回归分析、方差分析、统计优化

概 率 统 计 数 学 模 型新 乡 学 院 1、 保 险 储 备 策 略 问 题 某 企 业 每 年 耗 用 某 种 材 料 3650件 ， 每 日 平 均 耗 用 10件 ，材 料 单 价 10元 ， 一 次 订 购 费 每 件 25元 ， 每 件 年 储 存 费 2元 ， 每 件 缺 货 一 次 费 用 4元 ， 平 均 交 货 期 10天 ， 交 货 期内 不 同 耗 用 量 X的 概 率 分 布 如 下 表 所 示 ， 试 求 使 用 平均 费 用 达 到 最 小 的 订 货 量 、 订 购 次 数 及 含 有 保险 储 量 的 最 佳 订 货 点 。 X i 80 85 90 95 100 105 110 115 120 125 130Pi 0.01 0.02 0.05 0.15 0.25 0.20 0.15 0.10 0.04 0.02 0.01 /*数 学 建 模 步 骤 : (1)问 题 分 析 及 模 型 的 建 立 : a、 求 最 佳 订 货 量 及 订 货 次 数 ; b、 求 最 佳 订 货 点 和 保 险 储 备 量 (2) 模 型 的 Matlab实 现 方 法 */(1)问 题 分 析 及 模 型 的 建 立 名 词 解 释 ： 保 险 储 备 是 指 企 业 在 经 济 活 动 中 ， 按照 某 一 经 济 订 货 批 量 ， 在 订 货 点 发 出 订 货 单 后 ，如 果 需 求 增 大 或 送 货 延 迟 ， 就 会 发 生 缺 货 或 供 货中 断 。 为 防 止 由 此 造 成 的 损 失 ， 需 要 多 储 备 一 些存 货 以 备 应 急 之 需 ， 称 为 保 险 储 备 。 这 些 存 货 在正 常 情 况 下 不 动 用 ， 只 有 当 存 货 过 量 使 用 或 送 货延 迟 时 才 使 用 。 假 设 ： ）;/(C ）；/( 21 天件元储 存 费次元订 购 费 C );/();/(3 件元单 价件次元缺 货 费 UC ; ; 订 购 量订 货 周 期 日 平 均 需 求 量年 需 求 量 QT RD 。B;L ；S; 保 险 储 备 量平 均 送 货 期 订 货 点订 购 次 数 N a、 求 最 佳 订 货 量 及 订 货 次 数 货 物 订 货 量 Q=RT 记 任 意 时 刻 t的 库 存 量 为 q(t) ,则 有 ： q(t+ t)=q(t)-R t,0ts Q(j)=X(j)-s; else Q(j)=0; end end Q; E(i)=Q*P; C(i)=n*g*E(i); H(i)=h*B(i); T(i)=C(i)+H(i); end E,C,R,T;Mint=min(T); 运 算 结 果 为 ： E=（ 5.6000 3.000 1.4000 0.55000 0.2000 0.50 0) C=268.800 144.000 67.200 26.400 9.600 2.400 0 H=0 50 100 150 200 250 300 T=26.800 194.000 167.200 176.400 209.600 252.400 300.00 minT=167.2000, B*=10,S*=10. 结 果 ： （ 1） 不 采 用 储 存 策 略 ， 缺 货 费 用 较 多 ； （ 2） 保 存 较 多 的 库 存 量 ， 储 备 费 用 较 多 ； （ 3） 建 立 合 理 的 保 险 储 备 量 ， 则 企 业 的 年 度 平均 费 用 最 少 . 2、 回 归 分 析 商 品 销 量 与 价 格 的 关 系 某 厂 生 产 的 一 种 电 器 的 销 量 y与 竞 争 对 手 的 价 格 x1和 本 厂 的 价 格 x2有 关 ， 下 表 是 该 商 品 在 10个 城 市 的销 售 记 录 ， 试 根 据 这 些 数 据 建 立 y与 x1、 x2的 关 系式 。 