高等数学同济版第八章习题

2 1、 区 域 设 ),( 000 yxP 是 xoy平 面 上 的 一 个 点 ， 是 某一 正 数 ， 与 点 ),( 000 yxP 距 离 小 于 的 点 ),( yxP 的 全 体 ， 称 为 点 0P 的 邻 域 ， 记 为 ),( 0 PU ， （ 1） 邻 域 ),( 0 PU | 0PPP .)()(|),( 2020 yyxxyx 0P连 通 的 开 集 称 为 区 域 或 开 区 域 （ 2） 区 域 3 （ 3） 聚 点 设 E是 平 面 上 的 一 个 点 集 ， P 是 平 面 上 的 一 个 点 ， 如 果 点 P的 任 何 一 个 邻 域 内 总 有 无 限多 个 点 属 于 点 集 E， 则 称 P为 E 的 聚 点 .（ 4） n维 空 间 设 n为 取 定 的 一 个 自 然 数 ， 我 们 称 n元 数 组),( 21 nxxx 的 全 体 为 n维 空 间 ， 而 每 个 n元 数 组 ),( 21 nxxx 称 为 n维 空 间 中 的 一 个 点 ， 数ix 称 为 该 点 的 第 i个 坐 标 . 4 2、 多 元 函 数 概 念定 义 当 2n 时 ， n元 函 数 统 称 为 多 元 函 数 .类 似 地 可 定 义 三 元 及 三 元 以 上 函 数 5 定 义 设 函 数 ),( yxfz 的 定 义 域 为 ,D ),( 000 yxP是 其 聚 点 ， 如 果 对 于 任 意 给 定 的 正 数 ， 总 存 在 正 数 ， 使 得 对 于 适 合 不 等 式 20200 )()(|0 yyxxPP 的 一 切 点 ， 都 有 |),(| Ayxf 成 立 ， 则 称 A为 函 数),( yxfz 当 0 xx ， 0yy 时 的 极 限 ， 记 为 Ayxfyy xx ),(lim00 （ 或 )0(),( Ayxf 这 里 | 0PP ） . 3、 多 元 函 数 的 极 限 6 说 明 ：（ 1） 定 义 中 的 方 式 是 任 意 的 ；0PP （ 2） 二 元 函 数 的 极 限 也 叫 二 重 极 限 );,(lim00 yxfyy xx（ 3） 二 元 函 数 的 极 限 运 算 法 则 与 一 元 函 数 类 似 4、 极 限 的 运 算 ).0()()().3( ;)()().2(;)()().1( ,)(,)(0 BBAPgPf BAPgPfBAPgPf BPfAPfPP 则时 ，设 7 5、 多 元 函 数 的 连 续 性定 义 设 n元 函 数 )(Pf 的 定 义 域 为 点 集 0, PD 是其 聚 点 且 DP 0 ， 如 果 )()(lim 00 PfPfPP 则 称 n元 函 数 )(Pf 在 点 0P 处 连 续 . 设 0P 是 函 数 )(Pf 的 定 义 域 的 聚 点 ， 如 果)(Pf 在 点 0P 处 不 连 续 ， 则 称 0P 是 函 数 )(Pf 的 间 断 点 . 8 在 有 界 闭 区 域 D上 的 多 元 连 续 函 数 ， 在 D上至 少 取 得 它 的 最 大 值 和 最 小 值 各 一 次 在 有 界 闭 区 域 D上 的 多 元 连 续 函 数 ， 如 果 在D上 取 得 两 个 不 同 的 函 数 值 ， 则 它 在 D上 取 得 介于 这 两 值 之 间 的 任 何 值 至 少 一 次 （ 1） 最 大 值 和 最 小 值 定 理（ 2） 介 值 定 理6、 多 元 连 续 函 数 的 性 质 9 定 义 设 函 数 ),( yxfz 在 点 ),( 00 yx 的 某 一 邻域 内 有 定 义 ， 当 y 固 定 在 0y 而 x 在 0 x 处 有 增 量x 时 ， 相 应 地 函 数 有 增 量 ),(),( 0000 yxfyxxf ， 如 果 x yxfyxxfx ),(),(lim 00000 存 在 ， 则 称此 极 限 为 函 数 ),( yxfz 在 点 ),( 00 yx 处 对 x 的 偏 导 数 ， 记 为 7、 偏 导 数 概 念 10 同 理 可 定 义 函 数 ),( yxfz 在 点 ),( 00 yx 处 对 y的 偏 导 数 ， 为 y yxfyyxfy ),(),(lim 00000 记 为 00yy xxyz ， 00yy xxyf ， 00yy xxyz 或 ),( 00 yxfy . 