文科经管类微积分第九章常微分方程

高 等 院 校 非 数 学 类 本 科 数 学 课 程 脚 本 编 写 ： 教 案 制 作 ：微分方程的基本概念 上 页 下 页 铃结 束返 回首 页 设 所 求 曲 线 的 方 程 为yy(x). 例 1. 一 曲 线 通 过 点 (1, 2), 且 在 该 曲 线 上 任 一 点 M(x, y)处的 切 线 的 斜 率 为 2x, 求 这 曲 线 的 方 程 . 根 据 导 数 的 几 何 意 义 , 可知 未 知 函 数 yy(x)应 满 足解 : 此 外 , 未 知 函 数 yy(x)还 应 满足 下 列 条 件 : 由 (1)式 得 ，其 中 C是 任 意 常 数 . xdxy 2 , 即 Cxy 2 , xdxdy 2 . (1)x1时 , y2. (2) 把 条 件 “ x1时 , y2”代 入(3)式 , 得 212C, C1.把 C1代 入 (3)式 , 得 所 求 曲 线方 程 : yx21. (3)即下 页 上 页 下 页 铃结 束返 回首 页 微 分 方 程 常 微 分 方 程 与 偏 微 分 方 程 未 知 函 数 是 一 元 函 数 的 微 分 方 程 , 叫 常 微 分 方 程 . 未 知 函数 是 多 元 函 数 的 微 分 方 程 , 叫 偏 微 分 方 程 . 下 页 凡 含 有 未 知 函 数 的 导 数 或 微 分 的 方 程 叫 微 分 方 程 .例 ,xyy ,e32 xyyy ,yxxz ,0dd)( 2 xxyxy .)(dd 2 xy xxy 上 页 下 页 铃结 束返 回首 页 例 2. 列 车 在 平 直 线 路 上 以 20m/s的 速 度 行 驶 ; 当 制 动 时 列车 获 得 加 速 度 0.4m/s2. 问 开 始 制 动 后 多 少 时 间 列 车 才 能 停 住 , 以 及 列 车 在 这 段 时 间 里 行 驶 了 多 少 路 程 ? 解 : 设 列 车 制 动 后 t秒所 行 驶 的 距 离 为 s(t)米 . 根 据题 意 未 知 函 数 ss(t)应 满 足 : s0.4. (1) s|t00, s|t020. (2)由 (1)式 ， 积 分 一 次 , 得 s0.4tC 1; (3)再 积 分 一 次 , 得 s0.2t2 C1tC2, (4)这 里 C1, C2都 是 任 意 常 数 . 把 条 件 s|t020代 入 (3)式 得 20C1; 把 条 件 s|t00代 入 (4)式 得 0C2. 把 C1, C2的 值 代 入 (3)及 (4)式 得 v0.4t20, (5) s0.2t220t. (6) 在 (5)式 中 令 v0, 得 t50(s). 再 把 t50代 入 (6), 得 s0.25022050500(m). 下 页 上 页 下 页 铃结 束返 回首 页提 示 : 微 分 方 程 常 微 分 方 程 与 偏 微 分 方 程 未 知 函 数 是 一 元 函 数 的 微 分 方 程 , 叫 常 微 分 方 程 . 未 知 函数 是 多 元 函 数 的 微 分 方 程 , 叫 偏 微 分 方 程 . 它 们 都 是 微 分 方 程 xdxdy 2 . 例 1中 所 列 的 关 系 式 为 s0.4. 例 2中 所 列 的 关 系 式 为 下 页 凡 含 有 未 知 函 数 的 导 数 或 微 分 的 方 程 叫 微 分 方 程 .例 ,xyy ,e32 xyyy ,yxxz 2( )d d 0,y x y x x .)(dd 2 xy xxy 上 页 下 页 铃结 束返 回首 页 微 分 方 程 的 阶 微 分 方 程 中 所 出 现 的 未 知 函 数 的 最 高 阶 导 数 的 阶 数 , 叫微 分 方 程 的 阶 . 提 示 : xdxdy 2 . 例 1中 所 列 的 关 系 式 为 s0.4. 例 2中 所 列 的 关 系 式 为 这 是 一 阶 微 分 方 程这 是 二 阶 微 分 方 程 v几 个 基 本 概 念 下 页 上 页 下 页 铃结 束返 回首 页 v几 个 基 本 概 念 提 示 :微 分 方 程 的 解 满 足 微 分 方 程 的 函 数 叫 做 该 微 分 方 程 的 解 . 在 例 1中 , 微 分 方 程 y2x的 解 有 yx 2C和 yx21. 在 例 2中 , 微 分 方 程 s0.4的 解 有 s0.2t2 C1tC2, s0.2t2 20tC2和 s0.2t220t. 下 页 上 页 下 页 铃结 束返 回首 页 求 所 给 函 数 的 导 数 : 解 :这 表 明 函 数 满 足 所 给 方 程 , 因 此 所 给 函 数 是 所 给 方 程 的 解 . 下 页 0 yy 是 方 程验 证 函 数 xxy cos3sin2 例 2 .