分数、百分数应用题初步

第十一讲分数、百分数应用题初步教学说明： 在课本上此章节应为小学六年级上半学期内容，也是整个小学的重难点，但各各学校的进度不一，有部分学校已经讲解过，在我们奥数的学习进度中也必须提前有所了解，所以教师在讲解时侧重于基础知识的理解应用提高，同时兼顾本班孩子的进度，进行适当补充，为我们以后的工程问题、经济浓度等问题打好基础！我们将“列方程解应用题”放在此讲之前，意在让学生多一种解决分数、百分数应用题的方法，增加他们的信心，但主体仍以算术方法为主，碰到个别例题教师可讲述方程思路.例题后的巩固题目学生版没有，教师可根据时间选讲.古希腊杰出的数学家丢番图的墓碑上有一段话： “他生命的六分之一是幸福的童年再活十二分之一脸上长起了细细的胡须，他结了婚还没有孩子，又度过了七分之一再过了五年，他幸福地得到了一个儿子可这孩子光辉灿烂的寿命只有他父亲的一半儿子死后，老人在悲痛中活了四年，也结束了尘世的生涯” 你能根据这段话推算出丢番图活了多少岁？多少岁结的婚吗？怎么样？你能根据大数学家丢番图的叙述找到答案么？呵呵！学习了今天的知识，你就可以在课后解决这个“数学趣题”了！好了，让我们开始今天的学习吧！内容概述在解有关分数的应用题时，首先要弄清以下几个基本问题：（ 1）如何求一个数的几分之几（或百分之几）？求一个数的几分之几，只需要将这个数乘以几分之几就得到例如： 5 的 24% 是多少？解答： 5 24%=1.2 .（ 2）如何求一个数是另一个数的几分之几（或百分之几）？求一个数是另一个数的几分之几，只需要将前一个数除以后一个数就得到例如： 2是 3的几分之几？解答： 23248.3434339（ 3）已知一个数的几分之几（或百分之几） ，如何求这个数？已知一个数的几分之几，要求这个数，只需要将这个几分之几的数除以几分之几例如： 一个数的 2 等于 18，那么这个数等于多少？解答： 18218 327 .332分数应用题经常要涉及到两个或两个以上的量，我们往往把其中的一个量看作是标准量也称为：单位“ 1”，例如 a 是 b 的几分之几，就把数b 看作单位“ 1”在几个量中，弄清哪一个是单位“1”很重要，否则容易出错误而百分数应用题中所涉及的百分数，只是分母是100 的分数，因而计算的方法和分数应用题是一样的，关键也是要找准单位“1”和对应的百分率，以及对应量三者的关系类型：单位“ 1”不变【例 1】 （奥数网 ） （ 度系数：）六年 男生有数的几分之几？（ 2）男生人数比女生人数多百分之几？（生比男生少的人数是全班人数的百分之几？50 人，女生有40 人，（ 1）女生人数是男生人3）女生人数比男生人数少百分之几？（4）女分析：此 四个 都是求一个数是另一个数的百分之几，解答的关 是找准 位“1”，要注意帮助学生找一些典型字眼如： “的”、“占” 、“是”、“比”等 . 在下面的 目中教 注意帮助学生 关 字眼，找准 位“ 1” .（ 1） 男生人数 位“ 1”， 40 50=4/5；（ 2） 女生人数 位“ 1”，（ 50-40 ） 40=25%；（ 3） 男生人数 位“ 1”，（ 50-40 ） 50=20%；（ 4）全班人数 位“1”，（ 50-40 ）（ 50+40） 11.1% .【巩固】一个机关精 机构后有工作人 120 人，比原来工作人 少40 人，精 了百分之几？分析：“精 了百分之几”是在 “ 在比原来少的人数是原来工作人 的百分之几” 位“ 1”就是“原来工作人数” ， 40（ 120+40） =25%.【例 2】 （祖冲之杯数学邀 ）（ 度系数：）一个水箱中的水是装 的5 ，用去 200 立升以后，6剩余的水是装 的3 ， 个水箱的容 是多少立升？