曲线估计与回归分析

v社 会 科 学 统 计 软 件 SPSS教 程v第 七 章 曲 线 估 计 与 回 归 分 析 v 在 数 量 分 析 中 ， 经 常 会 看 到 变 量 与 变 量 之间 存 在 着 一 定 的 联 系 。 要 了 解 变 量 之 间 如 何发 生 相 互 影 响 的 ， 就 需 要 利 用 相 关 分 析 和 回归 分 析 。 本 章 介 绍 回 归 分 析 基 本 概 念 ， 回 归分 析 的 主 要 类 型 ： 曲 线 估 计 、 线 性 回 归 分 析 、非 线 性 回 归 分 析 。 v7.1 曲 线 估 计v7.2 回 归 分 析 基 本 概 念v7.3 线 性 回 归 分 析 7.1 曲线估计v 曲 线 估 计 即 曲 线 拟 合 ， 恰 当 的 曲 线 拟 合 方法 可 以 准 确 而 快 速 地 反 映 出 实 际 情 况 。v 在 曲 线 估 计 中 ， 一 般 首 先 绘 制 自 变 量 和 因变 量 间 的 散 点 图 ， 然 后 通 过 数 据 在 散 点 图 中的 分 布 特 点 选 择 所 要 进 行 回 归 分 析 的 类 型 。确 定 函 数 关 系 后 再 进 一 步 确 定 函 数 关 系 中 的未 知 参 数 ， 并 进 行 显 著 性 检 验 。 v 在 实 际 问 题 中 ， 用 户 往 往 不 能 确 定 究 竟 该 选择 何 种 函 数 模 型 更 接 近 样 本 数 据 ， 这 时 可 以 采用 曲 线 估 计 的 方 法 ， 其 步 骤 如 下 ： 1.根 据 实 际 问 题 本 身 特 点 ， 同 时 选 择 几 种 模型 ； 2.SPSS自 动 完 成 模 型 的 参 数 估 计 ， 并 显 示 R2、F检 验 值 、 相 伴 概 率 值 等 统 计 量 ； 3.选 择 具 有 R2统 计 量 值 最 大 的 模 型 作 为 此 问题 的 回 归 模 型 ， 并 作 一 些 预 测 。 vP144 线 性 估 计 示 例 利 用 数 据 文 件 “ Cars.sav” ， 对 horse和mpg两 变 量 进 行 曲 线 拟 合 （ 曲 线 估 计 ） 。 v关 键 数 值 说 明 ： 1. R： 自 变 量 与 因 变 量 的 相 关 系 数 ； 2. R2和 校 正 的 R2： 决 定 系 数 ， 度 量 建 立 的 函数 关 系 能 说 明 的 变 异 百 分 比 ； 3. 回 归 平 方 和 与 残 差 平 方 和 ： 用 回 归 方 程 来 描 述 变 量 之 间 的 统 计 关 系 时， 观 测 值 yi与 按 回 归 线 预 测 的 值 Yi并 不 一 定 完全 一 致 ， 即 各 观 测 点 (xi,yi)并 不 一 定 都 落 在 回归 线 上 ， 各 观 测 点 偏 离 回 归 线 的 程 度 ， 可 用它 们 的 总 偏 差 平 方 和 “ QT” 来 表 示 ， 即QT=(yi-Yi)2+(Yi-y)2， 其 中 y是 各 观 测 值 yi的 平 均 值 。 (Yi-y)2称 为 回 归 平 方 和 ， 其 越大 则 自 变 量 与 因 变 量 之 间 的 相 关 性 越 好 。 v (yi-Yi)2称 为 残 差 平 方 和 。 统 计 学 上 把 观测 点 与 它 在 回 归 直 线 上 相 应 位 置 的 差 异 称 残差 ， 把 每 个 残 差 的 平 方 后 加 起 来 称 为 残 差 平方 和 ， 它 表 示 随 机 误 差 的 效 应 。v 由 此 可 知 ， 总 偏 平 方 和 =残 差 平 方 和 +回 归平 方 和 。 7.2 回归分析的基本概念v 通 过 大 量 的 观 测 数 据 ， 可 以 发 现 变 量 之 间存 在 的 统 计 规 律 ， 并 用 一 定 的 数 学 模 型 表 示出 来 ， 这 种 用 一 定 模 型 来 表 述 变 量 相 关 关 系的 方 法 就 称 为 回 归 分 析 。 它 是 探 讨 变 量 间 数量 关 系 的 一 种 常 用 统 计 方 法 ， 通 过 建 立 变 量间 的 数 学 模 型 对 变 量 进 行 预 测 和 控 制 。 v 回 归 分 析 与 相 关 分 析 有 着 密 切 的 联 系 ， 他们 都 是 研 究 及 度 量 两 个 或 两 个 以 上 变 量 之 间关 系 的 方 法 。