数理方程第三章行波法与积分变换法

数 学 物 理 方 程 与 特 殊 函 数 第 3章 行 波 法 与 积 分 变 换 法 上 午 12时 5分1 第 三 章 行 波 法 与 积 分 变 换 法一 行 波 法3 适 用 范 围 ： 无 界 域 内 波 动 方 程 ， 等 1 基 本 思 想 ： 先 求 出 偏 微 分 方 程 的 通 解 ， 然 后 用 定 解 条 件 确 定特 解 。 这 一 思 想 与 常 微 分 方 程 的 解 法 是 一 样 的 。2 关 键 步 骤 ： 通 过 变 量 变 换 ， 将 波 动 方 程 化 为 便 于 积 分 的 齐次 二 阶 偏 微 分 方 程 。 数 学 物 理 方 程 与 特 殊 函 数 第 3章 行 波 法 与 积 分 变 换 法 上 午 12时 5分2 xxtxuxxu txxuatu ),()0,(),()0,( 0,22222 01 22222 tuaxu 01 22222 utax 01 22 utax 011 utaxtax tax 1tax 1 0 2 uu )( fu )()( 21 ffu atx atx2 x at 2 ttxx ttxx )()( 21 atxfatxfu tax 121 tax 121 数 学 物 理 方 程 与 特 殊 函 数 第 3章 行 波 法 与 积 分 变 换 法 上 午 12时 5分3 xxtxuxxu txxuatu ),()0,(),()0,( 0,22222 )()( 21 atxfatxfu )()()()0,( 21 xxfxfxu )()()()0,( 21 xxfaxfatxu Caxfxf x 021 d)(1)()( 2d)(21)(21)( 01 Caxxf x 2d)(21)(21)( 02 Caxxf x 2d)(21)(212d)(21)(21 00 CaatxCaatxu atxatx 1 1( ) ( ) ( )d2 2 x atx atu x at x at a 一 维 波 动 方 程 的 达 朗 贝 尔 公 式 行波法 1t2t 2f 1f 数 学 物 理 方 程 与 特 殊 函 数 第 3章 行 波 法 与 积 分 变 换 法 上 午 12时 5分4 1 1( , ) ( ) ( ) ( )d2 2 x atx atu x t x at x at a 结 论 ： 达 朗 贝 尔 解 表 示 沿 x 轴 正 、 反 向 传 播 的 两 列 波 速为 a波 的 叠 加 ， 故 称 为 行 波 法 。a. 只 有 初 始 位 移 时 ， 代 表 以 速 度 a 沿 x 轴 正 向 传 播 的 波 代 表 以 速 度 a 沿 x 轴 负 向 传 播 的 波 1( , ) ( ) ( )2u x t x at x at ( )x at ( )x at 4 解 的 物 理 意 义b. 只 有 初 始 速 度 时 ：假 使 初 始 速 度 在 区 间 上 是 常 数 ， 而 在 此 区 间 外 恒 等 于 01( , ) ( )d2 x atx atu x t a 1 1( , ) ( ) ( )u x t x at x at 数 学 物 理 方 程 与 特 殊 函 数 第 3章 行 波 法 与 积 分 变 换 法 上 午 12时 5分5 22 2|,| ,0 00 2 xttxt xxtt axeueu xuau atx atx saatxatx dsaseeexu 222 2)( 21)()(21解：将初始条件代入达朗贝尔公式 atx atx satxatx dseee 221)()(21 222 atx atxsatxatx eee 222 21)()(21 2)( atxe 1 1( , ) ( ) ( ) ( )d2 2 x atx atu x t x at x at a 5 达 朗 贝 尔 公 式 的 应 用 数 学 物 理 方 程 与 特 殊 函 数 第 3章 行 波 法 与 积 分 变 换 法 上 午 12时 5分6 1 1( , ) ( ) ( ) ( )d2 2 x atx atu x t x at x at a 1x x2xt 2x x at 影 响 区 域1x x at x1x x at t 1x 决 定 区 域 2x2x x at xx at x at依 赖 区 间t ( , )P x t x at C 特 征 线特 征 变 换行 波 法 又 叫 特 