若 某 市 本 厂 产 品 销 价 160元 ， 竞 争 对 手 销 价170元 ， 预 测 商 品 在 该 市 的 销 量 .x 1/元 120 140 190 130 155 175 125 145 180 150X2/元 100 110 90 150 210 150 250 270 300 250y/个 102 100 120 77 46 93 26 69 65 85 （ 1） 模 型 的 建 立 将 (x1,y)和 (x2,y)各 10个 点 绘 成 散 点 图 ， 可 以 看 出 y与 x2有 比 较 明 显 的 线 性 关 系 ， 而 y与 x1之 间 的 关 系则 难 以 确 定 ， 用 回 归 分 析 进 行 研 究 (plot(x,y,:r+) 回 归 分 析 的 类 型 : 最 简 单 形 式 :y=b0 + b1x 多 元 形 式 :y=b0 + b1x1 + b2x2 + + bmxm 更 一 般 形 式 : (多 元 线 性 回 归 的 标 准 形 ) y=b0 + b1f1(x) + b2f2(x) + + bmfm(x) 其 中 m2,x=(x1,x2, ,x m),fj是 已 知 函 数 b=(b0,b1, ,bm)为 回 归 系 数 在 回 归 分 析 中 自 变 量 x=(x1,x2, ,xm)是 影 响变 量 y的 主 要 因 素 ,是 能 够 被 控 制 和 观 察 的 ,且 还 受到 随 机 因 素 干 扰 ,可 以 合 理 假 设 这 种 干 扰 服 丛 正 态分 布 ,模 型 记 为 : )(0, 2110 N xbxbby mm 其 中 未 知 ,现 在 得 到 n个 独 立 观 察 数 据(yi,xi1,xi2, xim),i=1、 2、 、 n),nm 由 模 型 得 : n、2、1),(0, 2 110 iN xbxbbyi iimmii 记 Tmnnnmmn bbbyyYxxxxX ),(,11 10111111 则 回 归 模 型 的 矩 阵 形 式 为 ： ),0( 2 NXy 由 以 上 分 析 ， 对 于 商 品 销 售 量 与 价 格 的 回 归 模型 为 ： 22110 xbxbby (2)模 型 在 Matlab中 的 实 现 方 法 命 令 形 式 ： b=regress(Y,X) /*求 解 多 元 线 性 回 归 */ b,bint,r,rint,stays=regress(Y,X,alpha) 实 现 方 法 ： X1=120 140 190 130 155 175 125 145 180 150; X2=100 110 90 150 210 150 250 270 300 250; Y=102 100 120 77 46 93 26 69 65 85; X=ones(10,1) x1 x2; b,bint,r,rint,stays=regress(Y,X,alpha) 3、 单 因 素 方 差 分 析 广 告 宣 传 对 产 品 销售 量 的 影 响 某 公 司 为 了 研 究 三 种 内 容 的 广 告 宣 传 对 某 种 洗衣 机 销 售 量 的 影 响 ， 进 行 了 统 计 调 查 ， 经 过 广泛 宣 传 后 ， 按 寄 回 的 广 告 上 的 订 购 计 算 ， 一 年四 个 季 度 的 销 售 量 统 计 如 下 表 所 示 ：季 度 广 告 类 型A 1 A2 A31 163 184 2062 176 198 1913 170 179 2184 185 190 224 其 中 A1是 强 调 运 输 方 便 性 的 广 告 ； A2是 强 调 节 省 能 源 的 经济 广 告 ； A3是 强 调 噪 音 低 的 优 良 广 告 .试 问 哪 一 种 类 型 的 广告 促 进 洗 衣 机 销 量 增 加 所 起 的 宣 传 效 果 最 好 ？ (1) 问 题 分 析 及 模 型 的 建 立 单 因 素 方 差 分 析 ： 若 只 考 虑 一 个 因 素 对 实 验 指 标 的 影 响 ， 而 用 方 差 进 行 分 析 ，这 种 这 种 方 法 称 为 单 因 素 方 差 分 析 。 方 差 分 析 的 主 要 目 的 是通 过 实 验 数 据 分 析 推 断 因 素 A对 实 验 指 标 影 响 是 否 显 著 ， 即当 因 素 A取 不 同 水 平 的 实 验 指 标 有 无 显 著 差 异 。 