泰勒公式与极值问题

17.4 泰 勒 公 式 与 极 值 问 题 (2) 17.4.1 高 阶 偏 导 数 17.4.2 中 值 定 理 17.4.3 Taylor公 式 17.4.4 极 值 问 题 17.4.5 多 元 函 数 的 最 值 17.4.3 Taylor公 式 复 习 一 元 函 数 的 泰 勒 公 式 (带 拉 格 朗 日 余 项 ) ( 1)( ) 0 0 10 0 0( )( ) ( ) ( )! ( 1)!nn n nf x x xf x x x x xn n 200 0 0 0( )( ) ( ) ( )( ) ( )2!f xf x f x f x x x x x 0 0( , )f x h y k 0 00 1 ( , )! ini h k f x yi x y 1 0 01 ( , ).( 1)! nh k f x h y kn x y , ,lm mm m lm m lf ff fx x yx x y 其 中 , 0p pp r r p rp r p rr fh k f C h kx y x y 0 0( , ) ( , )f x y x y在 P 点 的 泰 勒 公 式 ( , ) x y 0 0 0 00 1 , ) ( ,! inif y x x y y f x yi x y 10 0 0 0 0 01 ( ) , ( .( 1)! nx x y y f x x x y y yn x y :证 明 分 析 0 0( ) ( , ), 0,1t f x th y tk t 设由 一 元 函 数 的 泰 勒 定 理 ,有 : ( ) ( 1)(0) (0) (0) ( )(1) (0) 1! 2! ! ( 1)!n nn n 0 1, 其 中,由 复 合 函 数 的 求 导 法 则( ) 0( ) ,mmm r r m rm r m rr ft C h k x y ( )见 上 段 练 习0 0( , ),mh k f x th y tkx y 1,2, , 1m n 代 入 上 式 ,即 得 . 说 明 ： (1)如 削 弱 定 理 3条 件 ，0 0( , )f x h y k 0 00 1 ( , )! ini h k f x yi x y 1 0 01 ( , ).( 1)! nh k f x h y kn x y 0 0( , )f x h y k ii 2 2( ), no h k 其 中定 理 4 n 则 有 0 0 0 0( , ) ( , )f x h y k f x y 0 0 0 0( , ) ( , )x yhf x y kf x y 0 02 2 ( , )1 22 xx xy yy x h y kh f hkf k f (0 1) 0 0 0 0( , ) ( , )f x h y k f x y 0 0 0 0( , ) ( , )x yhf x h y k kf x h y k (0 1) 微 分 中 值 定 理 例 9 求 函 数 )1ln(),( yxyxf 的 三 阶 麦 克 劳 林 公 式 .解 ,1 1),(),( yxyxfyxf yx ,)1( 1),(),(),( 2yxyxfyxfyxf yyxyxx ,)1( !2 333 yxyx f pp ),3,2,1,0( p,)1( !3 444 yxyx f pp ),4,3,2,1,0( p ,)0,0()0,0()0,0( yxyfxffyyxx yx ,)( )0,0()0,0(2)0,0( )0,0(2 22 2yx fyxyffx fyyxx yyxyxx ,)(2)0,0()0,0(3 )0,0(3)0,0()0,0( 332 233 yxfyfxy yfxfxfyyxx yyyxyy xxyxxx 又 0)0,0( f ,故 ,)(31)(21)1ln( 332 Ryxyxyxyx 其 中 ).10(,)1( )(41 ),(!41 44 43 yx yx yxfyyxxRP.135136 例 4 . 17.4.4 极 值 问 题 (以 二 元 为 例 )的 图 形观 察 二 元 函 数 22 yxe xyz 播 放 1. 极 值 的 定 义 小小 (1)(2)例 11 2 23 4(0,0) z x y函 数在 处 有 极 小 值 例 12 2 2( , )(0,0) g x y x y 函 数在 处 有 极 大 值 (0,0) 0,f 事 实 上同 理 (3)例 13 ( , )(0,0) h x y xy函 数在 处 无 极 值 :事 实 上 (0,0) 0,h (0,0) (0,0) ,U且 在 的 任 何 邻 域 内 (1). ,x y I III当 是 第 , 象 限 的 点 时 ,( , ) 0,h x y xy (2). ,x y II IV当 是 第 , 象 限 的 点 时 ,( , ) 0h x y xy (0,0) ,h 点 既 不 是 的 极 大 值 点 .h也 不 是 的 极 小 值 点 2、 多 元 函 数 取 得 极 值 的 必 要 条 件0 0( , ) ( , )x y U x y 综 上 所 述 ,有 但 不 是 极 值 点 . 