征 线 法 atx atx6 相 关 概 念 数 学 物 理 方 程 与 特 殊 函 数 第 3章 行 波 法 与 积 分 变 换 法 上 午 12时 5分7 2 222 2 ( , ), , 0( ,0)( ,0) ( ), ( ),u ua f x t x tt x u xu x x x xt 7 非 齐 次 问 题 的 处 理 (齐 次 化 原 理 )2 221 12 2 11 , , 0( ,0)( ,0) ( ), ( ),u ua x tt x u xu x x x xt 2 222 22 2 22 ( , ), , 0( ,0)( ,0) 0, 0,u ua f x t x tt xu xu x xt 利 用 叠 加 原 理 将 问 题 进 行 分 解 ： 1 2u u u 1 1 1( , ) ( ) ( ) ( )d2 2 x atx atu x t x at x at a 数 学 物 理 方 程 与 特 殊 函 数 第 3章 行 波 法 与 积 分 变 换 法 上 午 12时 5分8 2 222 22 2 22 ( , ), , 0( ,0)( ,0) 0, 0,u ua f x t x tt xu xu x xt 2 222 2 , ,( , )( , ) 0, ( , ),a x tt x xx f x xt 利 用 齐 次 化 原 理 ， 若 满 足 ：则 ： 2 0( , ) ( , , )dtu x t x t 令 ： 1t t 2 22 12 21 1, , 0( ,0)( ,0) 0, ( , ),a x tt x xx f x xt 数 学 物 理 方 程 与 特 殊 函 数 第 3章 行 波 法 与 积 分 变 换 法 上 午 12时 5分9 2 22 12 21 1, , 0( ,0)( ,0) 0, ( , ),a x tt x xx f x xt 11 ( )1 ( )1 1( , ) ( , )d ( , )d2 2x at x a tx at x a tx t f fa a 2 0 ( )0 ( )( , ) ( , , )d1 ( , )d d2t t x a tx a tu x t x t fa 从 而 原 问 题 的 解 为 ( )0 ( )1 1( , ) ( ) ( ) ( )d2 21 ( , )d d2 x atx att x a tx a tu x t x at x at afa 数 学 物 理 方 程 与 特 殊 函 数 第 3章 行 波 法 与 积 分 变 换 法 上 午 12时 5分10 0)( 22222 yuAByxuBAxu y Ax y Bx xuxuxu xuBuAxuBuAxu 22 yuyuyu yuuyuuyu 22 yuBuAyuBuAyxu 2 22222 )( yuAByxuBAxu 2 2 2 2 2 22 22 2 2 22 2 2 2 22 ( ) ( )2u u u u u uA AB B A B A A B Bu u uAB uBA 22)( uBuA 2222222 2 uBuABuA uu 22222 2 uuu 22222 )( uBuBAuA 数 学 物 理 方 程 与 特 殊 函 数 第 3章 行 波 法 与 积 分 变 换 法 上 午 12时 5分11 0)( 22222 yuAByx uBAxu Axy Bxy 02 u 2 2(d ) ( )d d (d ) d d d d 0y A B x y AB x y A x y B x 特 征 方 程 数 学 物 理 方 程 与 特 殊 函 数 第 3章 行 波 法 与 积 分 变 换 法 上 午 12时 5分12 xyxuexu xyyuyx uxu x ,0)0,(,)0,( ,0,032 2 222222 2d 2d d 3dy x y x xy 3 xy 02 u)()( 21 ffu )()3()0,( 212 xfxfexu x )()3(0)0,( 21 xfxfyxu Cxfxf )()3(31 21Cexf x 4343)3( 21 Cexf x 4343)( 9/1 2 Cexf x 4343)( 22 CeCeu xyxy 43434343 223 (d 3d )(d d ) 0y x y x )()3( 21 xyfxyf 22 4343 3 xyxy ee 例 1 解 定解 问 题解 数 学 物 理 方 程 与 