假 设 检 验 的 因 子 有 m种 水 平 ， X1， X2， ， Xm是 m个 相互 独 立 的 正 态 总 体 ， 分 别 服 从 于 N（ i， 2） ， i=1,2, ,m； 另 外 ， x ij（ i=1,2, ,m ； j=1,2ni,)是 抽 得 的 分别 服 从 于 正 态 分 布 的 简 单 随 机 样 本 。 单 因 素 方 差 分 析 模 型 是 ： xij = i + ij ij N(0， 2) 对 于 上 述 模 型 中 所 提 出 的 多 个 正 态 总 体 均 值 是 否相 等 的 问 题 ， 提 出 假 设 检 验 ： H0: 1 =2 = m 定 义 平 方 和 分 解 公 式 )()()( 1,1, 21 1 1 21 21 1 2 111QQ xxxxxxQ xnnxxnxnn mi mi inj iijmi nj ij mi iinj ijiimi i ii i 其 中 Q1为 内 差 平 方 和 ， Q1是 反 映 数 据 xij在 抽 样 过程 中 产 生 总 的 程 度 的 一 个 评 价 指 标 。 Q2是 各 组 平均 值 与 总 平 均 值 的 离 差 平 方 和 。 通 过 Q2取 值 的 大小 可 以 反 映 原 假 设 H0是 否 成 立 构 造 F检 验 统 计 量 为 ：)( )1(12 mnQ mQF F(m-1， n-m) 检 验 方 法 ： 给 定 显 著 水 平 ， 当 FF(m-1,n-m)时 ， 则 拒绝 H0， 其 方 差 分 析 表 如 下 所 示 ：方 差 来 源 平 方 和 自 由 度 方 差 F值因 子 Q 2 m-1 s22=Q2/(m-1) s22/s12误 差 Q1 n-m s12=Q1/(n-m)总 和 Q N-1 s22=Q/(n-1) 方 差 分 析 一 般 用 的 显 著 性 水 平 是 ： 取 =0.01、 0.05 概 念 解 释 ： 洗 衣 机 销 售 是 一 个 试 验 指 标 ， 新 闻 广 告 是 影 响试 验 指 标 的 一 个 因 素 A， 三 个 不 同 广 告 内 容 可 以 看 种 不 同状 态 ， 称 为 水 平 ， 记 为 A1， A2， A3， 该 试 验 是 一 个 单 因子 三 水 平 的 试 验 。 试 验 分 析 ： I、 虽 然 用 同 一 种 广 告 ， 但 在 同 一 年 里 不 同 季 度 的 销 售 量不 同 ， 分 析 原 因 可 以 认 为 是 由 于 其 他 随 机 原 因 造 成 。 II、 不 同 的 新 闻 广 告 引 起 洗 衣 机 销 售 量 的 不 同 ， 可 能 是 广告 内 容 的 不 同 所 致 ， 也 可 能 是 其 他 随 机 因 素 所 致 。 III、 由 于 存 在 其 他 随 机 因 素 ， 为 了 便 于 简 化 与 可 操 作 性 ，假 设 这 些 随 机 因 素 对 洗 衣 机 销 售 量 的 影 响 是 次 要 的 ， 并 且假 设 三 种 广 告 类 型 为 三 种 不 同 的 总 体 ， 由 于 经 常 遇 到 的 是正 态 总 体 ， 因 此 ， 假 定 它 们 分 别 是 方 差 相 同 的 正 态 总 体 。 所 以 该 问 题 是 一 个 单 因 素 方 差 分 析 模 型 。 (2) 模 型 求 解 及 Matlab中 的 实 现 方 法 单 因 素 方 差 分 析 anova1(): 命 令 形 式 ： p=anova1(X) 其 中 X为 m n阶 的 矩 阵 。 功 能 ： 返 回 p=PFF(m-1,n-1),当 p时 ， 表 示接 收 H0。 模 型 求 解 命 令 ： fm=163 184 206 ； 176 198 191； 170 179 218； 185 190 224； anova1(fm). 其 运 算 结 果 为 ： ans=0.0039(p值 ） 其 方 差 分 析 表如 下 ： Source SS df MS F ProbFColums 2668.17 2 1334.08 10.93 0.0039Error 1098.5 9 122.06Total 3766.67 11 由 计 算 结 果 知 p=0.0039=0.05， 故 拒 绝 H0。 