00yy xxxz ， 00yy xxxf ， 00yy xxxz 或 ),( 00 yxfx . 11 如 果 函 数 ),( yxfz 在 区 域 D内 任 一 点),( yx 处 对 x的 偏 导 数 都 存 在 ， 那 么 这 个 偏 导 数 就 是 x、 y的 函 数 ， 它 就 称 为 函 数 ),( yxfz 对自 变 量 x的 偏 导 数 ， 记 作 xz ， xf ， xz 或 ),( yxfx . 同 理 可 以 定 义 函 数 ),( yxfz 对 自 变 量 y的 偏 导数 ， 记 作 yz ， yf ， yz 或 ),( yxfy . 12 、 高 阶 偏 导 数 ),(22 yxfxzxzx xx ),(22 yxfyzyzy yy),(2 yxfyx zxzy xy ).,(2 yxfxy zyzx yx 函 数 ),( yxfz 的 二 阶 偏 导 数 为 纯 偏 导混 合 偏 导定 义 二 阶 及 二 阶 以 上 的 偏 导 数 统 称 为 高 阶 偏导 数 . 13 如 果 函 数 ),( yxfz 在 点 ),( yx 的 全 增 量),(),( yxfyyxxfz 可 以 表 示 为)(oyBxAz ， 其 中 A,B不 依 赖 于yx , 而 仅 与 yx, 有 关 ， 22 )()( yx ， 则 称 函 数 ),( yxfz 在 点 ),( yx 可 微 分 ，yBxA 称 为 函 数 ),( yxfz 在 点 ),( yx 的 全 微 分 ， 记 为 dz， 即 dz= yBxA . 、 全 微 分 概 念 14 多 元 函 数 连 续 、 可 导 、 可 微 的 关 系函 数 可 微函 数 连 续 偏 导 数 连 续 函 数 可 导 沿任意方向的方向导数存在 15 10、 复 合 函 数 求 导 法 则 定 理 如 果 函 数 )(tu 及 )(tv 都 在 点 t 可导 ， 函 数 ),( vufz 在 对 应 点 ),( vu 具 有 连 续 偏 导 数 ， 则 复 合 函 数 )(),( ttfz 在 对 应 点 t 可导 ， 且 其 导 数 可 用 下 列 公 式 计 算 ： dtdvvzdtduuzdtdz 以 上 公 式 中 的 导 数 称 为dtdz 16 17 11、 全 微 分 形 式 不 变 性 无 论 是 自 变 量 的 函 数 或 中 间 变 量 的 函 数 ， 它 的 全 微 分 形 式 是 一 样 的 .z vu、 vu、dvvzduuzdz . 18 0),()1( yxF隐 函 数 存 在 定 理 1 设 函 数 ),( yxF 在 点 ),( 00 yxP 的 某 一 邻 域 内 具 有 连 续 的 偏 导 数 ， 且 0),( 00 yxF ，0),( 00 yxFy ， 则 方 程 0),( yxF 在 点 ),( 00 yxP 的 某 一 邻 域 内 恒 能 唯 一 确 定 一 个 单 值 连 续 且 具 有 连 续导 数 的 函 数 )(xfy ， 它 满 足 条 件 )( 00 xfy ， 并 有 yxFFdxdy . 隐 函 数 的 求 导 公 式 12、 隐 函 数 的 求 导 法 则 19 隐 函 数 存 在 定 理 2 设 函 数 ),( zyxF 在 点 ,( 0 xP), 00 zy 的 某 一 邻 域 内 有 连 续 的 偏 导 数 ， 且 ,( 0 xF0), 00 zy ， 0),( 000 zyxFz ， 则 方 程 ,( yxF0)z 在 点 ),( 000 zyxP 的 某 一 邻 域 内 恒 能 唯 一 确 定 一 个 单 值 连 续 且 具 有 连 续 偏 导 数 的 函 数),( yxfz ， 它 满 足 条 件 ),( 000 yxfz ， 并 有 zxFFxz ， zyFFyz . 