特 殊 函 数 第 3章 行 波 法 与 积 分 变 换 法 上 午 12时 5分13 例 2 求 解 2 2 222 22sin (cos ) cos 0u u u ux x xx x y y y 解 ： 特 征 方 程 为2 2 2(d ) 2sin d d (cos ) (d ) 0y x x y x x 2 2(d sin d ) (d ) 0y x x x (d sin d d )(d sin d d ) 0y x x x y x x x d sin 1dd sin 1dy xxy xx 12coscosy x x Cy x x C 令 ： coscosx x yx x y 2 0u ( , ) ( ) ( )u ( , ) (cos ) (cos )u x y x x y x x y 数 学 物 理 方 程 与 特 殊 函 数 第 3章 行 波 法 与 积 分 变 换 法 上 午 12时 5分14 例 3 求 解 Goursat问 题2 22 2 , , 0( ), 0 (0) (0)( ), 0t xt xu u t x t tt xu x xu x x 其中解 ： 令 x t x t 2 00 220, 0, 0( ), 0( ), 0uuu 2 x 2t )()( 21 ffu 1 22( ) (0) ( )f f 1 22( ) ( ) (0)f f 2 12 2( , ) ( ) (0) ( ) (0)u f f 1 2(0) (0) (0)f f 1 2(0) (0) (0)f f ( , ) ( ) ( ) (0)2 2x t x tu x y 数 学 物 理 方 程 与 特 殊 函 数 第 3章 行 波 法 与 积 分 变 换 法 上 午 12时 5分15 思 考 题 ： 求 解 如 下 定 解 问 题2 22 24 25 , 0,( ,0)( ,0) sin , 3 ,u u y xt x u xu x x x xt 数 学 物 理 方 程 与 特 殊 函 数 第 3章 行 波 法 与 积 分 变 换 法 上 午 12时 5分16 二 积 分 变 换 法1 傅 立 叶 变 换 法( , ) ( , ) d1( , ) ( , ) d2 j x j xU t u x t e xu x t U t e 傅 立 叶 变 换 的 性 质 ( ) (j ) ( )n nf (x) F 微 分 性 j( ) af(x a) F e 位 移 性积 分 性 0 1( )d ( )jx f F 1( ) ( )f ax Fa a相 似 性傅 立 叶 变 换 的 定 义 )(j F(x)f )(2 F(x)f 偏 微 分 方 程 变常 微 分 方 程 数 学 物 理 方 程 与 特 殊 函 数 第 3章 行 波 法 与 积 分 变 换 法 上 午 12时 5分17 xxtxuxxu txxuatu ),()0,(),()0,( 0,22222 )(Ff(x) )(j F(x)f )(2 F(x)f ),(d )0,(d),()0,( 0),(d ),(d 2222 tUU ttUat tU例 1 解 定 解 问 题解 ： 利 用 傅 立 叶 变 换 的 性 质 taBtaAtU sincos),( ( ,0) ( )U A ( )( , ) ( )cos sinU t a t a ta ( )B a j)( eF)f(x j )(d0 F)f(x 数 学 物 理 方 程 与 特 殊 函 数 第 3章 行 波 法 与 积 分 变 换 法 上 午 12时 5分18 ( )( , ) ( )cos sinU t a t a ta j2)(2)( jjjj tatatata eeaee tatatata eeaee jjjj j )(j )(21)()(21 d)(d)(21)()(21),( 00 atxatxaatxatxtxu d)(21)()(21 atx atxaatxatx j)( eF)f(x j )(d0 F)f(x 数 学 物 理 方 程 与 特 殊 函 数 第 3章 行 波 法 与 积 分 变 换 法 上 午 12时 5分19 xxxu txxuatu ),()0,( 0,222 ,1)0,( 0),(d ),(d 22 U ttUat tUtaCetU 22),( 22 222221 ee x tatx eeta 222242 1 txetatxu 2242 1),( 2 