查表 可 求 得 F0.05(2,9)=4.26F=10.93,所 以 拒 绝 H0 认 为 不 同 类 型 的 广 告 内 容 对 洗 衣 机 销 售 有 显 著 影响 。 最 好 广 告 形 式 的 确 定 方 法 ： 定 义 minm iimi ii ,2,1,1 1 i 称 为 第 i个 水 平 对 试 验 结 果 的 效 应 值 ， i 反 映第 i个 水 平 因 子 对 试 验 指 标 作 用 的 大 小 。 . , iii iii xx xx 来 估 计 参 数计 值 可 以 用 点 估的 无 偏 估 计是点 估 计 值 根 据 上 述 计 算 可 知 ， 广 告 内 容 对 洗 衣 机 销 量 有显 著 影 响 ， 因 此 计 算 出 各 水 平 效 应 值 如 下 ：42.1933.19075.209 58.233.19075.187 83.1633.1905.173 33 22 11 xx xx xx 效 应 值 3最 大 ， 说 明 广 告 A3引 起 的 洗 衣 机 销 量 最多 ， 即 广 告 A3对 洗 衣 机 销 量 所 起 的 宣 传 效 果 最好 。 4、 统 计 优 化 设 计 车 灯 线 光 源 的 优 化 设 计 安 装 在 汽 车 头 部 的 车 灯 的 形 状 为 一 旋 转 抛 物 面 ， 车 灯 的 对称 轴 水 平 地 指 向 正 前 方 ， 其 开 口 半 径 为 36mm， 深 度 为21.6mm。 经 过 车 灯 的 焦 点 ， 在 与 对 称 轴 相 垂 直 的 水 平 方向 ， 对 称 地 放 置 一 定 长 度 的 均 匀 分 布 的 线 光 源 要 求 在 某一 设 计 规 范 标 准 下 确 定 线 光 源 的 长 度 该 设 计 规 范 简 化 为 ： 在 焦 点 F正 前 方 25m处 的 A点 放 置 一测 试 屏 ,屏 与 FA垂 直 ,用 以 测 试 车 灯 的 反 射 光 .在 屏 上 过 A点引 出 一 条 与 地 面 相 平 行 的 直 线 ,在 该 直 线 A点 的 同 侧 取 B点和 C点 ,使 AC=2AB=2.6m,要 求 C点 的 光 强 度 不 小 于 某 一 额定 值 ,B点 的 光 强 度 不 小 于 该 额 定 值 的 两 值 . 试 解 决 下 列 问 题 : (1) 在 满 足 设 计 规 范 的 条 件 下 ,计 算 线 光 源 长 度 ,使 线 光 源的 功 率 最 小 . (2) 对 得 到 的 线 光 源 长 度 ,在 有 标 尺 的 坐 标 系 中 绘 出 测 试 屏上 反 射 光 的 亮 区 . (3)讨 论 该 设 计 规 范 的 合 理 性 . (1) 模 型 的 建 立 建 立 坐 标 系 如 下 图 所 示 ,记 线 光 源 长 度 为 L,功 率 为 W、 B、 C点 的 点 光 源 强 度 分 别 为 hB(L)W, hC(L)W, hB(L)、 hC(L)待 求 。 车 灯 反 射 面 方 程 为 z=(x2+y2)/60,焦 点 坐 标 为 （ 0， 0， 15） 。 1、 位 于 点 P（ 0， w， 15） 单 位 能 量 的 点 光 源 反 射 到 点 C（ 0，2600， 25015） 的 能 量 设 反 射 点 的 坐 标 为 Q(x,y, (x2+y2)/60),a为 入 射 向 量 ， 该 点 反射 面 外 法 线 方 向 为 b,则 反 射 向 量 c=a - (2ab)b/|b|2 x yz ca bAF B Co Q .)900(60 81000036001800,900 )9002( ,9002c:),(cc )1,30,30(),1560rw,-y(x,a ,r 2242 22 2xx 2222 r wyrrcr rywc r xywcc yxbyx zy zy 的 表 达 式可 得 由记 wyrkcykcx zy 2 900r-k0 x，k 6025015,2600,kc ：，C 22x 或从 上 述 公 式 解 得为 常 数其 中 应 有点注 意 到 反 射 光 通 过 2 2345 9005200 )2600(13 3750 021060000001350810000)8100009360000( )46800001498200(1800)2600(y 0 x :yyx