的 解 ,sin3cos2 xxy ,cos3sin2 xxy 由 上 式 得 : 0 yy xxy cos3sin2 上 页 下 页 铃结 束返 回首 页 下 页 若 一 个 函 数 中 出 现 的 两 个 常 数 不 能 通 过 运 算 合 并 为 一 个常 数 ， 那 么 这 两 个 常 数 是 独 立 的 ， 1 2 xy C C e 中 的 1 2,C C是 独 立 的 ， 而 1 2 xy C C e 中 的 1 2,C C 可 以 合 并 为 一 个 常 数 ，所 以 这 里 的 不 独 立 例 如1 2,C Cv常 数 互 相 独 立 上 页 下 页 铃结 束返 回首 页 v几 个 基 本 概 念 提 示 :微 分 方 程 的 解 满 足 微 分 方 程 的 函 数 叫 做 该 微 分 方 程 的 解 . 通 解 如 果 微 分 方 程 的 解 中 含 有 相 互 独 立 的 任 意 常 数 , 且 任 意常 数 的 个 数 与 微 分 方 程 的 阶 数 相 同 , 这 样 的 解 叫 做 微 分 方 程的 通 解 . 特 解 确 定 了 通 解 中 的 任 意 常 数 以 后 , 就 得 到 微 分 方 程 的 特 解 . 即 不 含 任 意 常 数 的 解 叫 特 解 . 在 例 1中 , 微 分 方 程 y2x的 解 有 yx 2C和 yx21. 在 例 2中 , 微 分 方 程 s0.4的 解 有 s0.2t2 C1tC2, s0.2t2 20tC2和 s0.2t220t. 通 解通 解 通 解特 解什 解什 么 解 ?下 页 上 页 下 页 铃结 束返 回首 页 解 通 解特 解其 它共 同 点 ：不 同 点 ： 上 页 下 页 铃结 束返 回首 页 v几 个 基 本 概 念 提 示 :初 始 条 件 用 于 确 定 通 解 中 任 意 常 数 的 条 件 , 称 为 初 始 条 件 . 对 于 一 阶 微 分 方 程 , 通 常 用 于 确 定 任 意 常 数 的 条 件 是 对 于 二 阶 微 分 方 程 , 通 常 用 于 确 定 任 意 常 数 的 条 件 是 当 0 xx 时 , 0yy , 或 写 成 00 yy xx . 当 0 xx 时 , 0yy , 0yy , 或 写 成 00 yy xx , 00 yy xx . 当 时 或 写 成 当 0 xx 时 , 0yy , 0yy , 或 写 成 00 yy xx , 00 yy xx . 例 1是 求 微 分 方 程 满 足 初 始 条 件 y|x12的 解 . 例 2是 求 微 分 方 程 s0.4满 足 初 始 条 件 s|t00, s|t020的 解 . 下 页y2x 上 页 下 页 铃结 束返 回首 页 v几 个 基 本 概 念 初 始 条 件 用 于 确 定 通 解 中 任 意 常 数 的 条 件 , 称 为 初 始 条 件 . 初 值 问 题 求 微 分 方 程 满 足 初 始 条 件 的 解 的 问 题 称 为 初 值 问 题 . 求 一 阶 微 分 方 程 yf(x, y)满 足 初 始 条 件 00 yy xx 的 解 的 问 题 , 记 为 00 ),( yy yxfy xx . 提 示 : 例 1是 求 微 分 方 程 满 足 初 始 条 件 y|x12的 解 . 例 2是 求 微 分 方 程 s0.4满 足 初 始 条 件 s|t00, s|t020的 解 . 下 页y2x 上 页 下 页 铃结 束返 回首 页 例解 处上 任 意 一 点的 平 面 曲 线设 通 过 点 ),( )2 ,1( 0 yxMLM . 2 的 方 程， 求 此 曲 线的 切 线 的 斜 率 为 Lx ， 则 有设 曲 线 的 方 程 为 )( xyy .2dd xxy 应 满 足 条 件此 外 ， 函 数 )(xyy ， 2)( 1 xxy )1(积 分 ， 得式 两 边 关 于将 )1( x Cxxxy 2d2 )2( )3(， 得代 入将 )3()2( , 1C 故 所 求 的 曲 线 方 程 为1 2 xy 微 分 方 程初 始 条 件通 解特 解 上 页 下 页 铃结 束返 回首 页 作 业 P1651. (1)(3)(5) 3. 2. 5. 高 等 院 校 非 数 学 类 本 科 数 学 课 程 脚 本 编 写 ： 教 案 制 作 ：可分离变量的微分方程 上 页 下 页 结 束返 回首 页 铃 9.2 可 分 离 变 量 的 微 分 方 程 上 页 下 页 铃结 束返 回首 页 第 二 节 可 分 离 变 量 的 一 阶 微 分 方 程xxfyyg d)(d)( xxfyyg d)(d)( 设 函 数 )(yG 和 )(xF 是 依 次 为 )(yg 和 )(xf 的 某 个 原 函 数 , CxFyG )()( 为 微 分 方 程 的 通 解 . 两 边 积 分 , 为 可 分 离 变 量 的 方 程 . 