v 在 回 归 分 析 中 ， 变 量 y称 为 因 变 量 ， 处 于 被解 释 的 特 殊 地 位 ； 而 在 相 关 分 析 中 ， 变 量 y与变 量 x处 于 平 等 的 地 位 ， 研 究 变 量 y与 变 量 x的密 切 程 度 和 研 究 变 量 x与 变 量 y的 密 切 程 度 是一 样 的 。 v 在 回 归 分 析 中 ， 因 变 量 y是 随 机 变 量 ， 自 变 量x可 以 是 随 机 变 量 ， 也 可 以 是 非 随 机 的 确 定 变 量 ；而 在 相 关 分 析 中 ， 变 量 x和 变 量 y都 是 随 机 变 量 。v 相 关 分 析 是 测 定 变 量 之 间 的 关 系 密 切 程 度 ，所 使 用 的 工 具 是 相 关 系 数 ； 而 回 归 分 析 则 是 侧重 于 考 察 变 量 之 间 的 数 量 变 化 规 律 ， 并 通 过 一定 的 数 学 表 达 式 来 描 述 变 量 之 间 的 关 系 ， 进 而确 定 一 个 或 者 几 个 变 量 的 变 化 对 另 一 个 特 定 变量 的 影 响 程 度 。 v 回 归 分 析 主 要 解 决 以 下 几 方 面 的 问 题 ： 1.通 过 分 析 大 量 的 样 本 数 据 ， 确 定 变 量 之 间的 数 学 关 系 式 。 2.对 所 确 定 的 数 学 关 系 式 的 可 信 程 度 进 行 各种 统 计 检 验 ， 并 区 分 出 对 某 一 特 定 变 量 影 响 较为 显 著 的 变 量 和 影 响 不 显 著 的 变 量 。 3.利 用 所 确 定 的 数 学 关 系 式 ， 根 据 一 个 或 几个 变 量 的 值 来 预 测 或 控 制 另 一 个 特 定 变 量 的 取值 ， 并 给 出 这 种 预 测 或 控 制 的 精 确 度 。 v 在 实 际 中 ， 根 据 变 量 的 个 数 、 变 量 的 类 型以 及 变 量 之 间 的 相 关 关 系 ， 回 归 分 析 通 常 分为 一 元 线 性 回 归 分 析 、 多 元 线 性 回 归 分 析 、非 线 性 回 归 分 析 、 曲 线 估 计 、 时 间 序 列 的 曲线 估 计 、 含 虚 拟 自 变 量 的 回 归 分 析 和 逻 辑 回归 分 析 等 类 型 。 7.3 线性回归分析v 线 性 回 归 分 析 包 括 一 元 线 性 回 归 、 多 元 线 性回 归 和 多 元 逐 步 回 归 。v 线 性 回 归 对 数 据 的 要 求 ： 自 变 量 和 因 变 量 必 须 是 具 有 Scale测 度 水 平 的数 值 型 变 量 ， 分 类 变 量 必 须 为 二 元 的 哑 变 量 。（ 哑 变 量 ， 即 虚 拟 变 量 （ 又 称 虚 设 变 量 、 名 义变 量 ） ， 是 量 化 了 的 质 变 量 ， 通 常 取 值 为 0或 1。比 如 性 别 、 年 龄 、 宗 教 、 民 族 、 婚 姻 状 况 、 教育 程 度 等 。 ） v 在 实 际 问 题 中 ， 由 于 所 要 研 究 的 现 象 的 总体 单 位 数 一 般 是 很 多 的 ， 在 许 多 场 合 甚 至 是无 限 的 ， 因 此 无 法 掌 握 因 变 量 y总 体 的 全 部 取值 。 也 就 是 说 ， 总 体 回 归 方 程 事 实 上 是 未 知的 ， 需 要 利 用 样 本 的 信 息 对 其 进 行 估 计 。 显然 ， 样 本 回 归 方 程 的 函 数 形 式 应 与 总 体 回 归方 程 的 函 数 形 式 一 致 。 v线 性 回 归 模 型 的 建 立 步 骤 ： 1.根 据 数 据 资 料 作 散 点 图 ， 直 观 地 判 断 两 个 变 量之 间 是 否 大 致 成 一 直 线 关 系 ； 2.设 直 线 方 程 式 为 ， 如 果 与 实 际 值Y之 间 的 误 差 比 其 他 估 计 值 与 实 际 值 Y之 间 的 误差 小 ， 则 这 个 表 达 式 就 是 最 优 拟 合 直 线 模 型 ； 3.使 用 实 际 资 料 计 算 表 达 式 中 的 参 数 a和 b； 4.将 参 数 a和 b的 值 带 入 表 达 式 得 到 回 归 方 程 ； vP152 线 性 回 归 示 例 利 用 数 据 文 件 “ polishing.sav” ， 考 察 打磨 时 间 （ time） 能 否 由 产 品 的 直 径 大 小 （diam） 来 预 测 ， 即 估 计 变 量 time与 diam之 间的 函 数 关 系 。