微分方程建模实例(一)

4.1 微 分 方 程 建 模 实 例 (一 ) 4.1.1. 一 个 简 单 的 例 4.1.2. 万 有 引 力 定 律 的 发 现 在 许 多 实 际 问 题 中 ， 当 直 接 导 出 变 量 之 间 的 函 数 关系 较 为 困 难 ， 但 导 出 包 含 未 知 函 数 的 导 数 或 微 分 的关 系 式 较 为 容 易 时 ， 可 用 建 立 微 分 方 程 模 型 的 方 法来 研 究 该 问 题 .在 连 续 变 量 问 题 的 研 究 中 ， 或 可 化 为 连 续 变 量 问 题的 研 究 中 ， 微 分 方 程 是 十 分 常 用 的 数 学 工 具 之 一 . 4.1.1 一 个 简 单 的 例问 题 ： 某 人 的 食 量 是 10467(焦 /天 )， 其 中 5038(焦 /天 )用 于 基 本 的 新 陈 代 谢 (即 自 动 消 耗 ). 在 健 身 训 练 中 ， 他 所 消 耗 的 热 量 大 约 是 69(焦 /公斤 天 )乘 以 他 的 体 重 (公 斤 ). 假 设 以 脂 肪 形 式 贮 藏 的 热 量 100%地 有 效 ， 而 1公斤 脂 肪 含 热 量 41868(焦 ). 试 研 究 此 人 的 体 重 随 时 间 变 化 的 规 律 . 模 型 准 备 在 问 题 中 并 未 出 现 “ 导 数 ” 这 样 的 关 键 词 ， 但要 寻 找 的 是 体 重 (记 为 W) 关 于 时 间 t 的 函 数 .如 果 我 们 把 体 重 W 看 作 是 时 间 t 的 连 续 可 微函 数 ， 我 们 就 能 找 到 一 个 含 有 的 的 微 分 方程 . dtdW 模 型 假 设 以 W(t) 表 示 t 时 刻 某 人 的 体 重 ， 并 设 t = 0时刻 ， 人 的 体 重 为 W0 . 体 重 的 变 化 是 一 个 渐 变 的 过 程 ,， 因 此 可 认 为 W(t) 关 于 t 是 连 续 而 且 充 分 光 滑 的 . 体 重 的 变 化 等 于 输 入 与 输 出 之 差 ， 其 中 输 入 是指 扣 除 了 基 本 新 陈 代 谢 之 后 的 净 食 量 吸 收 ， 输出 就 是 进 行 健 身 训 练 时 的 消 耗 . 模 型 构 成 由 于 考 虑 的 是 体 重 随 时 间 的 变 化 情 况 ， 因 此 ， 体 重 的 变 化 /天 = 输 入 /天 - 输 出 / 天 .某 人 的 食 量 是 10467(焦 /天 )， 其 中 5038(焦 /天 )用 于基 本 的 新 陈 代 谢 . 输 入 / 天 = 10467 - 5038 = 5429 (焦 /天 ).在 健 身 训 练 中 ， 他 所 消 耗 的 热 量 大 约 是 69(焦 /公 斤 天 )乘 以 他 的 体 重 (公 斤 ). 输 出 / 天 = 69 W(t) = 69W(t) (焦 /天 ). 输 入 / 天 = 10467 - 5038 = 5429 (焦 /天 ). 输 出 / 天 = 69 W(t) = 69W(t) (焦 /天 ).假 设 以 脂 肪 形 式 贮 藏 的 热 量 100%地 有 效 ， 而 1公 斤 脂肪 含 热 量 41868(焦 ). 0 05429 6941868 tdW WdtW W 1296 1610000 W10000160 )16161296(81 teWW 解 微 分 方 程 ， 有 4.1.2 万 有 引 力 定 律 的 发 现宇 宙 万 物 之 间 都 存 在 相 互的 引 力 ， 其 作 用 方 向 在 两者 的 连 线 上 ， 其 大 小 与 两者 质 量 的 乘 积 成 正 比 而 和两 者 距 离 的 平 方 成 反 比 ,比例 系 数 是 绝 对 常 数 . 艾 萨 克 -牛 顿 (Isaac Newton) 1643 - 1727 十 五 世 纪 中 期 ， 波 兰 天 文 学 家 哥 白 尼 提 出 了 震 惊 世界 的 日 心 说 .丹 麦 著 名 的 实 验 天 文 学 家 第 谷 花 了 二 十 多 年 时 间 观 察 纪 录 下 了 当 时 已 发 现 的 五 大 行 星 的 运 动 情 况 .