yyL dyxedxeydyxydxI cos12 )(cos112 )0,0( )1,1(012001 3 yexdydydxdxx .12 xPQ yx CAD BCxdxdyI DACB12 ,所 围 闭 区 域 为补 上 折 线 210 12y xdxdy .1sin1)(1sin1 )0,0( )1,1( exey dyye y )cos2(10 12 )12( dxex.11sin e 。功 最 大 ？ 并 求 此 最 大 功 所 做 的一 点 时 ， 使的 第 一 卦 限 部 分 上 的 哪沿 直 线 移 动 到 曲 面原 点 ， 问 将 质 点 从已 知 力 场例 FczbyaxO kxyjzxiyzF 1. 222222 ),( wvuA一 点 为设 曲 面 上 OA xydzzxdyyzdxW )(000000: twzvyuxOA 解 ： OA xydzzxdyyzdxW )(000000: twzvyuxOA 10:,: twtzvtyutxOA 10 )()()()()()( wtdvtutvtdutwtutdwtvt 10 23 dttuvw uvw )1( 222222 cwbvauuvwF ),( 333 cba .33abcW )1( 222222 cwbvauuvwF 1 02 02 02 222222 222cwbvau cwuvF bvuwF auvwFwvu 222222 cwbvau 31 选 择题BCC C区 域 总 位 于 人 右 侧人 沿 这 个 方 向 行 走 ，）（ 区 域 总 位 于 人 左 侧人 沿 这 个 方 向 行 走 ，）（ 顺 时 针 方 向）（逆 时 针 方 向）（ ） 。线 的 正 向 指 （平 面 有 界 闭 区 域 边 界 曲、 D C B A 5 C