4分析： 200( 5 - 3 )=2400( 立升 ) 64【例 3】 （首 附入学 ） （ 度系数：）小 看一本 ，每天看15 ， 4 天后加快 度，又看了全 的 2 ， 剩下 30 ， 本故事 有多少 ？5分析：教 可先 解下 ：小 看一本故事 ，每天看20 ， 5 天后 剩下全 的1 没看， 本故事 (20 5) (1 1)5有多少 ？分析：125 （ ） . 回到原 ： 4 天看了 15 4=60（ ），而 60+30=90 占5全 的： 1- 2=3， 本故事 有：90 3 =150（ ） .555【例 4】 （数学趣 ）（ 度系数：）古希腊杰出的数学家 番 的墓碑上有一段 ： “他生命的六分之一是幸福的童年 再活十二分之一 上 起了 的胡 ， 他 了婚 没有孩子， 又度 了七分之一 再 了五年，他幸福地得到了一个儿子可 孩子光 的寿命只有他父 的一半儿子死后，老人在悲痛中活了四年，也 束了 世的生涯” 你能根据 段 推算出 番 活了多少 ？多少 的婚 ？分析：活的岁数：111111(5 4) (11272) 84 (岁 ) ，结婚年龄： 84 () 21（岁） .6612【例 5】 （迎春杯刊赛） （难度系数：）甲、乙、丙三人一起买了八个面包平分着吃，甲拿出五个面包的钱， 乙付了三个面包的钱，丙没带钱， 等吃完后一算， 丙应该拿出四元钱， 问：甲应收回多少钱 ?( 以角为单位 )分析：每人应付 8 个面包的钱， 丙拿出的 40 角就是 8 个面包的钱， 所以一个面包的价格应为： 40815333815 35（角），所以甲应收回 35 角 .（角），甲多付的钱为： (5 )3【例 6】 （奥数网习题库）（难度系数： ）好味多西饼屋推出一款新蛋糕，第一天卖出了全部的20% ，第二天卖出了剩下的1 ，第二天比第一天多卖出 40个，那么好味多西饼屋这次共推出新蛋糕多少个？2分析：好味多西饼屋推出新蛋糕个数看作“1”， 401 (1 20%) 20%200 （个） .2【巩固】（迎春杯决赛）迎春农机厂计划生产一批插秧机，现已完成计划的56，如果再生产5040 台，总产量就超过计划产量的16那么，原计划生产插秧机台分析：5400(1+16一56)=9000( 台 ).【例 7】 （小数报数学竞赛） （难度系数：）某运输队运一批大米第一天运走总数的1 多 60 袋，5第二天运走总数的1 少 60 袋还剩下 220 袋没有运走。这批大米原来一共有多少袋？4分析：可画图帮助学生理解， (220- 60+60)(1 -1-15)=400 （袋）此题也可使用倒推法解决 .4【巩固】小强看一本故事书，第一天看了全书的1还多 21 页，第二天8看了全书的1 少 6 页，还剩 172 页，这本故事书一共有多少页？611分析：如右图，(172621)(1)264(页).【例 8】 （奥数网习题库） （难度系数：）奥数网 派出 60 名选手参加 2008 年 “华罗庚金杯小学数学邀请赛”， 其中女选手占 1 正式比赛时有几名女选手因故缺席， 这样就使女选手人数变为参赛选手总4数的2 正式参赛的女选手有 多少 名？11分析： 因为女选手人数有变化，男选手人数未变，所以抓住男选手人数不变求解把总人数视为 “ 1”， 男选手人数是60 (1-1 )=45( 人 ) ，男选手人数占正式参赛选手总数的1- 2 ，所以正式参赛选手总数是：41145 (1-2 )=55( 人 ) ，正式参赛的女选手人数是55 2 =10( 人 ) 1111类型：单位“ 1”变化【例 9】 （小数报数学竞赛二试） （难度系数： ）专业户王老伯养了许多鸡鸭，鸡的只数是鸭的只数的1 14倍鸭比鸡少几分之几？