第 谷 的 学 生 和 助 手 开 普 勒 对 这 些 资 料 进 行 了 九 年 时间 的 分 析 计 算 后 得 出 著 名 的 开 普 勒 三 大 定 律 .牛 顿 根 据 开 普 勒 三 大 定 律 和 牛 顿 第 二 定 律 ， 利 用 微 积分 方 法 推 导 出 牛 顿 第 三 定 律 即 万 有 引 力 定 律 . 模型准备 1. 行 星 轨 道 是 一 个 椭 圆 ， 太 阳 位 于 此 椭 圆 的 一 个 焦 点 上 . 2. 行 星 在 单 位 时 间 内 扫 过 的 面 积 不 变 .3. 行 星 运 行 周 期 的 平 方 正 比 于 椭 圆 长 半 轴 的 三 次 方 ， 比 例 系 数 不 随 行 星 而 改 变 (绝 对 常 数 ).开 普 勒 三 大 定 律 模 型 构 成开 普 勒 第 一 定 律 ： 行 星 围 绕 太 阳 运 动 的 轨 迹 是 一 个椭 圆 ， 太 阳 在 椭 圆 的 一 个 焦 点 上 .以 太 阳 为 极 点 ， 椭 圆的 长 轴 为 极 轴 建 立 极坐 标 ，则 行 星 的 轨 道 方 程 为 行 星r太 阳, 1 cospr e 其 中 ， a, b 为 椭 圆 的长 、 短 半 轴 ， 1 .2 22b bp = ,e =a a 牛 顿 第 二 定 律 ： 行 星 运 动 时 受 到 的 力 等 于 行 星 加 速度 和 行 星 质 量 的 乘 积 ， 即 用 向 径 表 示 行 星 的 位 置 ， 则称 为 径 向 速 度 . F mar dr vdt ,r 22 d r adt ,r 称 为 径 向 加 速 度 .于 是 ， . F mr 为 计 算 行 星 的 加 速 度 ， 建 立 两 种 不 同 的 坐 标 架 : 第 一 个 是 以 太 阳 为 坐 标 原 点 ， 沿 长 轴 方 向 的 单位 向 量 记 为 , 沿 短 轴 方 向 的 单 位 向 量 记 为 .第 二 个 是 以 行 星 为 坐 标 原 点 建 立 活 动 架 标 ， 其两 个 正 交 的 单 位 向 量 分 别 是 . rr ru cos sinsin cos rlu i ju i j于 是 ， i j行 星r太 阳 urul . rr rucos sinsin cos rlu i ju i j于 是 ， 1 cospr e 因 此 ， r rr ru ru . r lru r u2) .( ( 2 ) r lr r u r r ur为 计 算 角 速 度 和 角 加 速 度 ， 需 要 用 到 开 普 勒 第二 定 律 . 开 普 勒 第 二 定 律 ： 行 星 在 单 位 时 间 内 扫 过 的 面 积 不变 ， 即 单 位 时 间 向 径 扫 过 的 面 积 是 常 数 A， 21 .2 r A于 是 ， r 22 , Ar 34 . Arr2( ) ( 2 ) r lr lr ru r ur r r u r r u= 0 22 , Ar 34 . Arr2( ) r lrr ru r ur r r u1 cospr e 2 sin , Aer p2 34 ( ). A p rr pr224 rAr upr由 224 rAmF upr 下 面 需 要 证 明 A2/ p 是 绝 对 常 数 ， 即 它 与 哪 一 颗 行星 无 关 . 这 要 用 到 开 普 勒 第 三 定 律 :开 普 勒 第 三 定 律 ： 行 星 运 行 周 期 的 平 方 正 比 于 椭 圆长 半 轴 的 三 次 方 ， 比 例 系 数 不 随 行 星 而 改 变 ， 即 2 3.T a 下 面 需 要 证 明 A2/ p 是 绝 对 常 数 ， 即 它 与 哪 一 颗 行星 无 关 . 因 为 A 是 单 位 时 间 内 向 径 扫 过 的 面 积 ， 行 星 运 行一 个 周 期 T 向 径 扫 过 的 面 积 恰 是 以 a、 b 为 长 、短 半 轴 的 椭 圆 面 积 ， 所 以 TA = ab .开 普 勒 第 三 定 律 ： ( 是 绝 对 常 数 )2 3,T a 2 2 22 2 a bT A 3 a2bp = a由 2b pa 2 2Ap 2 2Ap 224 rAmF upr 224 rmF ur与 熟 悉 的 万 有 引 力 定 律 比 较 ， 只 需 再 验 证 24 , kM其 中 ， k 为 万 有 引 力 常 数 ， M 为 太 阳 质 量 .