称则 f xdydx g y 上 页 下 页 铃结 束返 回首 页 下 页 221 xyyxdxdy 例 2. 求 微 分 方 程 的 通 解 . )1)(1( 2yxdxdy , 方 程 可 化 为 解 : dxxdyy )1(1 1 2 , 分 离 变 量 得 两 边 积 分 得 dxxdyy )1(1 1 2 , 即 Cxxy 22 1arctan . )21tan( 2 Cxxy . 于 是 原 方 程 的 通 解 为 即 求 方 程 xyx y 2dd 的 通 解 . 解 分 离 变 量 , xxy y d2d , 或 解 分 离 变 量 , xxy y d2d , 例 2 2 2x C x Cy e e e 2 2 ,x C x Cy e e e 2 ,C xy e e ( C1为 任 意 常 数 ) 上 页 下 页 铃结 束返 回首 页 例 1. 求 微 分 方 程 yxxy 23dd 的 通 解 .解 : 分 离 变 量 得 2d 3 dy x xy 两 边 积 分 xxyy d3d 2 得 3 1ln y x C 即 13 Cxey 31 xC ee3xeCy 1CC e令 ( C 为 任 意 常 数 )说 明 : 在 求 解 过 程 中每 一 步 不 一 定 是 同 解变 形 , 因 此 可 能 增 、减 解 .( 此 式 含 分 离 变 量 时 丢 失 的 解 y0 ) 上 页 下 页 铃结 束返 回首 页 作 业 P1721. (1)(2)(3)(4) 3. (1)2. (1)(2)(5) 高 等 院 校 非 数 学 类 本 科 数 学 课 程 脚 本 编 写 ： 教 案 制 作 ：一阶线性微分方程 上 页 下 页 结 束返 回首 页 铃 一 、 线 性 方 程二 、 伯 努 利 方 程 9.3 一 阶 线 性 微 分 方 程 上 页 下 页 铃结 束返 回首 页 第 四 节 一 阶 线 性 微 分 方 程 )()(dd xQyxPxy 一 阶 线 性 微 分 方 程 的 标 准 形 式 :,0)( xQ当 上 方 程 称 为 齐 次 的 .上 方 程 称 为 非 齐 次 的 .,0)( xQ当例 如 ,dd 2xyxy ,sindd 4 xyxxy ,32 xyyy ,1cos yy 线 性 的 ;非 线 性 的 . .0)(dd yxPxy,d)(d xxPyy ,d)(d xxPyy ,lnd)(ln CxxPy 齐 次 方 程 的 通 解 为 .e d)( xxPCy 1. 线 性 齐 次 方 程一 阶 线 性 微 分 方 程 的 解 法 : 使 用 分 离变 量 法 这 里 记 号 xxP d)( 表 示 )(xP 的 某 个 确 定 的 原 函 数 . ,lnd)( CxxP eey 2. 线 性 非 齐 次 方 程 ).()(dd xQyxPxy 常 数 变 易 法把 齐 次 方 程 通 解 中 的 常 数 变 易 为 待 定 函 数 的 方 法 .实 质 : 未 知 函 数 的 变 量 代 换 .作 变 换 xxPxuy d)(e)( ,e)()(e)( d)(d)( xxPxxP xPxuxuy 代 入 原 方 程 得和将 yy ),(e)( d)( xQxu xxP ,de)()( d)( CxxQxu xxP 积 分 得所 以 一 阶 线 性 非 齐 次 微 分 方 程 的 通 解 为 : de)(e d)(d)( CxxQy xxPxxP xxQC xxPxxPxxP de)(ee d)(d)(d)( 对 应 齐 次 方程 的 通 解 非 齐 次 方 程 特 解 ,e)()( d)( xxPxQxu 代 入 原 方 程 得和将 yy ),(e)( d)( xQxu xxP xxPxuy d)(e)( .sin1 的 通 解求 方 程 x xyxy ,1)( xxP ,sin)( xxxQ Cxxxy xxxx desine d1d1 Cxxx xx desine lnln )dsin(1 Cxxx .)cos(1 Cxx 解 de)(e d)(d)( CxxQy xxPxxP 例 1 上 页 下 页 铃结 束返 回首 页 例 7 求 方 程 3( 1) 2 ( 1)xdyx y e xdx 解 将 方 程 改 写 为 的 通 解 . 22 ( 1) .1 xdy y e xdx x 先 求 齐 次 方 程 的 通 解 . 2 01dy ydx x 分 离 变 量 , 得 2 .1dy dxy x 两 端 积 分 并 整 理 , 得 齐 次 方 程 的 通 解 2( 1) .y c x 用 常 数 变 易 法 求 非 齐 次 线 性 方 程 的 通 解 ， 2( )( 1) ,y c x x 令 2 ( )( 1) ( )2( 1)y c x x c x x 两 端 求 导 , 得 ( ) .xc x e c 故 原 方 程 的 通 解 为 ： y = (ex + c) (x+1)2 将 y与 y代 入 非 齐 次 方 程 , 并 整 理 , 得 ( ) .xc x e两 端 积 分 , 得 上 页 下 页 铃结 束返 回首 页 例 1 求 方 程 1 1dy ydx x 的 通 解 .