0),()2( zyxF 20 0),( 0),()3( vuyxG vuyxF隐 函 数 存 在 定 理 3 设 ),( vuyxF 、 ),( vuyxG 在 点 ),( 0000 vuyxP 的 某 一 邻 域 内 有 对 各 个 变 量 的 连 续偏 导 数 ， 且 0),( 0000 vuyxF , ),( 0000 vuyxG0 ， 且 偏 导 数 所 组 成 的 函 数 行 列 式 （ 或 称 雅 可 比式 ） vGuG vFuFvu GFJ ),( ),( 21 在 点 ),( 0000 vuyxP 不 等 于 零 ， 则 方 程 组 0),( vuyxF 、 0),( vuyxG 在 点 ),( 0000 vuyxP 的 某 一 邻 域 内 恒 能 唯 一 确 定 一组 单 值 连 续 且 具 有 连 续 偏 导 数 的 函 数 ),( yxuu ，),( yxvv ， 它 们 满 足 条 件 ),( 000 yxuu , vv 0),( 00 yx ， 并 有 ,),( ),(1 vu vu vx vx GG FF GG FFvx GFJxu 22 vu vuxu xu GG FFGG FFxu GFJxv ),( ),(1 ,),( ),(1 vu vuvy vy GG FFGG FFvy GFJyu .),( ),(1 vu vuyu yu GG FFGG FFyu GFJyv 23 13、 微 分 法 在 几 何 上 的 应 用切 线 方 程 为 .)()()( 00000 0 tzztyytxx 法 平 面 方 程 为 .0)()()( 000000 zztyytxxt (1) 空 间 曲 线 的 切 线 与 法 平 面 ).(),(),(: tztytx 24 ( ) 曲 面 的 切 平 面 与 法 线.0),(: zyxF切 平 面 方 程 为 0)(,( )(,()(,( 0000 00000000 zzzyxF yyzyxFxxzyxF z yx法 线 方 程 为 .),(),(),( 000 0000 0000 0 zyxF zzzyxF yyzyxF xx zyx 25 14、 方 向 导 数 .),(),(lim0 yxfyyxxflf 的 方 向 导 数 沿 方 向则 称 这 极 限 为 函 数 在 点 在 ，时 ， 如 果 此 比 的 极 限 存趋 于沿 着当 之 比 值 ，两 点 间 的 距 离 与函 数 的 增 量定 义 lPPlP yxPP yxfyyxxf 22 )()( ),(),(记 为 26 .),(),(lim0 zyxfzzyyxxflf 三 元 函 数 方 向 导 数 的 定 义 （ 其 中 222 )()()( zyx ）),( yxfz ),( yxP coscos yfxflf 定 理 如 果 函 数 在 点那 末 函 数 在 该 点 沿 任 意 方 向 L的 方 向 导 数 都 存 在 ， 且 有是 可 微 分 的 ，的 方 向 余 弦 。是，其 中 l coscos 27 定 义 设 函 数 ),( yxfz 在 平 面 区 域 D 内 具 有一 阶 连 续 偏 导 数 ， 则 对 于 每 一 点 DyxP ),( ， 都 可 定 出 一 个 向 量 jyfixf ， 这 向 量 称 为 函 数),( yxfz 在 点 ),( yxP 的 梯 度 ， 记 为 ),( yxgradf jyfixf . 梯 度 的 概 念 28 函 数 在 某 点 的 梯 度 是 这 样 一 个 向 量 ， 它 的 方向 与 取 得 最 大 方 向 导 数 的 方 向 一 致 ,而 它 的 模 为 方 向 导 数 的 最 大 值 梯 度 的 模 为 22|),(| yfxfyxgradf . 梯 度 与 方 向 导 数 的 关 系 29 15、 多 元 函 数 的 极 值 设 函 数 ),( yxfz 在 点 ),( 00 yx 的 某 邻 域 内有 定 义 ， 对 于 该 邻 域 内 异 于 ),( 00 yx 的 点 ),( yx ： 若 满 足 不 等 式 ),(),( 00 yxfyxf ， 则 称 函 数在 ),( 00 yx 有 极 大 值 ； 若 满 足 不 等 式),(),( 00 yxfyxf ， 则 称 函 数 在 ),( 00 yx 有 极小 值 ； 定 义 极 大 值 、 极 小 值 统 称 为 极 值 .使 函 数 取 得 极 值 的 点 称 为 极 值 点 . 30 定 理 1（ 必 要 条 件 ）设 函 数 ),( yxfz 在 点 ),( 00 yx 具 有 偏 导 数 ， 且 在 点 ),( 00 yx 处 有 极 值 ， 则 它 在 该 点 的 偏 导 数 必然 为 零 ： 0),( 00 yxfx ， 0),( 00 yxfy . 多 元 函 数 取 得 极 值 的 条 件 定 义 一 阶 偏 导 数 同 时 为 零 的 点 ， 称 为 多 元 函数 的 驻 点 . 