2( , ) a tU t e 例 2 解 定 解 问 题解 ： 利 用 傅 立叶 变 换 的 性 质 1C xu 数 学 物 理 方 程 与 特 殊 函 数 第 3章 行 波 法 与 积 分 变 换 法 上 午 12时 5分20 2 拉 普 拉 斯 变 换 法00( ) ( ) d( ) ( ) dptptT p f t e tf t T p e p 拉 普 拉 斯 变 换 的 性 质 ( ) ( 1) ( 2) ( 1)( ) (0) (0) (0)n n n n nf (x) p F p p f p f f 微 分 性 1( ) ( )f ax Fa a相 似 性 拉 普 拉 斯 变 换 的 定 义 偏 微 分 方 程 变常 微 分 方 程 ( ) (0)f (x) pF p f 2 ( ) (0) (0)f (x) p F p pf f 数 学 物 理 方 程 与 特 殊 函 数 第 3章 行 波 法 与 积 分 变 换 法 上 午 12时 5分21 0,),0( 0,0)0,( 0,0,222 tNtu xxu txxuatu pNpU xx pxUapxpU ),0( 0,d ),(d),( 222 xapxap BeAepxU ),( , ) p xaNU x p ep pkeptk 1)2(erfc( , ) erfc( )2 xu x t N a t paxeptax 1)2(erfc例 3 解 定 解 问 题解 ： 对 t求 拉 氏 变 换 NA B p 数 学 物 理 方 程 与 特 殊 函 数 第 3章 行 波 法 与 积 分 变 换 法 上 午 12时 5分22 例 4 解 定 解 问 题解 ： 对 x求 傅 氏 变 换 xxxu txtxfxuatu ),()0,( 0,),(222 ),()0,( 0),(),(d ),(d 22 U ttFtUat tU 22 )(),(),( ap pFpU apeat 1tata etFetU 2222 ),()(),( 2 2 2 2 ( )0( ) ( , ) dta t a te F e 22122 ape ta ),(),()(),( 22 pFpUappU 对 t求 拉 氏 变 换 数 学 物 理 方 程 与 特 殊 函 数 第 3章 行 波 法 与 积 分 变 换 法 上 午 12时 5分23 22 222221 ee x tatx eeta 222242 1 d)(2 1),(2 1)(),( 0 )(44 2 222 t txtx etaxfetaxtxu 22 22 4 ( )4 01 1( ) d ( , ) d d2 2 ( ) xx t tte f ea t a t tata etFetU 2222 ),()(),( d),()( )(0 2222 tatta eFe 数 学 物 理 方 程 与 特 殊 函 数 第 3章 行 波 法 与 积 分 变 换 法 上 午 12时 5分24 xxtxu xxu txxtxutu ,sin)0,( ,0)0,( 0,sin2222 2222 sin),(ddsin),( p xpxUxxpxUp )1()1(j1),()1()1(j),( 222 ppUpUp 222 )1()1(j11),( pppU 例 5 解 定 解 问 题解 ： 对 t求 拉 氏 变 换对 x求 傅 氏 变 换 数 学 物 理 方 程 与 特 殊 函 数 第 3章 行 波 法 与 积 分 变 换 法 上 午 12时 5分25 1 )1()1(j11 22 pp xttxu sin),( 2 )1()1(j p 222 )1()1(j11),( pppU 1 数 学 物 理 方 程 与 特 殊 函 数 第 3章 行 波 法 与 积 分 变 换 法 上 午 12时 5分26 例 6 求 方 程 0,1,22 yxyxyxu满足边界条件 ， 2)0,( xxu yyu cos),1( 的解。 )(21 22 xgyxxu )()(61 2123 yfxfyxu 221 )0()()0,( xfxfxu yyffyyu cos)()1(61),1( 212 )0()( 221 fxxf )1(61cos)( 122 fyyyf 3 2 2 2 1 21 1cos ( (1) (0)6 6u x y x y y f f 1 2(1,0) (1) (0) 1u f f 3 2 2 21 1cos 16 6u x y x y y 解 法 一 ： 数 学 物 理 方 程 与 特 殊 函 数 第 3章 行 波 法 与 积 分 变 换 法 上 午 12时 5分27 0,1,22 yxyxyxu 2)0,( xxu yyu cos),1( 222),(dd pxxpxpUx pxpxpxUx 2),(dd 32 CpxpxpxU 2333),( 1),1( 2 p ppU ppp ppxpxpxU 13113),( 32233 161cos61),( 2223 yyxyxyxu解 法 二 ： 对 y求 拉 氏 变 换 2 31 11 3pC p p p 数 学 物 理 方 程 与 特 殊 函 数 第 3章 行 波 法 与 积 分 变 换 法 上 午 12时 5分28 2 22 2 2 22 , , 0(1 )( ,0) 0,( ,0) 1 ,1u u xt x tt x xu x xu x xt x 例 7 解 定 解 问 题解 ： 对 t取 拉 氏 变 换 222 )(),()(),( pGpxUFpUp 2 2 21( ), ( )(1 ) 1x G Fx x 1)()()()(),( 222222 pFpGp FpGpUx取 傅 立 叶变换其 中 2222222 )1(d ),(d1 1),( pxxx pxUxpxUp 数 学 物 理 方 程 与 特 殊 函 数 第 3章 行 波 法 与 积 分 变 换 法 上 午 12时 5分29 02 0 02 0 2 1 1 1( , ) ( ) ( ) sin ( ) sin ( ) ( ) sin1 1( ) ( )sin d ( )sin1 1( ) ( )dcos ( )sin1 1( ) ( )cos | cos d ( )sin1 1( ) sint t ttU t G t F t G t t F t tG t F tG t F tG t F tG t t 2 21 ( )sin1 1 1( ) ( )sin ( )sinF tt G F t G t 1)()()()(),( 222222 pFpGp FpGpU 数 学 物 理 方 程 与 特 殊 函 数 第 3章 行 波 法 与 积 分 变 换 法 上 午 12时 5分30 tGtFGttU sin)(11sin)(1)(),( 22 2 2 ( )(1 )x Gx d1j )( - 22 xG 22 j )()(1 GG x- - 22 dd1 x- 2- 22 dd1 121 x- - 2 dd1 121 2 x- - d1 1d21 2 x- 2 d1 121 xarctan21j -j( )sin ( ) 2jt te eF t F 22 1 11 12j1 txtx1 1( )sin j ( )sinjF t F t d1 11 12j1j 22 x tt )arctan()arctan(21 txtx j2( ) ( )1 ( )1 tf x t F eFx 数 学 物 理 方 程 与 特 殊 函 数 第 3章 行 波 法 与 积 分 变 换 法 上 午 12时 5分31 tGtFGttU sin)(11sin)(1)(),( 22 2 2 ( )(1 )x Gx xG arctan21)(12 tF sin)(1 )arctan()arctan(21 txtx j -j2 21 1( )sin ( ) 2jt te eG t G txtx arctanarctanj41 21 1 1( )sin j arctan arctan d4j xG t t t txtx xxxxxx |)1ln(21arctan41|)1ln(21arctan41 22 )1ln(21arctan)1ln(21arctan41 22 txtxtxtxtxtx 2211ln81arctanarctan41 tx txtxtxtxtx 2211ln81arctanarctan41 )arctan()arctan(21arctan2 tx txtxtxtxtx txtxxtu 2arctan d arctan ln(1 )2x xx x x c 数 学 物 理 方 程 与 特 殊 函 数 第 3章 行 波 法 与 积 分 变 换 法 上 午 12时 5分32 3 积 分 变 换 法 求 解 问 题 的 步 骤对 方 程 的 两 边 做 积 分 变 换 将 偏 微 分 方 程 变 为 常 微 分 方 程对 定 解 条 件 做 相 应 的 积 分 变 换 ， 导 出 新 方 程 变 的 为 定 解 条 件对 常 微 分 方 程 ， 求 原 定 解 条 件 解 的 变 换 式对 解 的 变 换 式 取 相 应 的 逆 变 换 ， 得 到 原 定 解 问 题 的 解4 积 分 变 换 法 求 解 问 题 的 注 意 事 项如 何 选 取 适 当 的 积 分 变 换定 解 条 件 中 那 些 需 要 积 分 变 换 ， 那 些 不 需 取如 何 取 逆 变 换思 考 利 用 积 分 变 换 方 法 求 解 问 题 的 好 处 是 什 么 ？ 