解 : 对 应 的 齐 次 方 程 为 : 1 0.dy ydx x 分 离 变 量 得 1 1 .dy dxy xln ln ,y x C 即 ,Cy xe或所 以 齐 次 方 程 的 通 解 为 : .y Cx用 常 数 变 易 法 求 非 齐 次 线 性 方 程 的 通 解 ， ( ) ,y C x x 令代 入 方 程 1 1dy ydx x 得 1,C x x C x C x 即 1,C x x 所 以 1 ln .C x dx x Cx 因 此 非 齐 次 方 程 的 通 解 为 : ln .y x C x 上 页 下 页 铃结 束返 回首 页 二 、 伯 努 利 方 程v伯 努 利 方 程 方 程 nyxQyxPdx dy )()( (n0, 1)叫 做 伯 努 利 方 程 . (1) xxydx dy 42 ; (2) 5xyydx dy ; (3) x yyxy ; (4) 4)21(3 131 yxydxdy . 下 列 方 程 中 哪 些 是 伯 努 利 方 程 ？ 讨 论 : 提 示 : 下 页方 程 为 线 性 微 分 方 程 .,1,0 时当 nn nyxQyxPxy )()(dd )1,0( n解 法 :二 、 伯 努 利 (Bernoulli)方 程得两 端 除 以 ，ny ),()(dd 1 xQyxPxyy nn ,1 nyz 令 ，则 xyynxz n dd)1(dd ),()(dd1 1 xQzxPxzn 求 出 通 解 后 , 将 代 入 即 得 原 方 程 的 通 解 .nyz 1代 入 上 式 得 ),(1)(1dd xQnzxPnxz 上 页 下 页 铃结 束返 回首 页 例 4 求 方 程 2)(ln yxax ydxdy 的 通 解 . 例 3.以 y2除 方 程 的 两 端 , 得 解 : xayxdxdyy ln1 12 , 即 xayxdx yd ln1)( 11 . 令 zy1, 则 上 述 方 程 成 为 xazxdxdz ln1 . 这 是 一 个 线 性 方 程 , 它 的 通 解 为 )(ln2 2xaCxz . 以 y1代 z , 得 所 求 方 程 的 通 解 为 1)(ln2 2 xaCyx . 即 下 页 上 页 下 页 铃结 束返 回首 页 例 3 求 4dy y x ydx x 0, 0y x 的 通 解 .解 : 此 方 程 是 伯 努 利 方 程 : 124 .dy y xydx x 方 程 两 边 同 乘 得 ,12y 1 12 24 .dyy y xdx x 即 1 12 242 .dy y xdx x 令 12,z y 得 4 1 .2 2dz z xdx x 上 页 下 页 铃结 束返 回首 页 )()(dd ygxfxy 变 量 可 分 离 方 程 0)(dd yxpxy一 阶 线 性 齐 次 方 程 )()(dd xqyxpxy 一 阶 线 性 非 齐 次 方 程伯 努 利 方 程d ( ) ( )d ny p x y q x yx 上 页 下 页 铃结 束返 回首 页 ,2lnd2)()( 20 ttfxfxf x满 足 关 系 式设 ).()( xf则 ;2ln. xeA ;2ln. 2xeB ;2ln. xeC 2ln. 2 xeDB一阶微分方程 1991年 考 研 数 学 一 , 3分 上 页 下 页 铃结 束返 回首 页解 : )(xf )(2)( xfxf f x22 2 可 分 离 变 量 方 程xxf xf d2)( )(d 两 边 积 分 ln ( ) 2 lnf x x C 2( ) .xf x Ce由 原 关 系 式 2ln)0( f ,2lnC得得 .2ln)( 2xexf 分 离 变 量 ,2lnd2)()( 20 ttfxfxf x满 足 关 系 式设 ).()( xf则 ;2ln. xeA ;2ln. 2xeB ;2ln. xeC 2ln. 2 xeDB两 边 对 关 于 求 导 ,x2lnd2)( 20 ttfxf x 上 页 下 页 铃结 束返 回首 页 1dydx x y ,dx x ydy ,x y dy dx 求 方 程 的 通 解 .将 与 互 换 ,得 方 程x y ,dy y xdx 齐 次 方 程 0,dy ydx 分 离 变 量 得 1 .dy dxy 所 以 齐 次 方 程 的 通 解 为 : . xy Ce用 常 数 变 易 法 求 非 齐 次 线 性 方 程 的 通 解 ， ( ) ,xy C x e令 dy y xdx 得 ,xC x e x .x x x x xC x xde xe e dx xe e C 的 通 解 为 : dy y xdx .x x xy xe e C e 上 页 下 页 铃结 束返 回首 页 1dydx x y ,dx x ydy ,x y dy dx 求 方 程 的 通 解 .