物理实验数据处理方法

数据处理方法数据处理是指从获得的数据得出结果的加工过程，包括 记录，整理，计算，分析等处理方法。用简明而严格的方法 把实验数据所代表的事物在的规律提炼出来，就是数据处理。 正确处理实验数据是实验能力的基本训练之一。根据不同的 实验容，不同的要求，可采用不同的数据处理方法。本章介 绍物理实验中较常用的数据处理方法。1 列表法获得数据后的第一项工作就是记录，欲使测量结果一目了然，避免混乱，避免丢失 数据，便于查对和比较，列表法是最好的方法。制作一份适当的表格，把被测量和测量 的数据一一对应地排列在表中，就是列表法。一、列表法的优点1. 能够简单地反映出相关物理量之间的对应关系，清楚明了地显示出测量数值的 变化情况。2. 较容易地从排列的数据中发现个别有错误的数据。3. 为进一步用其他方法处理数据创造了有利条件。二、列表规则1. 用直尺划线打表，力求工整。2. 对应关系清楚简洁，行列整齐，一目了然。3. 表中所列为物理量的数值（纯数），因此表的栏头也应是一纯数，即物理量的符 号除以单位的符号，例如：a /ms3 I/10-3A等，其中物理量的符号用斜体字，单位的 符号用正体字。为避免手写正、斜体混乱，本课程规定手写时物理量用汉字表示，例如： 加速度/mn、电流强度/10-3A。4. 提供必要的说明和参数，包括表格名称、主要测量仪器的规格（型号、量程、 准确度级别或最大允许误差等）、有关的环境参数（如温度、湿度等X引用的常量和物 理量等。三、应用举例例1用列表法报告测得值。（见表1）列表法还可用于数据计算，此时应预留相应的格位，并在其标题栏中写出计算公式。表1用伏安法测量电阻伏特计1.0级，量程15V，阻15kQ毫安表1.0级，量程20mA，阻1.20Q测量序号k电压U k / V电流I k / mA10022.003.8534.008.1546.0012.0558.0015.80610.0019.90四、列表常见错误1. 没有提供必要的说明或说明不完全，造成后续计算中一些数据来源不明，或丢 失了日后重复实验的某些条件。2. 横排数据，不便于前后比较(纵排不仅数据趋势一目了然，而且可以在首行之 后仅记变化的尾数)。3. 栏头概念含糊或错误，例如将U k / V写成U k (V)或U k，V等。4. 数据取位过少，丢失有效数字，给继续处理数据带来困难。5. 表格断成两截，达不到一目了然。要按照列表规则养成良好的列表习惯，避免出现以上的错误。列表法是最基本的数据处理方法，一个好的数据处理表格，往往就是一份简明的实验 报告，因此，在表格设计上要舍得下功夫。2作图法在研究两个物理量之间的关系时，把测得的一系列相互对应的数据与变化的情况用 曲线表示出来，这就是作图法。一. 作图法的优点1. 能够形象、直观、简便地显示出物理量的相互关系以与函数的极值、拐点、突 变或周期性等特征。2. 具有取平均的效果。因为每个数据都存在测量不确定度，所以曲线不可能通过 每一个测量点。但对于曲线，测量点时靠近和匀称分布，故曲线具有多次测量取平均的 效果。3. 有助于发现测量中的个别错误数据。虽然曲线不可能通过所有的数据点，但不 在曲线上的点都应是靠近曲线才合理。如果某一个点离曲线明显的远了，说明这个数据 错了，要分析产生错误的原因，必要时可重新测量或剔除该测量点的数据。4. 作图法时一种基本的数据处理方法，不仅可以用于分析物理量之间的关系，求 经验公式，还可以求物理量的值。但受图纸大小的限制，一般只有34位有效数字， 且连线具有较大的主观性。所以用作图法求值时，一般不再计算不确定度。在报告实验结果时，一条正确的曲线往往胜过百个文字的描述，它能使实验中各物 理量间的关系一目了然，所以只要有可能，实验结果就要用曲线表达出来。二. 作图规则1. 列表 按列表规则，将作图的有关数据列成完整的表格，注意名称、符号与 有效数字的规使用。2. 选择坐标纸 作图必须用坐标纸。根据物理量的函数关系选择合适的坐标纸， 最常用的是直角坐标纸，此外还有对数坐标纸、半对数坐标纸、极坐标纸等。本节以直 角坐标为例介绍作图法，其他坐标可参考本节原则进行。