数 学 物 理 方 程 与 特 殊 函 数 第 3章 行 波 法 与 积 分 变 换 法 上 午 12时 5分33 三. 三维波动方程的柯西问题 ),( ),( ,0 ,00 222222222 zyxtu zyxu Rzyxtzuyuxuatutt 222222 zuyuxuu 数 学 物 理 方 程 与 特 殊 函 数 第 3章 行 波 法 与 积 分 变 换 法 上 午 12时 5分34 球对称情形 cos sinsin cossinrz ry rx222222 zuyuxuu 222222 sin1sinsin11 ururrurrr所谓球对称是指u ,与无关，则波动方程可化简为 rurrratu 22222 1 rurruatu 222222 数 学 物 理 方 程 与 特 殊 函 数 第 3章 行 波 法 与 积 分 变 换 法 上 午 12时 5分35 rurruatu 222222 ),(),(),( rturtuzyxtu )(),0( rru )(),0( rrut )()0,( tgtu 0,0 tr半无界问题 数 学 物 理 方 程 与 特 殊 函 数 第 3章 行 波 法 与 积 分 变 换 法 上 午 12时 5分36 22222 )()( rruatru 这是关于 v = r u 的一维半无界波动方程. rurruatu 222222 )(),0( rrrru )(),0( rrrrut 0),( 0 rrtru 0,0 tr 22222 )(1 rruratu 数 学 物 理 方 程 与 特 殊 函 数 第 3章 行 波 法 与 积 分 变 换 法 上 午 12时 5分37 一般情形我们利用球平均法。从物理上看，波具有球对称性。从数学上看，总希望把高维化为一维情形来处理，并设法化为可求通解的情况。所谓球平均法，即对空间任一点（x，y，z），考虑 u 在以（x，y，z）为球心，r 为半径的球面上的平均值Strazrayraxurrtzyxu rS d ),(4 1),( 3212 d ),(41 20 0 321 trazrayraxu其中,cossin1 a ,sinsin2 a cos3 a为球的半径的方向余弦，,sin ddd .sin22 ddrdrdS cos sinsin cossinrz ry rx 数 学 物 理 方 程 与 特 殊 函 数 第 3章 行 波 法 与 积 分 变 换 法 上 午 12时 5分38 如把 x, y, z 看作参变量，则u是 r，t的函数，若能求出 ，再令u ,0r则).,(),(lim0 tzyxurtzyxur 为此把波动方程的两边在以x，y，z为中心，r为半径的球体 内积分，并应用G auss公式，可得rB ddr d d d 11 2222 22 SS SBB tt urranua SnuaVuaVu rrr（*1） 数 学 物 理 方 程 与 特 殊 函 数 第 3章 行 波 法 与 积 分 变 换 法 上 午 12时 5分39 同时有 d d d d 1 0 22222 S rBB tt utVutVu rr由（*1）(*2)可得 dd d 11 220 222 SS r urraut（*2）关于r 微分，得 dd u 11 22222 SS urrarrt（*3）利用球面平均值的定义，（*3）可写成 rurratur 22222（*4） 数 学 物 理 方 程 与 特 殊 函 数 第 3章 行 波 法 与 积 分 变 换 法 上 午 12时 5分40 （*4）又可改写为22222 )()( r urat ur 22222 )()( r urat ur rur t 0 rur tt 0 00 rur 0,0 tr d 41d 4 1 12 SS uSuru r 数 学 物 理 方 程 与 特 殊 函 数 第 3章 行 波 法 与 积 分 变 换 法 上 午 12时 5分41 通解为).