仿 照 一 元 函 数 ， 凡 能 使 一 阶 偏 导 数 同 时 为 零的 点 ， 均 称 为 函 数 的 稳 定 点 (驻 点 ).稳 定 点 极 值 点注 意 ： 偏 导 存 在2 2 ,z x y 又 :函 数如 (0,0) ,在 不 可 微 ,不 是 稳 定 点(0,0) .但 是 它 的 极 值 点问 题 ： 如 何 判 定 一 个 稳 定 点 是 否 为 极 值 点 ？ 3. 极 值 的 充 分 条 件 代 数 准 备 : 二 元 ( 实 )二 次 型 . 2 2( , ) 2g x y ax bxy cy 其 矩 阵 为 : a bb c 充 分 条 件 的 讨 论 0 0 0 0( , ) ( , )f x h y k f x y 2 20 01( ) ( ) ( )2!h k f P h k f Px y x y 0 0( ) ( )x yf P h f P k 2 2 20 0 01 ( ) 2 ( ) ( ) ( )2! xx xy yyf P h f P hk f P k 0 0 0 0( , ) ( , )f x h y k f x y 2 2 21 2 ( )2 Ah Bhk Ck 于 是 由 上 述 代 数 准 备 , 有 综 上 , 有 以 下 定 理 . P.138例 6:解 :由 方 程 组 2 6 010 10 0 xyf xf y 0(3, 1),f P 得 的 稳 定 点 2 0, 0, 10,xx xy yyf f f 0 xx xyxy yy Pf ff f 2 00 10 20 0 0 (3, 1) 8.f P f 在 取 得 极 小 值 ,f又 处 处 存 在 偏 导 数(3, 1) .f 为 的 唯 一 极 值 点 P.138例 72 0: 0 xyf x yf x 由 方 程 组解 (0,0),f得 的 稳 定 点 为 原 点 2, 1, 0,xx xy yyf f f (0,0) 2 1 1 01 0 xx xyxy yyf ff f (0,0) .f 不 是 的 极 值 点 ,f又 处 处 存 在 偏 导 数 .f 没 有 极 值 点 求 函 数 ),( yxfz 极 值 的 一 般 步 骤 ： 第 一 步 解 方 程 组 ,0),( yxfx 0),( yxfy 求 出 二 阶 偏 导 数 的 值 A、 B、 C. P.138例 8:分 析 326 8 0(0,0) 2 3 0 xyf xy xf y x 原 点 为 方 程 组 的 根 .(0,0) ,f 为 的 稳 定 点26 24 , 6 , 2,xx xy yyf y x f x f (0,0) 0 0 00 2xx xyxy yyf ff f 6 (0,0) .f定 理 无 法 判 定 ,原 点 是 否 为 的 极 值 点改 用 初 等 方 法 来 判 定 ! :解 oy x 2y x22y x 2 22x y x 当 时 , 2 2( , ) 2 0;f x y y x y x 2 2, 2y x y x 而 当 或 时 , 2 2( , ) 2 0;f x y y x y x (0,0)f 在 原 点 不 可 能 取 得 极 值 .(0,0) 0,f 17.4.5 多 元 函 数 的 最 值求 最 值 的 一 般 方 法 ： 将 函 数 在 D内 的 所 有 稳 定 点 处 的 函 数 值 及在 D的 边 界 上 的 最 大 值 和 最 小 值 相 互 比 较 ， 其中 最 大 者 即 为 最 大 值 ， 最 小 者 即 为 最 小 值 . 与 一 元 函 数 相 类 似 ， 我 们 可 以 利 用 函 数 的极 值 来 求 函 数 的 最 大 值 和 最 小 值 . ( 1 , 2 ) 1f 2(0, ) 2 4f y y y 2( , 4 ) 5 18 16f x x x x max ( , )D f x y max (1,2) , (0,1) , (1.8, 2.2) , (0,0) , (0,4) , (4,0)f f f f f fmax 1 , 2 , 0.2 , 0 , 16 , 24 2min ( , )D f x y min 1, 2, 0.2, 0, 16, 24 24 AB C证 明 ： 2 tan tan tan2 2 2S a 2 tan tan tan2 2 2a , 0, , 其 中 , 0, 0, 即 ,a 令 2 2 22 2 21 sec sec 0,2 2 21 sec sec 0;2 2 2S aS a 解 之 ， 得 (定 义 域 内 的 唯 一 解 )： 2 2, , ,3 3 2 .3 2 2,3 3S SS S 2 22 24 3 2 32 3 4 3a aa a 436a 0,2 2,3 3 0,S 2 2 , 0, 0,3 3 S 是 在 定 义 域 内 的 极 小 点 , .S由 问 题 的 实 际 意 义 , 在 定 义 域 内 存 在 最 小 值 0, 0, ,S 而 在 定 义 域 内 处 处 存 在 偏 导 数2 2,3 3 是 唯 一 极 小 点 ,必 是 最 小 点 .2 ,3 ABC 故 时 的 面 积 最 小 .