时间序列电子科大第二章

第二章 线性平稳过程 2.1一般线性过程2.2 平稳序列的线性数学模型 2.3 ARMA序列的因果可逆性2.4 ARMA模型的平稳性条件和可逆条件 在应用时间序列分析中，最常用的平稳序列是线性平稳序列，即由白噪声的线性组合构成的平稳序列. , Ztt 定义 零均值序列 称为白噪声 .0,0 ;0,)( 2 hhhr不相关若其自相关函数满足 一、线性平稳序列2.1一般线性过程 又若 是正态时间序列，称为正态白噪声（WN(0, 2)）., Ztt 若存在非负整数 q 和常数a0, a1, , aq，使时间序列Xt可表示为ZtaaaX qtqttt ,110 称为白噪声的滑动平均. 注1 可将Xt 视为线性滤波器的输出，白噪声看成驱动系统的扰动序列(激励). 线性滤波器, Ztt 白噪声tX 注2 Xt ,t Z 是平稳序列.例 发声系统ZtEaEaEaXE qtqttt ,0)()()()( 110 qj qh hktjthj Eaa0 0 )( )(02 kraaqj kjj )(),( ktt XXEkttr qh hkthqj jtj aaE 00 )( hktjt 二、线性过程的两种等价形式1. 传递形式时间序列分析中建立随机模型的思想： 将顺序值之间高度依赖的时间序列 Xt 看成由一系列独立“冲击”序列所生成. 通常将“冲击”序列理想化为白噪声过程 ，时间序列 Xt 取为白噪声的加权和. , Zt t Wold 分解式（正交分解）：任意零均值纯非确定的平稳过程都可表示为线性形式ZtX jtj jt ,0 (2.1.1)无穷阶滑动平均权系数称为沃尔德系数(格林函数、传递函数)，其中 , Ztt 是白噪声序列. 1,2,1,0, 0 jj 注1 （2.1.1）式可表示为算子形式 tt BX )( 011)( j jjj jj BBB 其中称为传递函数或沃尔德系数的生成函数.(2.1.1) 注2 对动态数据进行适当的预处理，可将非平稳序列平稳化与零均值化. 线性滤波器, Ztt tX 将时间序列Xt 视为线性滤波器的输出，白噪声看成驱动系统的扰动序列(激励)(B注3 （2.1.1）式的工程解释输入输出tt BX )(线性滤波器模型传递函数 2. 自回归形式无穷阶自回归在适当条件下 可表示为线性形式, ZtXt ZtXX jtj jtt ,1 ZtXBXB tt j jjt ,)()1( 1 (2.1.2), Ztt 是白噪声序列或XtXt2Xtp Xt1 例2.1.1 考虑单摆运动,2,1,0,1 taXX ttt X0是单摆的初始振幅，Xt 是第t 次摆动的最大振幅， 是空气振动造成的随机干扰， t 式(2.1.2) 与式(2.1.1)互为逆转形式：3. 生成函数的关系 ,)( tt BX tt XB)( 单摆受扰图 将生成函数 作用于(2.1.2)式)(B ttt XBBBX )()()( 11 )()(,)()( BBBB 得,1)()( BB (2.1.3)或, Zt t 白噪声tt BX )(传递形式：)(B满足一定条件收敛. ZtXB tt ,)( ZtXt ,)(B逆转形式：例2.1.2 若平稳序列的自回归形式为ttt XX 1有，其中BB 1)( ttXB )(或 BBB 1 1)()( 1 jjBBB 221求得传递形式为 ttt BBX )()(1 jtj j 0 三、线性过程的均值函数与自协方差函数 定理2.1.1 (单调收敛定理) 若非负随机变量序列 单调不减，则当 210 有时，., san )()(lim EE nn 推论 若时间序列Yt满足下式左端的级数收敛条件, 则有 t tn nt tnt t YEYEYE )(lim 定理2.1.2 (控制收敛定理) 若随机变量序列n满足 ,., 00 Esan和则当 时，有 ，且., san )()(lim EE nn )(E注 几乎处处收敛, 若二阶矩荐在，则一定均方收敛，故 有 )l.i.m.()(lim nnn EE 定理2.1.3 线性过程 tt BX )( Ztjtj j ,0若传递函数绝对可和 , 则有 0j j 02)( j kjjkr (2.1.4)均值函数 ， 0)( tXE自相关函数为 ZtE jtj j ,0)(0 证明ZtsaX jtnj jnt .).(,lim 0 由单调收敛定理之推论)lim)( 0 jtnj jnt EXE ( 0 222)0( j jXr 特别 (2.1.5)级数可和保证过程有有限方差 )()( ktt XXEkr nh hkthnj jtjn E 00 )(lim nj nh hktjthjn E0 0 )(lim nj kjjn 02lim 02 j kjj思考：0)(lim kk ？ 命题2.1.1 线性过程ZtX jtj jt ,0 若满足以下条件之一，序列具有平稳性 . 1）沃尔德系数绝对可和： 0j j 四、线性过程的平稳性定理2.1.3之证明 011)( j jjj jj zzz 解释 在单位圆上或单位圆内级数收敛.当 收敛. 1z 注 若条件1）成立有 概率为1地收敛（a. s.） Zt jtj j ,0 2）沃尔德系数的生成函数 续例2.1.2 已知满足ttt XX 1的平稳序列有传递形式tt BX )( jtj j 0递推可得到 ttttttt XXX 12212 )( ttktkktk X 111 021)1(220 ktkkj ktjt XX .kas 0 jtkj j 即随机变量序列均方收敛于 jtj j 0 是常数，因)0()( 2 rXEX tt 则当,1 WN(0,32) (1/n)(5/4) 五、线性过程的可逆性条件 平稳序列存在传递形式，表示为白噪声的无穷加权平均. 逆问题？ 在什么条件下，可由序列 的加权和表示白噪声序列？ tX ZtXBXB ttj jjt ,)()1( 1过程的等价形式 定义2.1.1 平稳线性过程 称为可逆的，, ZtXt 0j j j若存在常数序列 ，满足(2.1.6) 0 ,j jtjt ZtX使 注 条件(2.1.6) 成立，即在单位圆上或单位圆内级数收敛，表达式惟一. 由平稳线性过程的两个等价形式，有 ,1)()( BB,)()( 1 BB令作用于传递形式tt BX )( ttt XBBB 11 )()()( 即ZtXBXB ttj jjt ,)()1( 1 故当 时线性过程可逆.0j j 软 腭悬 雍 垂咽 后 壁口 咽舌 扁 桃 体会 厌 谷X线 侧 位 片 口咽 部 结 构 会 厌 软 骨喉 会 厌 部 杓 状 软 骨 喉 会 厌 下 部 颈 部 气 管 舌 骨 喉 前 庭 假 声 带 喉 室 真 声 带 所给的图片正面图大片红色的部分，靠近眉毛的是额窦，在鼻子两旁的是上颌窦，都参与发声；侧位图中靠耳前上方的红色窦腔是蝶窦。 初值为0.3，扰动方差为9