将 与 互 换 ,得 方 程x y 的 通 解 为 : dy y xdx .x x xy xe e C e 将 与 换 回 ,得 方 程x ydx x ydy 的 通 解 为 : .y y yx ye e C e 上 页 下 页 铃结 束返 回首 页 作 业 P1772. (1)(3)(5)1. (2)(4)(6)3. 5. 6. 7. 8.(1) 高 等 院 校 非 数 学 类 本 科 数 学 课 程 脚 本 编 写 ： 教 案 制 作 ：二阶线性微分方程 上 页 下 页 结 束返 回首 页 铃 一 、 二 阶 线 性 微 分 方 程 举 例二 、 线 性 微 分 方 程 的 解 的 结 构 9.4 二 阶 线 性 微 分 方 程 上 页 下 页 铃结 束返 回首 页 上 页 下 页 铃结 束返 回首 页 一 、 二 阶 线 性 微 分 方 程 举 例v二 阶 线 性 微 分 方 程 二 阶 线 性 微 分 方 程 的 一 般 形 式 为若 方 程 右 端 f(x)0时 , 方 程 称 为 齐 次 的 , 否 则 称 为 非 齐 次 的 . )()()(22 xfyxQdxdyxPdxyd , 或 yP(x)yQ(x)yf(x). 下 页 上 页 下 页 铃结 束返 回首 页 二 、 线 性 微 分 方 程 的 解 的 结 构C1y1C2y2P(x)C1y1C2y2Q(x)C1y1C2y2000.C1y1P(x)y1Q(x)y1C2y2P(x)y2Q(x)y2 方 程 yP(x)yQ(x)y0的 任 意 两 个 解 y1(x)与 y2(x)的 线 性组 合 C1y1(x)C2y2(x)也 是 它 的 解 , 其 中 C1、 C2是 任 意 常 数 . 简 要 证 明 : 这 是 因 为v定 理 1(齐 次 方 程 的 解 的 叠 加 原 理 ) 下 页 举 例 ： 已 知 cos x与 sin x都 是 方 程 yy0的 解 . 方 程 的 通 解 为 yC1cos xC2sin x. 上 页 下 页 铃结 束返 回首 页 rxey 将 其 代 入 方 程 , 0)( 2 rxeqprr ,0rxe故 有 2 0r pr q 2 422,1 qppr 特 征 根 0 qyypy 二 阶设 解 得特 征 方 程二阶常系数齐次线性微分方程常 系 数 齐 次 线 性 方 程(characteristic equation)(characteristic root)二 、 二 阶 常 系 数 齐 次 线 性 方 程 解 法其 中 r为 待 定 常 数 . 上 页 下 页 铃结 束返 回首 页 ,2 421 qppr ,2 422 qppr ,11 xrey ,22 xrey 两 个 特 解 y ( 0)二阶常系数齐次线性微分方程有 两 个 不 相 等 的 实 根2 0r pr q 特 征 方 程 1r xe 2C 2r xe1C得 齐 次 方 程 的 通 解 为 rxey 设 解 其 中 r为 待 定 常 数 . 上 页 下 页 铃结 束返 回首 页 有 两 个 相 等 的 实 根 ,11 xrey ,221 prr ( 0)一 特 解 为 1 1 2( )r xe C C x 代 入 到，将 222 yyy ,0)()2( 1211 uqprrupru ,0u ( ) ,u x x ,12 xrxey 2y .0 qyypy 化 简 得.)( 为 待 定 函 数其 中 xu0 0二阶常系数齐次线性微分方程设 )(xu ,1xre取 则知 y 1r xe 1r xxe1C 2C得 齐 次 方 程 的 通 解 为 rxey 其 中 r为 待 定 常 数 . 设 解2 0r pr q 特 征 方 程 2 42p p qr 有 一 对 共 轭 复 根,1 ir ,2 ir ,)( xie xrey 22 ( 0) )sincos( 21 xCxCey x 0, 21 qyypyyy 为 方 程为 了 得 到 实 数 形 式 的 解 ,重新组合二阶常系数齐次线性微分方程的 两 个 复 数 形 式 的 解 .rxey 其 中 r为 待 定 常 数 . xrey 11 xie )( 得 齐 次 方 程 的 通 解 为 用 欧 拉 (Euler)公 式 :xixeix sincos 设 解 2 42p p qr 2 0r pr q 特 征 方 程 由 欧 拉 公 式 知 由 叠 加 原 理 , xiyyy xyyy xx sine2/)( cose2/)( 212 211 )sin(cose )sin(cose21 xixy xixy xx 02 qprr0 qyypy小 结 特 征 根 的 情 况 通 解 的 表 达 式 21 rr 21 rr ir 2,1实 根实 根复 根 xrxr CCy 21 ee 21 )(e 211 xCCy xr )sincos(e 21 xCxCy x 0 qyypy 的 通 解 的 不 同 形 式 .