坐标纸的大小要根据测量数据的有效位数和实验结果的要求来决定，原则是以不损 失实验数据的有效数字和能包括全部实验点作为最低要求，即坐标纸的最小分格与实验 数据的最后一位准确数字相当。在某些情况下例入数据的有效位太少使得图形太小，还 要适当放大以便与观察，同时也有利于避免由于作图而引入附加的误差;若有效位数多， 又不宜把该轴取得过长，则应适当牺牲有效位，以求纵横比适度。3. 标出坐标轴的名称和标度 通常的横轴代表自变量，纵轴代表因变量，在坐 标轴上表明所代表物理量的名称（或符号）和单位，标注方法与表的栏头相同，即量的 符号（可用汉字）除以单位的符号。横轴和纵轴的标度比例可以不同，其交点的标度值 不一定是零。选择原点的标度值来调整图形的位置，使曲线不偏于坐标的一边或一角； 选择适当的分度比例来调整图形的大小。使图形充满纸。分度比例要便于换算和描点， 例如，不要用4个格代表1（单位）或用1格代表3 （单位）一般取1，2, 5，10标 度值按整数等间距（间隔不要太稀或太密，以便于读数）标在坐标纸上。3. 描点和连线根据测量数据，用削尖的铅笔在坐标图纸上用“+”或“x”标出各测量点，使各测 量数据坐落在“+”或“X”的交叉点上。同一图上的不同曲线应当用不同的符号，如“X”、 “+”、“”、“”、“口”等。用透明的直尺或曲线板把数据点连成直线或光滑曲线。连线应反映出两物理量关系 的变化趋势，而不应强求通过每一个数据点，但应使在曲线两旁的点有较匀称的分布， 使曲线有取平均的作用。用曲线板连线的要领是：看准四个点，连中间两点间的曲线， 依次后移，完成整个曲线。5. 在图上空旷位置，写出完整的图名、绘制人与绘制日期，所标文字应当用仿宋体。三、求直线的斜率和截距直线时，其方程具有形式y=b0+b1xo只要求出斜率b1和截距b0,就可以得到关于 物理量x，y的经验公式。在许多实验中也通过求斜率或截距来求得物理量。例2.测定有一固定转轴的刚体的转动惯量J,该刚体受到动力矩M和阻力矩M“的作用， 根据转动定律M - M“=J0，写成M =M/J们设阻力矩为常量，这就是一个直线方程。 改变动力矩M,测得一系列相应的角加速度0，作M-0曲线，求出斜率和截距，就得 到了转动惯量和阻力矩。1. 求斜率直线方程y=b0+ b1x斜率（1）在曲线上取PX，y2）和p2（x2, y2）两点代入（1）式，即可求得斜率。求斜率时要 注意：（1）P、p2必须是直线上的点，且不可取测量点；（2）叫、P2在测量围以，且相距尽量远；（3）叫、P2用不同于作图描点的符号标出，例如用或口，标上字母符号叫或P2 与坐标值。读数和计算时注意正确使用有效数字；（4）在实验报告上写出计算斜率的完整过程。2. 求截距截距b0是对应于x=0的y值。在曲线上另取一点P3（x3，y3），将x3、y3的值和（1） 式，代入直线方程，求得-1”3 一如果作图时x轴标度从零开始，截距b0也可以从图上直接读出。四、应用举例 例3.以例1伏安法测电阻为例，用作图法求电阻R。表2作图数据列表k测量序号xUk (V)Ik( mA)y10022.003. 8534.008. 1546.0012. 0558.0015. 80610.0019. 90在直角坐标纸上建立坐标，在横轴右端标上“电压/V”，以1 mm代表0.1V，原点标 度值为0,每隔20mm依次标出2.00，4.00，6.00，8.00，10.00；在纵轴上端标上电流 /mA，以1 mm代表0.2mA，原点标度值为0，每隔25mm依次标出5.00，10.00，15.00， 20.00。如图 1。削尖铅笔，按照表2的数据，用符号“+”描出各测量点，然后用透明的直尺划一 条直线，连线时注意使6个测量点靠近直线且匀称地分布在该直线的两侧。在曲线上方空白处写上图名“电阻的伏安性曲线”。为求斜率，在曲线上取两点用“。”标出，并在旁边写上符号和坐标值口 (1.00， 2.02)和 p2 (9.00，17.98)图1电阻的伏安特性曲线斜率R电阻气二 17.98-2.02.9959.00 - 1.00-J = 0.501 kQ 1.995五、曲线改直按相关物理量作成曲线虽然直观，但要判断具体函数关系却比较困难。