w wy wyw ywyyw 中 以 下 两 组 方 程由 此 可 得 反 射 点 坐 标 满 .2,1),60,0(,ww .36r ww,56.1w， 2iC0 22 C0C0 iyyQ ， ，ii有 两 个 反 射 点时而 当 即 无 反 射 点的 实 根第 一 组 方 程 不 存 在 满 足 时当存 在通 过 计 算 可 知 .),60 xy,x,( 36r -1.5609w3.8119- 4322 22 ，QQy ，记 为反 射 点 即 有 两 个的 一 对 实 根存 在 满 足 时而 第 二 组 方 程 仅 当 .QC 60r-25015cos z.4cosM CQ w,15)P(0,z),y,Q(x, 22 轴 的 夹 角为 反 射 向 量 与而 点 有 能 量 密 度 为点 反 射 到单 位 能 量 点 光 源 经 的则 位 于若 反 射 点 的 坐 标 为PQ 2、 hB(L)、 hC(L)的 表 达 式 长 L的 具 有 单 位 能 量 的 线 光 源 位 于 点 P(0,w,15)的 长dw的 微 小 线 光 源 段 反 射 到 C点 的 能 量 密 度 为 4,3,5609.1,8119.3,0 ,5609.1,8119.3,4cos)( 2,1,30,0 ,2,4cos)(f /)()( 2 0 002i 41 iw wPQwf iww wLwPQw LwfwE iii C Ciii i 其 中 相 应 的 反 射 点 方 程 为的 表 达 式同 理 可 得 点 的 能 量 密 度 为反 射 到的 具 有 单 位 能 量 的 光 线长 ，L dwwEL LL )(h )()(h :CL B22C .0.7800005-0.1906,-w ,78.0w 9005200 )2600(13 3750 021060000001350810000)8100009360000( )46800001498200(1800)2600(y 0 x C0 2 2345 点 的 范 围 为而 第 二 组 方 程 两 个 反 射相 应 的 yyx w wy wyw ywyyw 3、 优 化 设 计 的 数 学 模 型 设 线 光 源 的 功 率 为 W、 则 W反 射 到 B、 C点 的 能量 密 谋 分 别 为 hB(L)W,和 hC(L)W。 问 题 的 数 学 模型 为 ： 1)(2)(.min 00 LhWLhts W CBLL (2)、 模 型 的 求 解 hB(L)、 hC(L)可 以 用 数 值 积 分 求 得 。 hB(L)应具 备 下 列 性 质 ： *B C0 0 0 0 ),(2)(h )(mm。m20, |20,0)( LLLhL。 ， LL， ，LL，L LLL LLL WLLLh CBB B BB BBB 其 解 为数 值 求 解右 移 相 应 地且 起 亮 值 和 最 大 值 点 均似 的 性 质 也 有 类如察 的 最 大 范 围 为 考为 最 大 值 点为 起 亮 值其 中 62.3L6.22,.16,3w ,)(2)(1w ).,(,LL, * * *CB CBBC CBCB LL 。LhLh LLLL、L数 值 计 算 结 果 为 最 小 值为 问 题 的 最 优 值 则 可 以 证 明令 且 有再 求 出 (3)、 反 射 光 亮 区 的 计 算 分 别 将 线 光 源 和 车 灯 反 射 面 离 散 化 为 点 光 源 和 面 元的 集 合 ， 计 算 每 一 点 光 源 关 于 每 一 车 灯 反 射 面 元 的反 射 光 线 ， 判 断 其 是 否 与 车 灯 反 射 面 相 交 ， 若 相 交 ，一 次 反 射 光 不 能 到 达 测 试 屏 ， 否 则 求 出 该 反 射 光 线与 反 射 屏 平 面 的 交 点 ， 即 为 射 亮 点 。 所 有 这 些 亮 点的 集 合 即 为 反 射 光 亮 区 。 亮 区 的 上 半 部 分 如 图 所 示 ，下 半 部 分 与 上 半 部 分 是 关 于 x轴 对 称 的 0 200 400 600 800 1000-200-400-600-800-1000-50005001000150020002500300035004000 反 射 光 亮 区