31 定 理 2（ 充 分 条 件 ）设 函 数 ),( yxfz 在 点 ),( 00 yx 的 某 邻 域 内 连 续 ， 有 一 阶 及 二 阶 连 续 偏 导 数 ，又 0),( 00 yxfx , 0),( 00 yxfy ， 令Ayxfxx ),( 00 ， Byxfxy ),( 00 ， Cyxfyy ),( 00 ， 则 ),( yxf 在 点 ),( 00 yx 处 是 否 取 得 极 值 的 条 件 如 下 ： （ 1） 02 BAC 时 有 极 值 ， 当 0A 时 有 极 大 值 ， 当 0A 时 有 极 小 值 ； （ 2） 02 BAC 时 没 有 极 值 ； （ 3） 02 BAC 时 可 能 有 极 值 . 32 求 函 数 ),( yxfz 极 值 的 一 般 步 骤 ： 第 一 步 解 方 程 组 ,0),( yxfx 0),( yxfy求 出 实 数 解 ， 得 驻 点 . 第 二 步 对 于 每 一 个 驻 点 ),( 00 yx ，求 出 二 阶 偏 导 数 的 值 CBA 、 . 第 三 步 定 出 2BAC 的 符 号 ， 再 判 定 是 否 是 极 值 . 33 拉 格 朗 日 乘 数 法 要 找 函 数 ),( yxfz 在 条 件 0),( yx 下 的 可 能 极 值 点 ，先 构 造 函 数 ),(),(),( yxyxfyxF ， 其 中 为 某 一 常 数 ， 可 由 .0),( ,0),(),( ,0),(),( yx yxyxf yxyxf yy xx 解 出 ,yx ， 其 中 yx, 就 是 可 能 的 极 值 点 的 坐 标 . 条 件 极 值 ： 对 自 变 量 有 附 加 条 件 的 极 值 34 典 型 例 题1、 求 极 限 yx yxyx 00lim法 一 原 式 01 1100 xyyxlim法 二 令 ,xky 则 , 原 式 01 0 kkxxlim法 三 令 ,sin,cos ryrx 则 00 sincos sincoslim rr 实 际 上 若 令 xxy 2则 原 式 1 2 230 x xxxlim 所 以 极 限 不 存 在 ！前 面 三 法 均 不 正 确 , 时 ， 下 列 算 法 是 否 正 确 ?原 式 35 不 存 在 。、 证 明 yyx x002 lim yyx x00 lim:证 明 xyyx e lnlim00 xky ln取xy xkyx e lnlnlim 0 xxkx e lnlnlim 0 ke.lim 不 存 在yyx x00 36 2322 2222003 )( sinlim yx yxyxyx、 30 sinlim 20 31 coslim 6160 sinlim 37 解 .)(lim 22004 yx xxyyx 、 求 极 限 )0(,sin,cos yx令 .0)0,0(),( 等 价 于则 yx cos)cos(sin)(0 222 yx xxy cos)cos(sin ,2.0)(lim 2200 yx xxyyx故 38 14215 232 yeyxyxyxf xxy arctan)()(),(、 ),( 21xf求 ),( 21yf:解 ),( 21xf 12 xxf ),( 12 02 xxx 12 2222 xxx xx )ln( 44 ln),( 21 yf 11 22 yy yyf )(),( 39 ,xzy zyxu、6 .),( 121du求:解 1121 12 xdxxduxu ),(),( 442 112 xx xx )(2121 11 ydyyduyu ),(),( 12 yy)( 1121 21 zdz zduzu ),(),( 422 1 ln)( zz z dzdydxdu )ln(),( 424121 40 00 022 222322 22 yx yxyx yxyxf ,)(),(7、 证 明 :提 示 : 利 用 ,222 yxyx 212241 )(),( yxyxf ),(),(lim 000 00 fyxfyx 在 (0,0) 连 续f (0,0) (0,0) 0 x yf f 知在 点 (0,0)处 连 续 且 偏 导 数 存 在 , 但 不 可 微 .