通过适当的 变换，将曲线改成直线，再作图分析就方便得多，而且容易求得有关的参数。例4带等量异号电荷的无线长同轴圆柱面之间的静电场中，某点A的电场强度E 的大小和A点到轴线的距离r成反比。现用实验来验证E(1/r)(见实验4)。实验中 不能直接测电场强度，只能测得A点的电位U，根据场强和电位的关系E=dU/dr，从E 8(1/r )可推出Uxln(r)。实验数据处理时作r U图线(以U为横轴，r为纵轴)，得到一条曲线，很难看出他们有怎样的函数关系(图2a)。若仍以U为横轴，而已ln(r) 为纵轴，则图线为一条直线(图2b)，这就证明了 U 8ln(r),从而严正了 Ea - (1/r ) 的关系。(a) r-U 曲线(b)lnr-U 曲线图2曲线改直六、作图中的常见错误1. 原点标度不当，图形偏于一边或一角；坐标比例不当，图形太小或部分实验 点超出图纸而丢失。2. 在坐标轴上标出了测量值或在实验点旁标出其坐标值。3. 用“作为描点的符号；用圆珠笔作图或者没有把铅笔削尖；徒手连线或者 用直尺连曲线。4. 求斜率，截距使用了测量电。应注意，即使曲线通过了测量点，该点也不可 用来求斜率和截距。最后应该指出，不要以为作图法仅仅是做完实验之后处理数据的一种方法，从分析 实验任务设计方案时就可以运用作图法的思想。例3就巧妙地绕开了阻力矩地影响求得 了转动惯量。作图法适用于物理实验的全过程。在教学中，作图法对于物理思维，实验 方法和技能的训练有着特殊的地位和作用。3 逐差法当两物理量成线性关系时，常用逐差法来计算因变量变化的平均值；当函数关系为 多项式形式时，也可用逐差法来求多项式的系数。逐差法也成为环差法。一、逐差法的优点1. 充分利用测量数据，更好地发挥了多次测量取平均值的效果。2. 绕过某些定值未知量。3. 可验证表达式或求多项式的系数。二、逐差法的适用条件1. 两物理量x，y之间的关系可表达为多项式形式。例如：y=b0+ b1xy=b0+ b1x + b2x2y=bo+ bix + b2x2 + b3x2. 变量x必须是等间距变化，且较因变量y有更高的测量准确度，以致通常x 的测量不确定度忽略不计三、逐项逐差逐项逐差就是把因变量y的测量数据逐项相减，用来检查y对于x是否成线性关系， 否则用多次逐差来检查多项式的幂次。1. 一次逐差若y = b0+ b1x,测得一系列对应的数据X, x2，xk，xny1，y2，yk，yn（3）逐项逐差，得到：3x=yk+1_yk=Ayk因为y对于x成线性关系，且x为等间距变化，故 yk=常量。所以，若对实验测 量值进行逐项逐差，得到Ayk常量则证明y对于x成线性关系。2. 二次逐差若y = b0+ bx + b2x，则逐项逐差后所得结果AykN常量，遂将Ayk再作一次逐项逐 差（称为二次逐差）Ay2_Ay=AyEKvk1_、=、同理，若二次逐差结果Ayke常量，则可证明y对于x为二次幂的关系。依此类推，还 可以进行三次逐差或更高次逐差。四、分组进行逐差求多项式的系数用逐差法来求因变量变化的平均值，或求多项式的系数时，不能用逐项逐差，而是 把n项测量值分为上、下两组，用下组中的每一个数据与上组中对应的数据一一相减。1. 当y对于x为线性关系y=b0+ bx时，用一次逐差即可求系数b0和。（1）求系数测得值如（3）式，共有n项对应值。分为上、下两组，每组有l =n/2项。隔l项 相减作逐差：yk=b0+bixi（4）yk+i=b0+ bixk+i两式相减得到yk+_yk=b1（xk+_xk）上式左边为因变量隔l项得逐差值，记为、yk；右边括号中为l倍自变量间隔，记 l （x2_x1），则上式写为5 lyk=b1 l （x2_x）（5）从k=1到k=l共可得到l个5ly值，取平均记为5jy。代入（5）式，求得系数 得值b Ebi 73H、21（2）求系数b0将系数值代入（4）式，有V1 = b0+ b1x1V2 = b0+ b1x2一共n个yk，每个yk都可以求出一个b0,n个b0取平均，即为所求系数b0得值:nnn技I Vb0-b i .