特 征 根 r的 不 同 情 况 决 定 了 方 程 上 页 下 页 铃结 束返 回首 页 例解 032 的 通 解 。求 方 程 yyy 2 2 3 0 r r 特 征 方 程 ，1 2 1 3 r r 特 征 根 ， ， 321 。所 求 通 解 为 xx eCeCy 特 征 根 通 解 形 式)( 21 实 根 1 21 2r x r xy C e C e )( 21 实 重 根 1 1 2( )r xy e C C x )( i2,1 共 轭 复 根 )sincos( 21 xCxCey x 1 2r r1 2r r1,2r 上 页 下 页 铃结 束返 回首 页 例解 052 的 通 解 。求 方 程 yyy 2 2 5 0 r r 特 征 方 程 ，1 2 1 2i 1 2i r r 特 征 根 ， ， )2sin2cos( 21 。所 求 通 解 为 xCxCey x 特 征 根 通 解 形 式)( 21 实 根 1 21 2r x r xy C e C e )( 21 实 重 根 1 1 2( )r xy e C C x )( i2,1 共 轭 复 根 )sincos( 21 xCxCey x 1 2r r1 2r r1,2r 上 页 下 页 铃结 束返 回首 页 称 为 .044 的 通 解求 方 程 yyy解 特 征 方 程 0442 rr 221 rr故 所 求 通 解 为y例 由 常 系 数 齐 次 线 性 方 程 的 特 征 方 程 的 根确 定 其 通 解 的 方 法二阶常系数齐次线性微分方程特 征 方 程 法 .特 征 根 xexCC 221 )( )( 21 实 重 根 1 1 2( )r xy e C C x 1 2r r 上 页 下 页 铃结 束返 回首 页 2 5 0 .y y y 求 方 程 的 通 解解 特 征 方 程 0522 rr故 所 求 通 解 为 y例二阶常系数齐次线性微分方程特 征 根 )2sin2cos( 21 xCxCe x 1 2 1 2 .r i ，特 征 根 通 解 形 式)( 21 实 根 1 21 2r x r xy C e C e )( 21 实 重 根 1 1 2( )r xy e C C x )( i2,1 共 轭 复 根 )sincos( 21 xCxCey x 1 2r r1 2r r1,2r 上 页 下 页 铃结 束返 回首 页 例 解 初 值 问 题 .2,4 ,092416 00 xx yy yyy解 特 征 方 程 092416 2 rr特 征 根 43r所 以 方 程 的 通 解 为41 C xexCy 432 )4( xexCCy 4322 433 二阶常系数齐次线性微分方程4(二 重 根 ) 00 12 C 特 解 .)4( 43xexy 0 02 341 2( ) xC C x ey 上 页 下 页 铃结 束返 回首 页 作 业 P1881. (2)(4) 高 等 院 校 非 数 学 类 本 科 数 学 课 程 脚 本 编 写 ： 教 案 制 作 ：二阶常系数线性非齐次微分方程 二 、 二 阶 常 系 数 非 齐 次 线 性 方 程 解 的 性 质 及 求 解 法回 顾 )()(dd xQyxPxy 一 阶 线 性 微 分 方 程 de)(e d)(d)( CxxQy xxPxxP xxQC xxPxxPxxP de)(ee d)(d)(d)( 对 应 齐 次 方程 的 通 解 非 齐 次 方 程 特 解(1)(xfqyypy 上 页 下 页 铃结 束返 回首 页提 示 : 我 们 把 方 程 yP(x)yQ(x)y0叫 做 与 非 齐 次 方 程 yP(x)yQ(x)yf(x)对 应 的 齐 次 方 程 . 设 y*(x)是 二 阶 非 齐 次 线 性 方 程 yP(x)yQ(x)yf(x)的 一个 特 解 , Y(x)是 对 应 的 齐 次 方 程 的 通 解 , 那 么 yY(x)y*(x)是 二 阶 非 齐 次 线 性 微 分 方 程 yP(x)yQ(x)yf(x)的 通 解 . v定 理 3(非 齐 次 方 程 的 通 解 的 结 构 )举 例 已 知 YC1cos xC2sin x是 齐 次 方 程 yy0的 通 解 , y*x 22是 非 齐 次 方 程 yyx2的 一 个 特 解 , 因 此 yC1cos xC2sin xx22是 非 齐 次 方 程 yyx2的 通 解 . 