分析：把鸭看成1，那么鸡就是11 ，鸭比鸡少：（ 11-1） 11=1.（此时的单位“ 1”是鸡的只数）4445【巩固】某校男生比女生多3 ，女生比男生少几分之几？分析：男生比女生多3 ，则男生有 1+ 3=10 ，女生比男生少 3 1037777=.7710【例 10】（ 1）（十一中学入学考试题）（难度系数：）某工厂二月份比元月份增产10，三月份比二月份减产 10问三月份比元月份增产了还是减产了？（ 2）一件商品先涨价 15，然后再降价15，问现在的价格和原价格比较升高、降低还是不变？分析：（ 1）一定会有同学认为三月份比元月份不增不减，这对吗？工厂二月份比元月份增产10，我们就要将元月份产量看作11，三月比二月减产1，将元月份产量看作 1，则二月份产量为： 1 (1 10%)11 (1 10%)991010，则三月份产量为：1 ，所以三月份比元月份减产了 .10100（ 2） 1（ 1+15%）（ 1-15%） =0.9775 1，所以现在的价格比原价降低了.【例 11】（ 07 年希望杯培训试题） （难度系数：） 某校学生参加大扫除的人数是未参加大扫除人数的1 ，后来又有20 名同学参加大扫除，实际参加的人数是未参加人数的1 ，这个学校有 多少 人？43分析：2011314400 （人） .1【巩固】（迎春杯刊赛 ）（难度系数：）五 (1) 班原计划抽 1 的人参加大扫除，临时又有2 个同学主5动参加，实际参加扫除的人数是其余人数的1 原计划抽 多少 个同学参加大扫除 ？3分析： 又有2 个同学参加扫除后，实际参加扫除的人数与其余人数的比是1：3，实际参加人数比原计划多1- 1= 1即全班共有 2 1 =40( 人 ) 原计划抽40 1=8( 人 ) 参加大扫除13520205【例 12】（美国小学数学奥林匹克） （难度系数：）丹尼斯花掉了他的钱的三分之二，又丢掉了余下钱的三分之二，还剩4 美元钱开始他有多少钱 ?分析：法1：把开始有的钱数为单位“1”，所以有： 4 (12) (12 ) =36（美元） .33法 2：利用倒推的思路，注意单位“1”的不断变化， 4( 1-2 )=12(g) ， 12 (1- 2 )=36( 美元 ).33附加题目【附1】（奥数网习题库）（难度系数： ） 有男女同学325 人，新学年男生增加25 人，女生减少5，总人数增加16 人，那么现有男同学多少人？分析：男生增加25 人，总人数只增加16 人，说明女生减少9 人，而女生减小5，故9 人对应的为5，女生原人数为95 =180 人【附 2】（迎春杯刊赛） （难度系数：）村里种了新瓜，男女老少品尝它小伙每人吃一个，姑娘两人分一瓜；老人一瓜三人吃，四个小孩吃一瓜男女老少四个组，一共吃了五十瓜，各组人数都相等，每组多少人品尝瓜？分析：把各组人数都视为“1”，那么有： 50(1+1 + 1+1 )=24 （人） .234【附 3】（小数报数学竞赛初赛） （难度系数： ） 六年级选出男生的111 和 12 名女生参加数学竞赛剩下的男生人数是女生的2 倍已知六年级共有学生156 人，其中男生有多少人?分析： 把男生视为单位“ 1”，未参加比赛的女生是：(11 )25，156-12=144 （人）是男生和剩下5 ) 99 （人） .1111的女生，所以男生有144(111【附 4】（迎春杯决赛） （难度系数：）路铁水凝成铁块，其体积缩小了1 ，那么这个铁块又熔化34成铁水（不计损耗） ，其中体积增加了几分之几 ?分析：设铁水的体积为1，则铁块为 1- 1 = 33 现在变回来，那么铁块的体积就要变为单位1，则铁水3434的体积就为 l 33 = 34 ，故体积增加了：( 341)11.34333333【附 5】（迎春杯决赛） （难度系数：）小刚给王奶奶运蜂窝煤，第一次运了全部的3 ，第二次运了850 块，这时已运来的恰好是没运来的5.