乙 xn k = 1b y - b -x2? M= b0+b1x + b2x2，求系数时，则须将第一次逐差得到的5jyk再分成上、 下两组，进行第二次逐差，从而求得系数b2，然后依次求出和b0。由此类推，也可以进行多次逐差求高次项的系数，但实际上很少使用。3. 系数b1和b0的标准偏差(1) b1的标准偏差根据(6)式，由、y而来，故通常用于求多次测量平均值标准偏差的公式b0的标准偏差由y和的标准偏差合成 七(y) 一户uE=u产得到。如前所述计算过程中X的测量不确定度忽略不计。求出5】y的标准偏差s(5y)，再用不确定度传播公式y=f(X，x2，)求得系 数b1的标准偏差s (b1)o(2) b0的标准偏差由(7)式可见五、应用举例例5仍以伏安法测电阻为例(见例一)，用逐差法求电阻R。I = b0 + b1U，R=1/ b1;共 6 项，n=6，l = n/2 = 3，故隔 3 项逐差，53Ik =Ik+3 -Ik求系数b表3逐差法处理数据序号kI/10-3AIk+3/ 10-3A6 3Ik/10-3A1012. 0512. 0523. 8515. 8011. 9538. 1519. 9011. 75平均-11.91753 l求被测量R：R- b 10.5035 k。-503.5。k = 1l( l- 1)求b的标准偏差0.0882-0.0147-U3 -2，书3 I0.0882s( R)sbR0.0147:0.007401.986求R的标准偏差b 1 s(R)=503.5*0.740%=3.幼六、逐差法中常见错误1. 求系数时使用了逐项逐差上例中，若用逐项逐差求电流变化的平均值，则算式为il T ：十 il 一 I 3 .+ ：I - i I - I 21、32、65； _ 61显然，中间各测量值都被抵消掉了，只用了第一次和最后一次测量值，失去了多次 测量取平均值的意义。2. 奇数项失（n=奇数），上组少分一项假设上例中共测了 9次，n=9,应分为上组5项，下组4项，隔5项逐差后得到4 项，若按上组少分一项分组，则是隔4项逐差，似乎最后可多得到一项为I9I5。但仔 细考察可见，该项和第一项I5Ij的I5抵消掉了，仍旧是没有利用15。所以，凡n为奇 数时，应上组多一项，作隔I=n+1/项逐差。3. 列表表达不清楚表中应表达出是隔几项逐差，反映出1、yk、yk+15iyk之间的对应关系。4最小二乘法和一元线性回归从测量数据中寻求经验方程或提取参数，称为回归问题，是实验数据处理的重要容。 用作图法获得直线的斜率和截距就是回归问题的一种处理方法，但连线带有相当大的主 观成分，结果会因人而异；用逐差法求多项式的系数也是一种回归方法，但它又受到自 变量必须等间距变化的限制。本节介绍处理回归问题的又一种方法一一最小二乘法。一、拟合直线的途径1. 问题的提出假定变量X和y之间存在着线性相关的关系，回归方程为一条直线y=b0+b1x（8）由实验测得的一组数据是xk、yk （k=1，2,，n），我们的任务是根据这组数据拟 合出（8）式的直线，即确定其系数b0、b1O我们讨论最简单的情况，假设（1）系统误差已经修正；(2) n次测量的条件相同，所以其误差符合正态分布，这样才可以使用最小二乘 法原理；(3) 只有yk存在误差，即把误差较小的最为变量x，使不确定度的计算变得简单。2. 解决问题的途径一一最小二乘法原理由于测量的分散性，实验点不可能都落在一条直线上，如图3。相对于我们所拟合 的直线，某个测量值尸在尸方向上偏离了，vk就是残差vk=yL= y-(b0+b1xk)S( x)-A1n 一 1n_ k = 1n yi k = 11 .联想到贝塞尔公式系数。W 2一k如果k=1 的值小，那么标准偏差s(y) 就小，能够使s (y)最小的直线就是我们所要拟 合的直线。这就是最小二乘原理。最小二乘原理：最佳值乃是能够使各次测量 值残差的平方和为最小值的那个值。由(9)式可见，b0和决定vk的大小，能X 2够使k=1 k为最小值的b0、值就是回归方程的.回归方程的系数1.用最小二乘原理求回归方程的系数nnE :V】2 - 孔-b1 X 2k = 1k = 1(10)使Evk最小值，极小值条件是一级导数等于零和二级导数大于零。