外 切 三 角 形 中 以 正 三 角 形 的 面 积 为 最 小 . ( , )i ix yy ax b i iax b y :解 y ax b 设 所 求 直 线 方 程 为( , ),i in x y所 测 得 的 个 点 为( 1,2, , ).i n , ,a b问 题 即 确 定 使 得 : 2 21( , ) , ( , )n i iif a b ax b y a b R为 最 小 . o xy ( , )i ix yy ax b i iax b y o xy令 112 0,2 0;na i i iinb i iif x ax b yf ax b y 21 1 11 1 , ;n n ni i i ii i in ni ii ia x b x x ya x bn y 即 , :解 之 得 a 1 1 1221 1 ,n n ni i i ii i in ni ii in x y x yn x x b 21 1 1 1221 1n n n ni i i i ii i i in ni ii ix y x y xn x x , aa abab bb a bf ff f 21 112 22 2n ni ii in ii x xx n 221 14 4n ni ii in x x 0, , 0,aa a bf ,a b f 是 在 的 极 小 点 , , .a b f由 问 题 的 实 际 意 义 , 是 的 最 小 值 点 最 值 的 求 法 ：(1).有 界 闭 区 域 上 的 连 续 函 数 ， 一 定 存 在 最 值求 “ 可 疑 点 ” 的 函 数 值 稳 定 点 不 可 导 点 求 边 界 上 的 最 值 比 较 大 小 求 最 值 (2).有 时 可 由 问 题 的 实 际 意 义 判 定 练 习 题 解 答 5.判 断 正 确 与 错 误 ， 对 的 证 明 ， 错 的 举 出 反 例 ： 练 习 题 解 答 0 0解 ： 所 以 ， 存 在 最 大 值 与 最 小 值 。 解 ： 2 2( 6 )( 6 ) (3 ) 94 xx xyxy yyz z x y a xy az z 解 ： 唯 一稳 定 点 0 0 02 2, , ,3 3 3xx xy yyCP C P P C 0 ,3 3C CP 其 中 5.判 断 正 确 与 错 误 ， 对 的 证 明 ， 错 的 举 出 反 例 ： （ ） （ ） （ ） ,0)1( )(2)1( 22222 yx yxxyxzx ,0)1( )(2)1( 22222 yx yxyyxzy 得 驻 点 )21,21( 和 )21,21( , 解 由 即 边 界 上 的 值 为 零 .,21)21,21( z ,21)21,21( z 所 以 最 大 值 为 21 ， 最 小 值 为 21 . 因 为 01lim 22 yx yxyx 解 先 求 函 数 在 D内 的 驻 点 ，xyo 6 yxD D 如 图 , 解 方 程 组 22 2( , ) 2 (4 ) 0( , ) (4 ) 0 xyf x y xy x y x yf x y x x y x y 且 4)1,2( f ,再 求 ),( yxf 在 D边 界 上 的 最 值 ， 在 边 界 0 x 和 0y 上 0),( yxf , 在 边 界 6 yx 上 ， 即 xy 6 于 是 )2)(6(),( 2 xxyxf , 得 4,0 21 xx ,2|6 4 xxy,64)2,4( f 比 较 后 可 知 4)1,2( f 为 最 大 值 ,64)2,4( f 为 最 小 值 . xyo 6 yxD 的 图 形观 察 二 元 函 数 22 yxe xyz 17.4.4 极 值 问 题 (以 二 元 为 例 ) 的 图 形观 察 二 元 函 数 22 yxe xyz 17.4.4 极 值 问 题 (以 二 元 为 例 ) 的 图 形观 察 二 元 函 数 22 yxe xyz 17.4.4 极 值 问 题 (以 二 元 为 例 ) 的 图 形观 察 二 元 函 数 22 yxe xyz 17.4.4 极 值 问 题 (以 二 元 为 例 ) 的 图 形观 察 二 元 函 数 22 yxe xyz 17.4.4 极 值 问 题 (以 二 元 为 例 ) 的 图 形观 察 二 元 函 数 22 yxe xyz 17.4.4 极 值 问 题 (以 二 元 为 例 ) 的 图 形观 察 二 元 函 数 22 yxe xyz 17.4.4 极 值 问 题 (以 二 元 为 例 ) 的 图 形观 察 二 元 函 数 22 yxe xyz 17.4.4 极 值 问 题 (以 二 元 为 例 ) 的 图 形观 察 二 元 函 数 22 yxe xyz 17.4.4 极 值 问 题 (以 二 元 为 例 )返 回