()( 21 atrfatrfur 令 r 0，有).()(0 21 atfatf ).()()( 21 atfatfatf def 代入上式，得).()( ratfatrfur （*5）关于 r 微分，).()( ratfatrfruru 再令 r 0，有).(2),( 0 atftzyxuu r （*6） 22222 )()( r urat ur 数 学 物 理 方 程 与 特 殊 函 数 第 3章 行 波 法 与 积 分 变 换 法 上 午 12时 5分42 接下来，求满足初值的解。对（*5）关于 t 微分，).()()( ratfaatrfatur （*7）（*6）和（*7）相加即得).(2)(1)( atrfturarur 即 0)(1)()(2 tturarurrf把代入上式，得 d 41 1 S uu 数 学 物 理 方 程 与 特 殊 函 数 第 3章 行 波 法 与 积 分 变 换 法 上 午 12时 5分43 0d 41d 4)(2 11 tSS urtaurrrf 0d 4d 4 11 tSS tuarurr d d 41 11 SS arrr 数 学 物 理 方 程 与 特 殊 函 数 第 3章 行 波 法 与 积 分 变 换 法 上 午 12时 5分44 从而有atrrftzyxu )(2),( atrSS arrr d d 41 11 d d 41 11 SS ttt StaStat MatMat SS d 4 1d 4 1 22 ),( zyxM 数 学 物 理 方 程 与 特 殊 函 数 第 3章 行 波 法 与 积 分 变 换 法 上 午 12时 5分45 atrSar d 4 1 atrS trazrayraxar d ),(4 1 321 d ),(4 1 321 S tatazatayataxt Statt MatS d ),()(4 2 数 学 物 理 方 程 与 特 殊 函 数 第 3章 行 波 法 与 积 分 变 换 法 上 午 12时 5分46 StaStattzyxu MatMat SS d 4 1d 4 1),( 22 ddtatzatyatxtt sin ),cos,sinsin,cossin(41 20 0 Poisson公式 ddtatzatyatxt sin ),cos,sinsin,cossin(4 20 0 数 学 物 理 方 程 与 特 殊 函 数 第 3章 行 波 法 与 积 分 变 换 法 上 午 12时 5分47 四. 二维波动方程 ),( ),( ,0 ,00 2222222 yxtu yxu Ryxtyuxuatutt 如果我们把上述问题中的初值视为),(),( yxzyx ),(),( yxzyx 重复推导Poisson公式的过程，将会发现所得Poisson公式中不含第三个变量。降维法：由高维波动方程的柯西问题的解来求解低维波动方程柯西问题的方法。 由H adamard最早提出的。 数 学 物 理 方 程 与 特 殊 函 数 第 3章 行 波 法 与 积 分 变 换 法 上 午 12时 5分48 d 4 1d 4 1),( 22 MatMat SS tatattzyxu计算上述曲面积分。由于初始数据与第三个变量无关，因此，在 上的球面积分可由在圆域MatS 222 )()()(: atyxMat 上的积分得到。 d 41d 4 1 2 MatMat SS rata atr d 41d 41 )()( MatMat SS rara d 1412 22 Mat ra dd )()()( ),(21 222 Mat yxata 数 学 物 理 方 程 与 特 殊 函 数 第 3章 行 波 法 与 积 分 变 换 法 上 午 12时 5分49 ddat yxa ddat yxtatyxu atat 0 20 220 20 22)( )sin,cos(21 )( )sin,cos(21),( dd )()()( ),(21d 4 1 2222 MatMat yxatata S ddat yxa at 0 20 22)( )sin,cos(21因此 数 学 物 理 方 程 与 特 殊 函 数 第 3章 行 波 法 与 积 分 变 换 法 上 午 12时 5分50 物理意义惠更斯原理（无后效性现象）三维情形二维情形波的弥散（后效现象）