下 页 上 页 下 页 铃结 束返 回首 页证 明 提 示 : Y(x)y*(x)P(x)Y(x)y*(x)Q(x)Y(x)y*(x) Y P(x)YQ(x)Yy*P(x)y*Q(x)y* 0f(x)f(x). 设 y*(x)是 二 阶 非 齐 次 线 性 方 程 yP(x)yQ(x)yf(x)的 一个 特 解 , Y(x)是 对 应 的 齐 次 方 程 的 通 解 , 那 么 yY(x)y*(x)是 二 阶 非 齐 次 线 性 微 分 方 程 yP(x)yQ(x)yf(x)的 通 解 . v定 理 3(非 齐 次 方 程 的 通 解 的 结 构 ) 下 页 上 页 下 页 铃结 束返 回首 页 )(xfyqypy ),( 为 常 数qp二 阶 常 系 数 线 性 非 齐 次 微 分 方 程 :根 据 解 的 结 构 定 理 , 其 通 解 为Yy *y 非 齐 次 方 程 特 解齐 次 方 程 通 解求 特 解 的 方 法 ：根 据 f (x) 的 特 殊 形 式 , *y给 出 特 解 的 待 定 形 式 , 待 定 系 数 法三 角 函 数 三 角 函 数多 项 式 多 项 式指 数 函 数 指 数 函 数 )2( )( xfyqypy )1( 0 。 yqypy1. ( ) ( ) x nf x e P x 的 情 形 )( 1110 。其 中 nnnnn axaxaxaxP 方 程 (2) 对 应 的 齐 次 方 程 (1) 的 特 征 方 程 及 特 征 根 为 2 0 r pr q 特 征 方 程 ；1 2 .r r特 征 根 ， 单 根二 重 根一 对 共 轭 复 根为 常 数 方 程 ( ) x ny py qy e P x 有 下 列 形 式 的 特 解 ： ( ) xy e Q x ， 上 页 下 页 铃结 束返 回首 页 假 设 方 程 ( ) (2)x ny py qy e P x 有 下 列 形 式 的 特 解 ： ( ) xy e Q x ， 则 x xy e Q x e Q x ， 2 2 x x xy e Q x e Q x e Q x ，代 入 方 程 (2) ， 得 2 (2 ) ( ) ( ) x x ne Q x p Q x p q Q x e P x ，即 情 形 2 若 是 特 征 方 程 的 单 根 , 即 0 2 qp , 即 而 02 p , 则 令 情 形 3 若 是 特 征 方 程 的 二 重 根 , 即 0 2 qp , 即 且 02 p , 则 令 情 形 1 若 不 是 特 征 根 , 即 2 42p p q 综 上 讨 论 可 知 )(xQ 不 是 特 征 根 )(e xPqyypy nx设 特 解 为 ，)(xQn 是 单 特 征 根，)(xxQ n 是 二 重 特 征 根，xxQy e)(其 中 ，)(2 xQx n代 入 原 方 程 ,来 确 定 Q(x). * ( ) k x ny x e Q x 上 页 下 页 铃结 束返 回首 页 例 2. 求 微 分 方 程 y5y6yxe2x的 通 解 . 这 里 Pm(x)x, 2. 与 所 给 方 程 对 应 的 齐 次 方 程 为y5y6y0, 它 的 特 征 方 程 为r25r 60. 特 征 方 程 有 两 实 根 r12, r23.于 是 齐 次 方 程 的 通 解 为YC 1e2xC2e3x. 由 于 2是 特 征 方 程 的 单根 , 所 以 特 解 应 设 为y*x(b0 xb1)e2x. 解 : 把 代 入 所 给 方 程 , 得 2b0 x2b0b1x. 比 较 两 端 x同 次 幂 的 系 数 , 得2b01, 2b0b10. 由 此 求 得 210 b , b11. 于 是 求 得 所 给 方 程 的 一 个 特解 为 xexxy 2)121(* . 从 而 所 给 方 程 的 通 解 为 xxx exxeCeCy 223221 )2(21 . 首 页 * ( ) k x ny x e Q x 2 20 1 xy b x b x e 解对 应 齐 次 方 程 通 解特 征 方 程 ,0962 rr 特 征 根 ，32,1 r.e)( 321 xxCCY 求 微 分 方 程 xxyyy 3e96 的 通 解 . 因 为 3 是 二 重 特 征 根 , xbax 26 , 解 得 0,6 1 ba , 所 以 特 解 xxy 33e61 , 即 原 方 程 的 通 解 为 xx xxCCy 33321 e61e)( . 代 入 原 方 程 得例 6 * ( ) k x ny x e Q x 上 页 下 页 铃结 束返 回首 页 解 2 。的 通 解求 方 程 xxyy 2( ) 0 2 ( ( ) ( ) ) x nf x x x n f x e P x ， ， 。对 应 的 齐 次 方 程 的 特 征 方 程 为 2 1 0 r ，特 征 根 为 1,2 i .r 对 应 的 齐 次 方 程 的 通 解 为 sincos 21 。