这里xk、yk是测量 值，变量b0和b(10)式分别对b0和求偏导数nnb】0 k=1k=1=(11)5S b0n2 、-罕.七k=1=-0整理后得(12)_x2 b i + x b o xyx bi* bo -y其中 U ； x ： _1 .亍1 yx2.5 ix _1n K k n k nn解联立方程(12),得到nk=ixkyb1(13)bo ybix (14)n（13） 式对b0和b1再求一次导数，得到 崎 的二阶导数大于零。这样13）和k = 1n（14）式给出的b0和b1对应于 稣的极小值，即为回归直线的斜率和截距的最佳k=1估计值，于是就求得了回归方程（8）。2. 为了便于记忆和用计算器或计算机编程计算，引入符号LxyLxxLyyk = 1(15)很容易证明妇4项宜雄:宜 用二1杼二1 于是Lb q1 Lxx3. 测量点的重心一由（14）式，得到y二b +b天，可见回归直线通过匕,y点。点,y 重心。理解这点，有助于用作图法处理数据时的连线。（17）称为（xk，yk）的三、回归方程系数的标准偏差1. yk的标准偏差由(12)式，我们很容易求得yk的标准偏差(18)式中分母n-2是自由度，可以作如下解释：两点决定一条直线，只需测量两个点，即 可解出直线的斜率和截距，现在多测了 n-2个点，所以n-2是自由度。s(y)是因变量yk的标准偏差，在满足本节开始的三个假设的条件下，我们可以对照 测量列的标准偏差的意义来理解s(y):对于自变量的某一个取值，因变量是直线上相应 的一个点，在重复条件下作任意次测量，实测点落在与直线上相应的距离在s(y)围以的 概率是68。3%。s(y)描述了测量点对于直线的分散性。2. 回归方程系数的标准偏差(1)的标准偏差s (b1)我们的任务是从s(y)求出加和b1的标准偏差，所以首先要找到b1和yk之间的关系。由(17)式以及(谊nE珏：= (在及未进行修约的条件下)，整理推导得bLy1 Lxxy氐01 kk = 1nEk=1k=1(19)按照不确定度的传播与合成的方法，可求的标准偏差。注意到(19)式，场由多项带有系数的yk求和得到，所以，s(b1)具有方和根的形式，方差s2 (外)为s2(b 1)- sk = 1他bj2s2 (y)将(19)式代入上式，整理后开方得到如1孕Lxx (20)(bo)(2). b0的标准偏差s同理可推导出j部1； (21)3. 讨论(1) s (b0)是截距b0的标准偏差。如果得到s (b0) 0,则 b10，回归直线的斜率为正，称为正相关：r0,贝b10，回归直线的斜率为负，成为 负相关。图4不同相关系数的数据点分布示意图2. 相关系数的数值：x，y完全不相关时，r=0；全部实验点都在回归直线上时， lrl=1。R的数值只在-1与+1之间，即-1V r 0.917, 表明I与U显著相关，即回归直线的直线性很好。2.求系数Lb. :=1.9S93%刁-白：二顼网3. 求系数的标准偏差成1）3I 1八= ：=0.49 40气h - 2sbj -0.0169口） ； = E咽）；罚也，s（%）您直线通过原点。4. 求电阻与其标准偏差R -1- ：= 502.69:=0849 103：= 502.69 0 0S49 % ：= 4.27：=4片 气，5. 说明：在相关性很好的情况下，r接近于1,则（24）式中分子（1饥一1为零，以致 不能计算出s（加）和s（b0）。所以表5中的各项计算求和、平方、平均等要保留到比r值 所含的“9”的个数还要多23位数字。例6中r=0.999 856，小数点连续有3个“9”，故 求回归方程系数的运算（包括表5）取56位数字。中间运算过程亦如此，直到计算出合成 不确定度或扩展不确定度之后，再把不确定度取为2位有效数字，以与把测量结果修约到与 不确定度的末位对齐。参考资料附录1.美国斯坦福仪器厂生产的数字锁定放大器（附件）使用说明书。附录2、3.大学科教仪器厂制作的“激光实验仪使用说明光盘”。附录4.傅思镜编赖天树校，光电专门实验，大学教材科，1995附录5,金重、金环等编著，大学物理实验教程（工科），南开大学，2000, P30-44,