由 偏 导 数 定 义 ： 41 7、 00 022 222322 22 yx yxyx yxyxf ,)(),(证 明 ： 在 点 (0,0)处 连 续 且 偏 导 数 存 在 , 但 不 可 微 .),( yxf而 ),( 00f当 00 yx ， 时 , 22 00 )()( ),( yx f 222 22 )()( )()( yx yx 0 f 在 点 (0,0)不 可 微 ! 2322 22 )()( )()( yx yx 42 8、 解 ., )(),( yx zyzyz fxyxyfxz 2223求 ，具 有 二 阶 连 续 偏 导 数设 )1( 213 xfxfxyz ,2214 fxfx )1()1( 222121211422 xfxfxxfxfxyz ,2 22123115 fxfxfx 43 xy zyx z 22 )( 2)(4 222212 221211413 xyfyfx xfxyfyfxfx )( 2214 fxfxx .24 22114213 fyfyxfxfx 44 .9 22222 xuatuatx atx 化 简 方 程，利 用 变 量 代 换 解 tu tutu uaua 22tu )( 222 tutua )( 222 tutua 22222222 2 uauaua 2222222 2 uuuxu类 似 地 ， 4504 2222222 uaxuatu由 02 u得 22tu 22222222 2 uauaua 2222222 2 uuuxu 46 10、 设 其 中 f 与 F 分 别,),(,)( 0 zyxFyxfxz解 法 1. 方 程 两 边 对 x 求 导 ,得 xd zd )( 023 FFfxxd zd 1F 23 FFfx 1 32 FF fx 12 FF fxffx 221 FffFxfFx 具 有 一 阶 连 续 导 数 或 偏 导 数 , 求 fxfxd zdxd ydfx 132 Fxd zdFxd ydF f fx )( xd yd1 .xd zd xd ydF 2 03 xd zdF 47 解 法 2. 0 ),(,)( zyxFyxfxz xd zd, 求方 程 两 边 求 微 分 ,得 化 简消 去 即 可 得yd xdzd ydF2 03 zdFydfx 0 zd)( ydxdfxxdfzd 0321 zdFydFxdF xdfxf )( xdF1 48 11.设 ),( zyxfu 具 有 二 阶 连 续 偏 导 数 , 且 ,sintxz 2,)ln( yxt 求 ., yxuxu 2解 : u zyx tx yxxu 1f (3f txsin2 tx cos2 ) yxu 2 12f (13f tx cos2 ) )cossin2( 231 yx txtxff 32f 33f )1cos( 2 yxtx )cossin( yx txtx 22 3f yxtx 12 cos 22 )( yxx yxt 1sin )( yx 1cos t yx 1yx 1 49 解 ,dxdzzfdxdyyfxfdxdu ,cosxdxdy 显 然,dxdz求 得的 导 数两 边 求对 ,0),( 2 xzex y ,02 321 dxdzdxdyex y 12、 .,0),( ,sin,0),(),( 2 d xd uzf xyzexzyxfu y 求且，具 有 一 阶 连 续 偏 导 数设 50 于 是 可 得 , ),cos2(1 2sin13 xexdxdz x .)cos2(1cos 2sin13 zfxexyfxxfdxdu x 故 51 解 ? , ),(0 000222222 模此 方 向 导 数 等 于 梯 度 的 具 有 什 么 关 系 时的 方 向 导 数 ， 问的 向 径 处 沿 点在 点求 cbar zyxMczbyaxu 13、 , 2020200000 0 zyxrzyxr .cos,cos,cos 000000 rzryrx 处 的 方 向 导 数 为在 点 M coscoscos0 MMMM zuyuxuru 52 002000200020 222 rzczrybyrxax )(2 2222220 000 czbyaxr .),(2 20202 0000 zyx zyxu 处 的 梯 度 为在 点 M kzujyuixugradu MMMM ,222 202020 kczjbyiax 53 ,2 424242 000 czbyaxgradu M ,时当 cba ,2 2222 000 zyxagradu M ,2)(2 20202220202 22220 00 000 zyxazyx zyxaru M ,0 MM graduru ., 模此 方 向 导 数 等 于 梯 度 的相 等 时故 当 cba 54 极 大 值 ， 但 无 极 小 值 。 