xCxCy 0 ， 原 方 程 有 特 解不 是 特 征 根 ， 故 取由 于 k * 2120 ，bxbxby 将 它 代 入 原 方 程 ， 得 2 221200 ，xxbxbxbb * ( ) k x ny x e Q x 上 页 下 页 铃结 束返 回首 页 比 较 两 边 同 类 项 的 系 数 ， 得 10 ，b 11 ，b 02 20 ，bb 10 ，b 11 ，b 2 2 ，b故 原 方 程 有 一 特 解 为 2* 2 。 xxy综 上 所 述 ， 原 方 程 的 通 解 为 2sincos* 221 。 xxxCxCyyy 2 221200 ，xxbxbxbb 解 * 2120 ，bxbxby 2 。的 通 解求 方 程 xxyy 上 页 下 页 铃结 束返 回首 页 解 32 。的 通 解求 方 程 xeyyy ( ) 1 0 ( ( ) ( ) ) x x nf x e n f x e P x ， ， 。对 应 的 齐 方 程 的 特 征 方 程 为 2 2 3 0 r r ，特 征 根 为 1 23 1.r r ，对 应 的 齐 次 方 程 的 通 解 为 231 。xx eCeCy 1 ， 原 方 程 有 特 解是 单 特 征 根 ， 故 取由 于 k * 0，bexy x将 它 代 入 原 方 程 ， 得 3)1(2)2( 000 ，xx eexbxbxb * ( ) k x ny x e Q x 上 页 下 页 铃结 束返 回首 页 上 式 即 14 0 ， b 410 ，b故 原 方 程 有 一 特 解 为 41* 。xexy 综 上 所 述 ， 原 方 程 的 通 解 为 41* 231 。xxx exeCeCyyy 解 3)1(2)2( 000 ，xx eexbxbxb * 0，bexy x 32 。的 通 解求 方 程 xeyyy 上 页 下 页 铃结 束返 回首 页 设 y1*(x)与 y2*(x)分 别 是 方 程 yP(x)yQ(x)yf1(x)与 yP(x)yQ(x)yf2(x)的 特 解 , 那 么 y1*(x)y2*(x)的 是 方 程yP(x)yQ(x)yf1(x)f2(x)的 特 解 . v定 理 4(非 齐 次 方 程 的 解 的 叠 加 原 理 ) 简 要 证 明 : 这 是 因 为 y1*y2*P(x)y1*y2*Q(x)y1*y2* y1*P(x)y1*Q(x)y1*y2*P(x)y2*Q(x)y2* f 1(x)f2(x). 结 束 上 页 下 页 铃结 束返 回首 页 例解 1332 。的 通 解求 方 程 xeyyy x 1332 xeyyy x 32 xeyyy 1332 xyyy 41*1 xexy 31*2 xy对 应 的 齐 方 程 的 通 解 为 231 。xx eCeCy 综 上 所 述 ， 原 方 程 的 通 解 为 3141* 231 。 xexeCeCyyy xxx 上 页 下 页 铃结 束返 回首 页 y cos sin k xx e A x B x k ( ) cos sin xf x e a x b x 型i 不 是 的 根01二阶常系数非齐次线性微分方程i 是 的 根 ( ) fy p y xq y 2 0r pr q 2 0r pr q 二 选 一01 ,k y cos sin ,k xx e A x B x 先 选 0, 再 选 . 解 求 微 分 方 程 xyy 8cos 的 通 解 . 特 征 方 程 02 rr ,特 征 根 1,0r , 所 以 对 应 齐 次 方 程 的 通 解 为 xCCxY e)( 21 . 代 入 原 方 程 ,得 例 7 ，xbxay 8sin8cos ，xxabxba 8cos8sin)864(8cos)864( 0864 1864 ab ba , 解 得 520/1 65/1ba , 即 ，xxy 8sin520 18cos651 所 求 通 解 为 .)8sin8cos8(5201e21 xxCCy x 上 页 下 页 铃结 束返 回首 页 解 求 微 分 方 程 xyyy x cose54 2 的 通 解 . 例 8 代 入 原 方 程 ,消 去 x2e ,得 xxBxA coscos2sin2 , 2/1,0 BA , 所 以 xxy x sine21 2 . 特 征 方 程 054 2 rr ,特 征 根 ir 2 , 所 以 对 应 齐 次 方 程 的 通 解 为 )sincos(e)( 21 2 xCxCxY x . )sincos(e2 xBxAxy x 所 求 通 解 为 .sine 21)sincos(e 2212 xxxCxCy xx 上 页 下 页 铃结 束返 回首 页 作 业 P1882. (1)(2)1. (6)(7)4. 5.