问还有多少块蜂窝煤没有运来？7分析：运完第一次后，还剩下5 没运，再运来 50块后，已远来的恰好是没运来的5 ，也就是说没运来的87占全部的 7 ，所以，第二次运来的50 块占全部的： 571，全部蜂窝煤有：5011200（块），1278122424没运来的有： 1200700 （块） .12【附 6】（华杯赛口试） （难度系数：）一根木杆，第一次截去了全长的1 ，第二次截去所剩木杆的21 ，第三次截去所剩木杆的1 ，第四次截去所剩木杆的1 ，这时量得所剩木杆长为6 厘米问：木杆原345来的长是多少厘米 ?分析：法 1：设木杆原长为1，第一次截后所剩为原长的1 ；第二次截后所剩为1 (1 一 1 )=1 ；第三次2233截后所剩为 1 (1一 1 )=1 ；第四次截后所剩为1 (1 一 1 )= 1 ，即原长的1 等于 6 厘米， 由部分求整3444555体得：木杆原长 =6 1 =6 5=30( 厘米 ) 5法 2: 倒推法！注意单位“1”的不断变化 .【附 7】（ 07 年希望杯 1 试题）（难度系数：）小红看一本故事书，第一天看了这本书的一半又10页，第二天看了余下的一半又10 页，第三天看了10 页正好看完。这本故事书共有多少页？分析：利用倒退法解. 第一天余下了1401100 .(10 10)，原有 (40 10)22练习十一1 某校三年级有学生240 人，比四年级多25%，比五年级少1 。四年级、五年级各多少人？51 ） =300（人） .分析 : 四年级 : 240 （ 1+25%）=192（人），五年级： 240（ 1-52小新暑假练习写字， 每天写 3 页，5 天后加快速度又写了全部的1 ，还剩下 25 页，小新共练习多少页？5分析： (25 3 5) (1 1) 50 （页） .53. 水果店卖出库存水果的五分之一后，又运进水果66000 斤，这时库存水果比原来库存量多六分之一，原来库存水果多少万斤？分析：原来库存水果66000 1+ 1 -(1一 1 )=180000(斤 ) ，即 18 万斤654向阳生产队用拖拉机耕地，第一天耕了全部土地的25，第二天耕了剩下的三分之二，第二天比第一天多耕 30 亩，问：这个生产队共有多少亩土地?分析：这个生产队共有土地：30 2 (1 25 ) 一 25 =120(亩 ).35学校阅览室里有 36 名学生在看书，其中女生占4 ，后来又有几名女生来看书，这时女生人数占所有看书人数的 9 问后来又有几名女生来看书9?194)分析：把总人数视为“1”，紧抓住男生人数不变进行解答. 男生人数是 36 (120 ，后来阅览室的总9人数是 20 (19 )38 ，后来有 38-36=2 名女生进来 .196小新有一盒巧克力饼干，他第一天吃掉了全部的的七分之一 ；第二天吃了余下的六分之一；第三天吃了余下的五分之一；第四天吃了余下的四分之一；第五天吃了余下的三分之一；第六天吃了余下的二分之一；这时还剩下12 块巧克力饼干， 那么共有多少块巧克力饼干？分析：巧克力饼干 总数当作1那么 ：(1 一 1) (1一 1) (1 一 1) (1 一 1) (1一 1) (1一 1)=1 ，7654327最后剩下的 12 块是总数的1 ，那么 共有 84 块巧克力饼干 .7微软公司面试题你让工人为你工作七天， 回报是一根金条。 这个金条平分成相连的 7 段，你必须在每天结束的时候给他们一段金条。如果只许你两次把金条弄断，你如果给你的工人付费？答案：分成1、 2、 4 份 .