有 无 穷 多 个、 证 明 函 数 yy yexez cos)(114 :证 明 01 01 yy yx eyxz xez )(cos sin)(令 2 1202 y nxy nx )(,和解 得 xez yxx cos)( 1 xez yxy sin yyy eyxz )(cos 2 55 处在 )0,2( n 02020122 ABAC ， 且)(2 ,0n（ ） 202 ),( nz极 大 值 为处在 )2,)12( n ，0101 4 2222 eeeeBAC )(2 1) 2-n （ ， ） .故 函 数 无 极 小 值是 极 大 值 点不 是 极 值 点 56 之 间 的 最 短 距 离 与 平 面求 旋 转 抛 物 面 2222 zyxyxz15、解 .2261 ,022 ,),( 22 zyxd dzyxP yxzzyxP 的 距 离 为到 平 面 则上 任 一 点为 抛 物 面设分 析 : 最 小 即 且 使满 足 ， 使 得本 题 变 为 求 一 点 )22(61( 22610 ,),(22 22 zyxd zyxdzyx zyxzyxP 57 ),()22(61),( 222 yxzzyxzyxF 令 )4(, )3(,0)2)(22(31 )2(,02)22(31 )1(,02)22(31 22 yxz zzyxF yzyxF xzyxFzyx .81,41,41 zyx解 此 方 程 组 得 得 58.647241414161min d ),81,41,41(即 得 唯 一 驻 点 处 取 得 最 小 值 驻 点 ， 故 必 在 一 定 存 在 ， 且 有 唯 一根 据 题 意 距 离 的 最 小 值)81,41,41( 59 0)(2 020 zzcz)(2 020 yyby 16、 在 第 一 卦 限 内 作 椭 球 面 1222222 czbyax 的 切 平 面 ,使 其 在 三 坐 标 轴 上 的 截 距 的 平 方 和 最 小 ,求 该 切 点 的 坐 标 . 解 : 设 ,1),( 222222 czbyaxzyxF 切 点 为 ),( 000 zyxM则 切 平 面 的 法 向 量 为 zyx FFFn , ,2 20ax ,2 20by 202czM切 平 面 方 程 为 )(2 020 xxax 即 zczybyxax 202020 220220220 czbyax 1在 三 坐 标 轴 上 的 截 距 ,02xa ,02yb 02zc 60 例 16.在 第 一 卦 限 内 作 椭 球 面 1222222 czbyax 的 切平 面 ,使 其 在 三 坐 标 轴 上 的 截 距 的 平 方 和 最 小 ,求 该 切 点 的坐 标 . 问 题 归 结 为 求 222222 zcybxas 在 条 件1 222222 czbyax 下 的 条 件 极 值 问 题 . 设 拉 格 朗 日 函 数 222222 zcybxaF 1222222 czbyax)0,0,0( zyx 61 令 222222 zcybxaF 1222222 czbyax 2222 xaxaFx 02 2 ax 022 2222 byybybFy 022 2222 czzczcFy 1222222 czbyax cba aax cba bby cba ccz 由 实 际 意 义 可 知 cba cccba bbcba aaM ,为 所 求 切 点 . 62 将 方 程 两 边 分 别 对 yx, 求 偏 导 04222 04222 yy xx zzzy zzzx 由 函 数 取 极 值 的 必 要 条 件 知 , 驻 点 为 )1,1( P , 将 上 方 程 组 再 分 别 对 yx, 求 偏 导 数 , 解 63 ,21|,0|,21| zzCzBzzA PyyPxyPxx 函 数 在 P有 极 值 . 将 )1,1( P 代 入 原 方 程 , 有 6,2 21 zz ,当 21 z 时 ， 041A , 所 以 2)1,1( fz 为 极 小 值 ；当 62 z 时 ， 041A , 所 以 6)1,1( fz 为 极 大 值 . 64 129P总 习 题 九 20,17,14,11,9,8